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arXiv:1701.00083v1 [hep-ph] 31 Dec 2016
Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD
y Modelos de Quarks Quirales
Eugenio Meg´ias Ferna´ndez Departamento de F´isica Ato´mica, Molecular y Nuclear
Universidad de Granada · Abril 2006 ·
D. ENRIQUE RUIZ ARRIOLA, Catedra´tico del Departamento de F´isica At´omica, Molecular y Nuclear y D. LORENZO LUIS SALCEDO MORENO, Profesor titular del Departamento de F´isica At´omica, Molecular y Nuclear,
CERTIFICAN: Que la presente memoria de investigaci´on, Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD y Modelos de Quarks Quirales, ha sido realizada bajo su direcci´on en el Departamento de F´isica At´omica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada, por EUGENIO MEG´IAS FERNA´ NDEZ, y constituye su Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias F´isicas por la Universidad de Granada.
Y para que as´i conste, en cumplimiento de la legislaci´on vigente, presenta ante la Universidad de Granada la referida Tesis.
En Granada, a 27 de abril de 2006.
Fdo.: Enrique Ruiz Arriola
Fdo.: Lorenzo Luis Salcedo Moreno
Fdo.: Eugenio Meg´ias Fern´andez
5
7
AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mi ma´s sincero agradecimiento, en primer lugar a mis dos directores Enrique y Lorenzo Luis, pues se han involucrado por igual en la propuesta y el desarrollo de las diferentes l´ineas de investigaci´on que constituyen esta tesis y han sabido aportarme la mejor ciencia que sabe hacer cada uno, que es mucha.
Al Departamento de F´isica At´omica, Molecular y Nuclear, por haberme dado la posibilidad de trabajar en ´el, lo que me ha permitido comprobar la enorme calidad cient´ifica y humana de sus miembros.
A Wojciech Broniowski, por su admirable humanidad. Guardo un grato recuerdo de mi estancia en Cracovia, donde no s´olo aprend´i f´isica.
Estoy en deuda con Miguel Angel, mi profesor de f´isica en secundaria, por haberme inculcado esa ilusi´on por la f´isica e iniciarme en el camino.
Mis padres Jos´e Antonio y Aurora han sufrido ma´s directamente mis cambios de humor. Les renocozco su sacrificio, y los admiro por saber dominar los momentos dif´iciles y disfrutar de los momentos agradables.
Finalmente doy las gracias a quien lea total o parcialmente esta tesis, y espero que pueda sacar de ella resultados importantes.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la D.G.I. y fondos FEDER con proyecto FIS-2005-00810, la Junta de Andaluc´ia con proyecto FM-225, EURIDICE con proyecto HPRN-CT-2002-00311 y el Ministerio de Educacio´n y Ciencia mediante una beca de Postgrado para la Formacio´n de Profesorado Universitario. Ha sido realizado al amparo del Departamento de F´isica At´omica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada.
8
´Indice general
1. Introducci´on
13
1.1. Cromodin´amica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Simetr´ia del centro y transici´on de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Teor´ias quirales efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Heat kernel y accio´n efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Desarrollo del Heat Kernel
21
2.1. Potencial macrocano´nico de un gas de part´iculas libres relativistas . . . . . 21
2.2. M´etodo de los S´imbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . 31
2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
41
3.1. Fundamentos de la Teor´ia de Yang-Mills a Temperatura Finita . . . . . . . 41
3.2. Sector fermi´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1. Accio´n efectiva con representacio´n de Schwinger . . . . . . . . . . . 44
3.2.2. Traza en espacio de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3. Sector glu´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1. M´etodo del Campo de Fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2. Accio´n efectiva a un loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4. Renormalizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5. Divergencias infrarrojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6. Teor´ia efectiva dimensionalmente reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.1. Eliminacio´n de los modos est´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.2. Desarrollo en A0 pequen~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7. Resultados en SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9
10
´INDICE GENERAL
3.7.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7.3. Comparaci´on con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.8. Resultados en SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.8.3. Comparaci´on con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. Efectos no perturbativos por encima de la transicio´n de fase
71
4.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Loop de Polyakov perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1. Resultados perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2. Reduccio´n dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3. Resultados perturbativos a ´ordenes superiores . . . . . . . . . . . . 76
4.2.4. Ansatz gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3. Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . 79
4.4. Comparaci´on con datos del ret´iculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1. Resultados en gluodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.2. Resultados unquenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3. Otros resultados quenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.4. Relacio´n con otras determinaciones del condensado . . . . . . . . . 88
4.5. Energ´ia libre de un quark pesado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energ´ia libre . . . . . . . . . 89
4.5.2. Comparaci´on con datos del ret´iculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5.3. Analog´ia entre el loop de Polyakov y el potencial quark-antiquark a
temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
95
5.1. Transformaciones gauge grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.2. Simetr´ia del centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.3. Rotura de la simetr´ia del centro por fermiones . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Modelos de Quarks Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1. Modelo Quark de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.2. Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3. Problem´atica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita . . . . 103
5.3.1. Tratamiento est´andar a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.2. Generaci´on de estados multi-quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3. Conflicto con Teor´ia Quiral de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . 105
5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales . . 105
5.4.1. Acoplamiento m´inimo del loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4.2. Promedio sobre el grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
´INDICE GENERAL
11
5.4.3. Soluci´on de la problema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5.1. Estructura del lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5.2. LEC para el modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.6. Correcciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.1. M´as all´a de un loop de quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.2. Correcciones glu´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 119 5.6.4. Resultados ma´s all´a de la aproximaci´on quenched . . . . . . . . . . 120 5.7. Implicaciones sobre la transici´on de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . 122 5.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6. Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias131 6.1. Tensor Energ´ia-Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.1. Formalismo de t´etradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.2. Operador de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.1. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.4. C´alculo de la accio´n efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.5. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.5.1. Eliminacio´n de los acoplamientos vector y axial . . . . . . . . . . . 142 6.5.2. Eliminacio´n de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.5.3. Ecuaciones de movimiento cl´asicas para pseudoescalares . . . . . . 144 6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.6.2. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.6.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7. Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
151
7.1. Accio´n Efectiva del Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2. Anomal´ias Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2.1. C´alculo de la anomal´ia quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2.2. T´ermino de Wess-Zumino-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3. Desarrollo quiral de la accio´n efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial . . . . . . . . . . . . . 158
7.5. L´imite de Nc grande y Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12
´INDICE GENERAL
8. Conclusiones
167
8.1. Resumen y Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2. Anexo de art´iculos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A. Transformaciones Gauge
171
A.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.2. Gauges estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.3. Particularizacio´n al grupo gauge SU(Nc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A.3.1. Simetr´ia del centro del grupo gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.3.2. Rotura expl´icita de la simetr´ia del centro . . . . . . . . . . . . . . . 174
B. Integrales en tiempo propio con regularizacio´n dimensional
177
C. Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)
181
D. Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de
Polyakov
185
D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
D.2. Trazas de sabor e identidades u´tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
D.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
D.4. Ecuaciones cl´asicas de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
D.5. Lagrangiano Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Cap´itulo 1
Introducci´on
La extensi´on de la Teor´ia de Campos de temperatura cero a temperaturas y densidades finitas es un paso natural que se produjo hace medio siglo [1, 2, 3, 4]. La Teor´ia de Campos a Temperatura y Densidad Finitas (TCTDF) [5, 6, 7], se desarroll´o a partir de la Teor´ia Relativista de Muchos Cuerpos, y constituye una amalgama de Teor´ia de Campos y Meca´nica Estad´istica. Es aplicable en aquellos problemas de la f´isica teo´rica de part´iculas que tienen caracter´isticas de muchos cuerpos. A nivel teo´rico se necesitan formulaciones apropiadas del problema t´ermico, para el cual se disponen de varios formalismos. Dos ejemplos son el formalismo de Tiempo Imaginario y el de Tiempo Real [8]. A pesar de la larga experiencia acumulada en este campo, muchos de los problemas planteados inicialmente au´n siguen abiertos.
Muchos son los logros de la TCTDF y se esperan muchos ma´s. Por una parte permite estudiar las teor´ias ya existentes ma´s all´a del contexto en el que inicialmente fueron creadas. Esto significa explorar las propiedades de la materia en condiciones extremas, con altas temperaturas y densidades. Un ejemplo de esto es la teor´ia de QCD [9], que se cre´o como un intento de desarrollar una teor´ia fundamental de las interacciones fuertes. La TCTDF aplicada a QCD [10] predice que cuando la temperatura y las densidades aumentan, existe una transici´on a una fase en la que los quarks y gluones est´an deconfinados (fase de desconfinamiento del color). TCTDF predice, por tanto, la existencia de un plasma de quarks y gluones que, de hecho, deber´ia existir en los primeros instantes del universo, de acuerdo con los modelos cosmolo´gicos actuales. Esto tiene importantes consecuencias en el campo de la astrof´isica, ya que la transici´on de fase podr´ia haber jugado un papel muy importante en la formacio´n de materia oscura. Otro campo donde la TCTDF est´a dando frutos importantes es en el contexto de las colisiones de iones pesados a muy alta energ´ia. El hecho de que la transici´on de fase de QCD ocurra a temperaturas no excesivamente altas Tc 200 MeV hace que estas condiciones se puedan estudiar en el laboratorio. Existen estudios importantes de esta nueva fase de la materia en laboratorios actuales [BNL Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC)] [11] y es previsible que se continu´en posteriormente en futuras instalaciones: Large Hadron Collider (LHC) en el CERN, y Schwerionen-Synchrotron (SIS 200) en el GSI. Finalmente, un tercer lugar donde pueden surgir tales condiciones extremas es en el interior de estrellas de neutrones, donde la densidad es superior a la densidad nuclear.
13
14
Cap´itulo 1: Introduccio´n
Existen distintas t´ecnicas para estudiar el comportamiento de QCD en funci´on de la temperatura y la densidad. Estas t´ecnicas se pueden agrupar en tres categor´ias diferentes: los m´etodos perturbativos, los modelos efectivos de QCD en el ret´iculo y los m´etodos semicl´asicos (instantones) [10].
1.1. Cromodin´amica Cu´antica
La Cromodin´amica Cu´antica (QCD, Quantum Chromodynamics) fue desarrollada al comienzo de los an~os setenta y responde al intento de mucha gente de crear una teor´ia fundamental que d´e cuenta de las interacciones fuertes [12, 13, 14]. Se trata de una teor´ia cua´ntica de campos renormalizable. Sus campos fundamentales son espinores de Dirac que describen part´iculas de esp´in 1/2, llamados quarks, y campos gauge correspondientes a part´iculas de esp´in 1, llamados gluones. Al contrario que QED (Quantum Electrodynamics) que es una teor´ia abeliana, QCD es una teor´ia gauge no abeliana basada en el grupo gauge de color SU(Nc), de modo que constituye una generalizacio´n de la teor´ia de QED para el electromagnetismo. Tanto los quarks como los gluones, que son las part´iculas intermediarias de la interaccio´n fuerte, llevan asociada una carga, llamada color. Como resultado los gluones pueden interaccionar consigo mismos y con los quarks. QCD viene descrita por el siguiente lagrangiano
L
=
-
1 2g2
tr(Fµ2 )
+
Nf
qi(µDµ + mi)qi ,
i=1
Dµ = µ + Aµ , Fµ = [Dµ, D] ,
(1.1)
donde Aµ = AaµTa son los campos de los gluones, Fµ = FµaTa es el tensor Field Strength de SU(Nc), Ta son los generadores herm´iticos de SU(Nc) y qi son campos de quarks de varios sabores. La teor´ia viene parametrizada por una u´nica constante de acoplamiento g y por los para´metros mi correspondientes a la masa desnuda de los quarks. La evidencia experimental indica que hay tres grados de libertad de color (Nc = 3), llamados tradicionalmente rojo, verde y azul, y seis sabores de quarks (Nf = 6). Los quarks de tipo up, down y strange son relativamente ligeros, mientras que charm, bottom y top son pesados.
Gran parte del ´exito de la teor´ia reside en su habilidad para reproducir el comportamiento casi sin interaccio´n de los quarks a muy cortas distancias [15]. Esta propiedad de la teor´ia, que se conoce como libertad asint´otica, explica el escalamiento aproximado que se observa en las colisiones profundamente inela´sticas de leptones con hadrones [16, 17]. QCD tambi´en parece consistente con mucha de la fenomenolog´ia existente sobre las interacciones fuertes, como la simetr´ia quiral aproximada, la noci´on de confinamiento de color o ciertos modelos de hadrones como el bag o el string.
La teor´ia de QCD presenta varias simetr´ias. En primer lugar es invariante bajo el grupo de simetr´ia local SU(Nc), lo cual implica por ejemplo que la masa de los quarks es independiente de su color. Cuando la masa de los quarks es igual a cero, el lagrangiano de QCD (1.1) es invariante bajo el grupo de simetr´ia global SU(Nf )L×SU(Nf )R, el cual
1.2 Simetr´ia del centro y transici´on de fase de QCD
15
se suele designar como grupo de simetr´ia quiral [18]. Adema´s existe una simetr´ia global U(1)B relacionada con la conservaci´on del nu´mero bari´onico y una simetr´ia global axial U(1)A.
Los generadores del ´algebra quiral son conservados y ser´ia de esperar que las part´iculas formaran multipletes degenerados correspondientes a las representaciones irreducibles de este grupo. Pero no existe evidencia de que exista esta estructura de multipletes tan amplia, lo cual lleva a la idea de que la simetr´ia SU(Nf )L × SU(Nf )R est´a espont´aneamente rota. A temperatura cero, o en general a baja temperatura, el estado fundamental de la teor´ia rompe espont´aneamente esta simetr´ia al grupo SU(Nf )V
SU(Nf )L × SU(Nf )R -R-ES SU(Nf )V .
(1.2)
De acuerdo con el teorema de Goldstone esta rotura de la simetr´ia implica la existencia de Nf2 - 1 bosones de Goldstone pseudo-escalares sin masa. Para Nf = 2 estos son los tres piones +, - y 0, y para Nf = 3 tenemos, adema´s de los anteriores, los cuatro kaones K+, K-, K0 y K¯ 0, y el meso´n . La rotura de esta simetr´ia conduce adema´s a la aparicio´n de condensados de quarks de la forma qq = 0. Podemos pensar en qq como en un para´metro de orden que caracteriza la rotura de la simetr´ia quiral. Cuando la temperatura se incrementa por encima de un cierto valor Tc, la simetr´ia se recupera y el condensado de quarks se hace cero.
1.2. Simetr´ia del centro y transici´on de fase de QCD
En gluodin´amica pura, esto es en ausencia de fermiones, la teor´ia presenta una simetr´ia
global extra asociada al centro Z(Nc) del grupo gauge de color SU(Nc). En el formalismo
de tiempo imaginario, la simetr´ia Z(Nc) es generada por la accio´n de transformaciones
gauge locales que son peri´odicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario del
centro
U (1/T, x) = z U (0, x) , z = ei2n/Nc .
(1.3)
La transici´on a la fase de desconfinamiento puede verse como la rotura espont´anea de la
simetr´ia del centro a temperaturas suficientemente altas. Un para´metro de orden natural para la simetr´ia Z(Nc) es el valor esperado del loop de Polyakov,1 que se define como
L(T ) := P(x, T ) =
1 Nc
trc
T
e-
1/T 0
dx0 A0 (x,x0 )
,
(1.4)
donde indica valor esperado en el vac´io, trc es la traza en espacio de color (en representacio´n fundamental), y T indica ordenacio´n a lo largo del camino de integracio´n. A0 es la componente temporal del campo glu´onico (en tiempo eucl´ideo). Bajo una transformaci´on
1En esta memoria se hara´ uso en ocasiones de una terminolog´ia anglosajosa para algunas palabras, y se evitara´ su traduccio´n con el fin de que el lector pueda identificar estos conceptos en la bibliograf´ia. 'Loop de Polyakov' puede traducirse como 'bucle de Polyakov'.
16
Cap´itulo 1: Introduccio´n
gauge con simetr´ia del centro, el loop de Polyakov transforma P zP, de modo que en la fase en que la teor´ia presenta la simetr´ia Z(Nc) (fase de confinamiento del color), el loop de Polyakov necesariamente vale cero. En la fase de desconfinamiento esta simetr´ia estara´ espont´aneamente rota, y eso vendr´a caracterizado por un valor no nulo para el loop de Polyakov. C´alculos recientes muestran que en una teor´ia glu´onica pura con Nc = 3 esta transici´on ocurre a una temperatura cr´itica Tc 270 MeV [19], y se trata de una transici´on de primer orden.
F´isicamente el promedio t´ermico del loop de Polyakov en la representacio´n fundamental determina la energ´ia libre relativa al vac´io de un u´nico quark,
e-Fq(x)/T = P(x, T ) ,
(1.5)
y la funci´on de correlacio´n de dos loops de Polyakov conduce a la energ´ia libre de un par
quark-antiquark,
e-Fq¯q(x-y)/T = P(x, T )P(y, T ) .
(1.6)
La renormalizaci´on del loop de Polyakov es un problema que hoy en d´ia est´a abierto [20]. Recientemente se ha desarrollado un m´etodo para renormalizar el loop de Polyakov en el ret´iculo [21, 22], y consiste b´asicamente en el c´alculo de la energ´ia libre a partir de la funci´on de correlacio´n de dos loops de Polyakov, ec. (1.6). Los datos que se obtienen muestran un comportamiento que difiere claramente del predicho por teor´ia de perturbaciones [23] en la regio´n cercana a la transici´on de fase, de modo que los efectos no perturbativos parecen ser dominantes en esta zona de temperaturas.
Un punto importante es qu´e efectos produce la inclusi´on de fermiones en una teor´ia gauge pura. En el caso de QCD, cuando se an~aden quarks en la representacio´n fundamental, la simetr´ia del centro Z(Nc) se rompe expl´icitamente, y el loop de Polyakov no sirve, en principio, como para´metro para caracterizar la transici´on de desconfinamiento. Una de las consecuencias es la modificacio´n de las condiciones en que se produce la transici´on de fase. En concreto, los quarks tienden a suavizar la transici´on, de tal modo que en la teor´ia SU(3) se convierte en una transici´on de fase de segundo orden [22].
En cuanto a la simetr´ia quiral, ´esta se encuentra espont´aneamente rota a baja temperatura, pero por encima de un cierto valor se recupera. El para´metro de orden local en este caso es el condensado de quarks qq , que es diferente de cero a baja temperatura, donde la simetr´ia quiral est´a rota, y cero por encima de la transici´on de fase quiral. Por tanto, desde un punto de vista teo´rico la transici´on de fase de QCD consiste en realidad en dos transiciones de fase distintas, que podemos llamar transici´on de desconfinamiento de color y transici´on de restablecimiento de la simetr´ia quiral. Las simulaciones de QCD en el ret´iculo sugieren que, cuando se consideran fermiones sin masa, las dos transiciones tienen lugar a la misma temperatura, al menos en el caso de potencial qu´imico cero [24]. En este caso la temperatura de restablecimiento de la simetr´ia quiral es Tc 155 -205 MeV, donde el valor preciso depende del nu´mero de sabores. Cuando se consideran masas f´isicas para los quarks la situacio´n no est´a completamente clara. Para valores moderados de la masa, la transici´on quiral no tiene un para´metro de orden bien definido, y no se produce una transici´on de fase pura sino u´nicamente un cambio r´apido (crossover).
1.3 Teor´ias quirales efectivas
17
Obviamente, es de esperar que todos estos feno´menos de QCD a temperatura finita sean consistentes con invariancia gauge. La invariancia Lorentz se rompe expl´icitamente en c´alculos a temperatura y densidad finitas, debido a que existe un sistema de referencia privilegiado, que es el ban~o t´ermico, y que se supone en reposo; no obstante, la invariancia gauge permanece como una simetr´ia exacta. En c´alculos concretos en teor´ia de perturbaciones, la conservaci´on de la invariancia gauge a temperatura cero se consigue con un nu´mero finito de t´erminos, sin embargo a temperatura finita es necesario considerar un nu´mero infinito de t´erminos, lo cual obligar´ia en un principio a hacer un tratamiento no perturbativo.
1.3. Teor´ias quirales efectivas
Actualmente los grados de libertad hadr´onicos se vienen tratando con teor´ias quirales efectivas en las cuales un ingrediente b´asico son los bosones de Goldstone generados en la rotura espont´anea de la simetr´ia quiral de QCD [25, 26]. La aproximaci´on por excelencia es la Teor´ia Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27]. Existen otras aproximaciones que se basan en la construccio´n de modelos de quarks quirales como el modelo sigma [28] o el modelo de Nambu­Jona-Lasinio (NJL) [29, 30, 31].
La TQP se fundamenta en la construccio´n de un lagrangiano efectivo invariante quiral como desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos y de la masa de los quarks. Este lagrangiano debe satisfacer ciertos requisitos de simetr´ia como invariancia gauge, invariancia Lorentz (a temperatura cero), paridad y conjugaci´on de carga, y se escribe en t´erminos de constantes de baja energ´ia que se corresponden con funciones de Green de QCD. Los valores de estas constantes no pueden ser determinados a partir de argumentos de simetr´ia exclusivamente.
Los modelos de quarks quirales aspiran, como TQP, a constituir una aproximaci´on de la din´amica de QCD no perturbativa a baja energ´ia. Estos modelos hacen uso expl´icito de grados de libertad de quarks. El modelo de Nambu­Jona-Lasinio ha sido muy utilizado en el pasado y au´n se sigue utilizando. Las interacciones efectivas de cuatro fermiones del modelo NJL representan cierta aproximaci´on a QCD. Sin embargo, desde un punto de vista teo´rico au´n no est´a claro de qu´e modo estas interacciones de cuatro quarks surgen de QCD. En el caso de dos sabores uno de los mecanismos podr´ia ser las llamadas interacciones de 't Hooft, que consisten en la interaccio´n de quarks a trav´es de los modos cero de instantones [32].
1.4. Heat kernel y accio´n efectiva
La accio´n efectiva, una extensi´on a teor´ia cua´ntica de campos del potencial termodin´amico de meca´nica estad´istica, juega un papel teo´rico muy importante pues est´a relacionada con cantidades de inter´es f´isico. A un loop tiene la forma c Tr log(K), donde K es un operador diferencial que controla las fluctuaciones cua´nticas cuadr´aticas sobre un fon-
18
Cap´itulo 1: Introduccio´n
do cl´asico. Esta magnitud sufre algunas patolog´ias matema´ticas, tales como divergencias
ultravioletas y multivaluaci´on. Por ello resulta u´til expresar la acci´on efectiva mediante la representacio´n de tiempo propio de Schwinger2
- c Tr log(K) = c
0
d
Tr e-K
=
c
d 0
dDx tr x|e-K|x .
(1.8)
Al contrario que la accio´n efectiva, el heat kernel (o ma´s concretamente su elemento de matriz) x|e-K|x es univaluado y finito en la regio´n ultravioleta para valores positivos del para´metro de tiempo propio .
El heat kernel fue introducido por Schwinger [33] en teor´ia cua´ntica de campos como una herramienta para regularizar divergencias ultravioletas de un modo que preserve invariancia gauge. El heat kernel y su desarrollo han sido aplicados tambi´en en el estudio de densidades espectrales e ´indices de operadores de Dirac (D) [34, 35] en t´erminos de operadores de KleinGordon (DD), para el c´alculo de la funci´on [36, 37] y anomal´ias de estos operadores [38], para definir la accio´n efectiva de teor´ias gauge quirales [39], para el efecto Casimir [40], etc. El heat kernel se puede calcular perturbativamente haciendo un desarrollo en potencias del tiempo propio. En la presente memoria va a constituir una herramienta fundamental para el c´alculo de las diferentes teor´ias efectivas que vamos a considerar.
1.5. Estructura de la tesis
Esta tesis est´a estructurada del siguiente modo:
En el cap´itulo 2 se considera el heat kernel a temperatura cero, y se construye su generalizaci´on a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario. Con objeto de conseguir un desarrollo que preserve la invariancia gauge orden por orden, haremos uso de una generalizacio´n a temperatura finita del m´etodo de los s´imbolos [41], que permite calcular de un modo sencillo el desarrollo de una funci´on en t´erminos de operadores locales y covariantes gauge. Esto va a conducir a la definicio´n del loop de Polyakov (sin traza), que es un objeto covariante gauge, y que aparece de manera natural en el desarrollo. El c´alculo se hace para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios.
En el cap´itulo 3 se considera la teor´ia gauge SU(Nc) de QCD, y se calcula su accio´n efectiva a nivel de un loop en el r´egimen de temperaturas grandes, haciendo uso del resultado del heat kernel del cap´itulo 2. Se calculan por separado el sector gluo´nico y el
2La traza funcional de un operador A^ se define
TrA^ dDx tr x|A^|x ,
(1.7)
donde D es la dimensio´n del espacio-tiempo y tr indica traza en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc). A lo largo de la tesis haremos uso de esta definici´on.
1.5 Estructura de la tesis
19
sector de quarks, y se hace un estudio de c´omo los quarks rompen expl´icitamente la simetr´ia del centro Z(Nc). Esta rotura se va a manifestar en que algunos de los m´inimos absolutos degenerados que presenta el potencial efectivo de la teor´ia como funci´on del loop de Polyakov van a dejar de serlo, y se van a convertir en puntos estacionarios (m´inimos o ma´ximos locales). A temperaturas suficientemente grandes est´a justificado considerar una teor´ia efectiva dimensionalmente reducida, pues lo modos de Matsubara no est´aticos de los campos gauge se hacen muy pesados y desacoplan de la teor´ia. Dentro del problema de reduccio´n dimensional obtendremos la estructura del lagrangiano dimensionalmente reducido.
En el cap´itulo 4 se hace un estudio fundamentado de los datos del loop de Polyakov renormalizado en la fase de desconfinamiento de color, obtenidos en el ret´iculo. Se estudian las contribuciones no perturbativas existentes, en el marco de un modelo fenomenolo´gico que las describe como generadas por condensados glu´onicos invariantes BRST.
En el cap´itulo 5 se aborda la problema´tica que presenta el tratamiento est´andar de los modelos de quarks quirales a temperatura finita. Discutimos el acoplamiento del loop de Polyakov de color con los quarks, y calculamos el lagrangiano quiral efectivo a bajas energ´ias, con una predicci´on para las constantes de baja energ´ia. Se estudian asimismo las implicaciones que tiene este modelo, sobre la transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color.
El cap´itulo 6 est´a dedicado a estudiar los efectos de curvatura sobre varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, Georgi-Manohar y Nambu­Jona-Lasinio. En concreto, se estudia el acoplamiento de la gravedad en estos modelos de un modo que evite la introduccio´n de nuevos campos aparte de los del caso plano y la m´etrica. Se estudia el tensor energ´ia-impulso a bajas energ´ias que se obtiene, con valores concretos para las constantes de baja energ´ia est´andar y una predicci´on para las constantes asociadas a t´erminos no m´etricos con contribucio´n de curvatura.
En el cap´itulo 7 se hace un estudio de la estructura de la accio´n efectiva del modelo quark espectral acoplado con gravedad. Por una parte se considera la contribucio´n an´omala, y por otra la parte no-an´omala, con una predicci´on para las constantes de baja energ´ia. Se estudian los resultados del modelo en el esquema de dominancia vectorial, y se compara con el c´alculo en el l´imite de Nc grande en la aproximaci´on de una u´nica resonancia.
Por u´ltimo, en el cap´itulo 8 se presentan las conclusiones de la memoria.
20
Cap´itulo 1: Introduccio´n
Cap´itulo 2
Desarrollo del Heat Kernel
El desarrollo del heat kernel1 [33, 39] se usa frecuentemente en el contexto de los m´etodos de integrales de caminos para integrar grados de libertad externos de un modo no perturbativo. El resultado es un desarrollo en los campos que corresponden a aquellos grados de libertad que no han sido integrados. Esto quiere decir que el desarrollo del heat kernel proporciona una teor´ia de campos efectiva. Los t´erminos del desarrollo se clasifican de acuerdo con su dimensi´on.
Nuestro objetivo en este cap´itulo consiste en disen~ar un m´etodo que permita mantener la invariancia gauge a temperatura finita de forma manifiesta orden por orden en el desarrollo dimensional. Para ello aplicaremos una t´ecnica conocida como m´etodo de los s´imbolos, que fue desarrollado a temperatura cero [42] y extendido posteriormente a temperatura finita [41]. Hay que notar que el tratamiento es inevitablemente complejo pero necesario.
Como motivaci´on, estudiaremos el potencial macrocano´nico de un gas de part´iculas libres relativistas, donde el loop de Polyakov se reduce a la fugacidad eµ, con = 1/T la temperatura inversa y µ el potencial qu´imico. La idea consiste en respetar la propiedad de periodicidad de la exponencial bajo cambios peri´odicos del potencial qu´imico µ µ+i2T . Aunque este caso es trivial, ayudara´ a comprender mejor la idea subyacente del m´etodo de los s´imbolos.
Este cap´itulo est´a basado en las referencias [43, 44].
2.1. Potencial macrocan´onico de un gas de part´iculas libres relativistas
Como ilustracio´n y motivaci´on del heat kernel, consideraremos el caso de un gas de part´iculas libres relativistas. Por claridad estudiaremos el caso boso´nico. La accio´n eucl´idea
1Heat kernel puede traducirse como 'Nu´cleo de la ecuacio´n del calor', pues constituye la soluci´on a esta conocida ecuacio´n.
21
22
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
para esta teor´ia se escribe
SE []
=
1 2
dDx (x)(-Dµ2 + m2)(x) ,
(2.1)
donde D = d + 1 es la dimensi´on del espacio-tiempo. Consideramos las siguientes derivadas
covariantes:
D0 = 0 - iµ , Di = i .
(2.2)
µ es un potencial qu´imico, y el loop de Polyakov correspondiente es = eiµ. La funci´on de particio´n de esta teor´ia se calcula f´acilmente
Z = D e-SE[] = (det(-Dµ2 + m2))-1 .
(2.3)
Usaremos aqu´i el convenio Z = e-, donde es la accio´n efectiva. El potencial macrocano´nico est´a relacionado con la accio´n efectiva a trav´es de = mc. As´i pues, la accio´n efectiva se puede calcular a partir del heat kernel del siguiente modo
= log det(-Dµ2 + m2) = Tr log(-Dµ2 + m2) = -Tr
d 0
x|e- (-Dµ2 +m2)|x
,
(2.4)
donde hemos hecho uso de la representacio´n de Schwinger de tiempo propio. (-Dµ2 + m2) es un operador de tipo Klein-Gordon, que ser´a definido en ec. (2.16). Si hacemos uso de
ec. (2.45), con la definicio´n de la funci´on 0 dada en ec. (2.46), sustraemos la parte de temperatura cero (que corresponde a considerar 0 1), y se realizan las integrales, finalmente llegamos al resultado est´andar [6]
=N
ddxddk (2)d
log
1 - e-(k-µ)
+ log
1 - e-(k+µ)
.
(2.5)
N es el nu´mero de especies y k = k2 + m2. El efecto de introducir otros campos externos puede ser tenido en cuenta mediante los sucesivos ´ordenes del desarrollo del heat kernel (ec. (2.45) corresponde al primer orden).
2.2. M´etodo de los S´imbolos
Consideremos un operador gen´erico
f = f (M, Dµ) ,
(2.6)
construido con M y Dµ en un sentido algebraico, esto es, es una combinaci´on lineal (o serie) de productos de M y Dµ con coeficientes que son c-nu´meros. Dµ es la derivada covariante
Dµ = µ + Aµ(x) ,
(2.7)
2.2 M´etodo de los S´imbolos
23
Aµ(x) es el campo gauge y M(x) denota una o varias funciones matriciales de x que representan otros campos externos diferentes de los campos gauge. El m´etodo de los s´imbo-
los [41, 42] permite calcular de un modo sistem´atico los elementos diagonales del ope-
rador (2.6).
Consideraremos la siguiente normalizacio´n para los estados con posici´on y momento
bien definidos
x|p = eipx ,
p|p = (2)D(p - p) ,
(2.8)
y la relacio´n de completitud
1=
dDp (2)D
|p
p| .
(2.9)
D es la dimensi´on del espacio-tiempo. Denotaremos por |0 el estado de momento cero, el
cual satisface
x|0 = 1 , pµ|0 = 0|pµ = 0 ,
0|0 = dDx .
(2.10)
En nuestra notaci´on pµ es real, dDp indica integracio´n est´andar en RD y (p - p) es la funci´on delta correspondiente. p2 significa pµpµ. Si consideramos el elemento diagonal
x|f (M, Dµ)|x , se tiene
x|f (M, Dµ)|x = =
dDp (2)D
x|f (M, Dµ)|p
p|x
dDp (2)D
p|x
x|eipxe-ipxf (M, Dµ)eipxe-ipx|p .
(2.11)
En la primera igualdad hemos introducido la relacio´n de completitud (2.9). Teniendo en cuenta que el operador posici´on x es el generador de las traslaciones en momentos, tenemos las siguientes transformaciones de semejanza
e-ipxDµ eipx = Dµ + ipµ , e-ipxM (x) eipx = M (x) ,
(2.12)
o en general para f , construida en sentido algebraico con M y Dµ,
e-ipxf (M, Dµ) eipx = f (M, Dµ + ipµ) .
(2.13)
Basta considerar x|eipx = eipx x| y e-ipx|p = |0 en (2.11) para obtener la fo´rmula del m´etodo de los s´imbolos
x|f (M, Dµ)|x =
dDp (2)D
x|f (M, Dµ + ipµ)|0
.
(2.14)
Al elemento x|f (M, Dµ + ipµ)|0 se le denomina s´imbolo de f , y es en realidad una matriz, pues M y Dµ son operadores en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc ). El problema con (2.14) reside en que la covariancia gauge no se manifiesta de manera expl´icita cuando
se usa una base en momentos. En efecto, |0 (o ma´s generalmente |p ) no es covariante
24
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
bajo transformaciones gauge locales. Por otra parte, el miembro derecho de la igualdad en ec. (2.14) es expl´icitamente invariante bajo transformaciones de tipo boost
Dµ Dµ + aµ ,
(2.15)
donde aµ son c-nu´meros constantes. Esto se debe a que el cambio en aµ puede ser compensado mediante un cambio similar en la variable de integracio´n pµ. Esta propiedad es la condicio´n necesaria y suficiente para que exista covariancia gauge, pues implica que en un
desarrollo de f en los operadores, Dµ debe de aparecer s´olo en el interior de conmutadores.
2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero
En esta secci´on aplicaremos el m´etodo de los s´imbolos para el c´alculo del heat kernel. Consideramos el operador de Klein-Gordon2
K = M (x) - Dµ2 .
(2.16)
El heat kernel se define como el operador e-K. Nosotros estamos interesados en el c´alculo del elemento de matriz con puntos coincidentes x|e-K|x . A se le denomina para´metro de tiempo propio. Este objeto resulta en general dif´icil de calcular, y en la pra´ctica interesa estudiar su comportamiento cuando es pequen~o. El heat kernel admite un desarrollo (asint´otico) en serie de potencias de alrededor de = 0. Usando la notacio´n est´andar
x|e- K|x
=
1 (4 )D/2
an(x) n ,
n=0
(2.17)
donde los coeficientes an(x) son conocidos como coeficientes de Seeley-DeWitt [45, 46, 47], y son operadores locales construidos con una combinaci´on lineal de productos de M(x) y
Dµ. Puesto que el heat kernel es covariante gauge, la expresi´on (2.17) debe ser covariante gauge orden por orden. El heat kernel e-K no tiene dimensiones si asignamos dimensiones
de masa -2, +1, +2 a , Dµ y M, respectivamente. Por tanto, el desarrollo en potencias de es equivalente a un contaje de las dimensiones de masa de los operadores locales.
La aplicaci´on de (2.14) conduce a
x|e-(M-Dµ2 )|x = =
dDp (2)D
x|e- (M -(Dµ+ipµ)2)|0
dDp (2)D
e-
p2
x|e- (M -Dµ2 -2ipµDµ)|0
.
(2.18)
Notar que pµ es un c-nu´mero, de modo que conmuta con todos los operadores. En este punto consideramos el desarrollo de la exponencial. Hasta O(4) en dimensiones de masa
2En este cap´itulo haremos uso de una m´etrica eucl´idea.
2.3 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero
25
de los operadores locales se tiene3
x|e-(M-Dµ2 )|x =
dDp (2)D
e-
p2
x|0
+ 1
+ 2
+ 3 + 4
+ · · · |0
,
(2.19)
donde
0 = 1 ,
1 = 2i pµDµ ,
2 = - (M - Dµ2) - 2 2pµpDµD ,
3
=
-i 2pµ {Dµ, M } - {Dµ, D2}
-
i
4 3
3pµp
p
DµD
D
,
4
=
2 2
M 2 - {Dµ2, M } + Dµ4
-
3 3
pµp
{M, DµD} + DµM D - {D2 , DµD} - DµD2 D
+
2 3
4pµp ppDµD
DD
.
(2.20)
Se ha usado la notaci´on est´andar para el anticonmutador: {A, B} = AB + BA. En general, las integrales que aparecen son del tipo
dDp (2)D
e- p2
pi1
·
·
·
pi2n
1 (4 )D/2
1 (2 )n
i1 i2 ···i2n-1 i2n
(2.21)
=
1 (4 )D/2
1 (2 )n
(i1i2
·
·
· i2n-1i2n
+
(permutaciones))
,
donde i1i2···i2n es el producto sin normalizar y completamente sim´etrico de 2n deltas de Kronecker (es decir, (2n - 1)!! t´erminos). La integral en ec. (2.21) con un nu´mero impar de p's vale cero. Tras integrar en momentos, u´nicamente sobreviven los t´erminos con dimensi´on de masa par
x|e- (M-Dµ2 )|x
=
1 (4 )D/2
x 1 - M
+ 2
1 2
M
2
-
2 3
{Dµ2 ,
M}
-
1 6
Dµ
M
Dµ
+
Dµ4
+
1 6
(DµD
)2
+
1 3
Dµ D2 Dµ
+O(6) 0 .
(2.22)
Notar que el t´ermino 2 2pµpDµD ha cancelado el t´ermino Dµ2 en ec. (2.20), despu´es de integrar en momentos. Notar que cada orden del desarrollo est´a formado por un nu´mero finito de t´erminos. La invariancia del heat kernel bajo la transformaci´on (2.15) implica que
3Como se ver´a m´as adelante, el contaje en es equivalente al contaje en dimensiones de masa u´nicamente despu´es de integrar en momentos.
26
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
en ec. (2.22) solamente podra´n aparecer t´erminos con derivadas Dµ dentro de conmutadores. En efecto, el cambio Dµ Dµ + aµ no tiene efecto cuando Dµ est´a dentro de un conmutador, pero da cuenta de las contribucio´n procedente de t´erminos con Dµ fuera de conmutadores. Esto significa que los u´nicos t´erminos que sobreviven son los multiplicativos en el espacio de posiciones.4 Como ejemplo, se puede comprobar que
{Dµ2, M } = [Dµ, [Dµ, M ]] + 2[Dµ, M ]Dµ + 2M Dµ2 .
(2.24)
Los t´erminos 2[Dµ, M]Dµ y 2MDµ2 no contribuira´n en el desarrollo. El resultado final que se obtiene hasta O(4) en dimensiones de masa es
x|e- (M-Dµ2 )|x
=
1 (4 )D/2
1 - M + 2
1 2
M
2
-
1 6
Mµµ
+
1 12
Fµ2
+ O( 3)
. (2.25)
Al pasar de ec. (2.22) a (2.25) hemos quitado x| |0 por la propiedad (2.23). En lo sucesivo utilizaremos la siguiente notaci´on. El tensor de fuerza se define como Fµ = [Dµ, D], y del
mismo modo el campo el´ectrico es Ei = F0i. Adema´s, la notaci´on Dµ significa la operacio´n [Dµ, ]. Por u´ltimo decir que usaremos una notaci´on con sub´indices del tipo Xµ, lo que significa DµDDX = [Dµ, [D, [D, X]]]. Por ejemplo, M00 = D02M , Fµ = DFµ .
Los coeficientes de Seeley-DeWitt est´an calculados en la literatura. Las expresiones expl´icitas para los coeficientes an(x) del desarrollo (2.17) hasta orden n = 3 son [39, 48]
a0 = 1 ,
a1 = -M ,
a2
=
1 2
M
2
-
1 6
Mµµ
+
1 12
Fµ2
,
a3
=
-
1 6
M
3
+
1 12
{M,
Mµµ}
+
1 12
Mµ2
-
1 60
Mµµ
-
1 60
[Fµµ
,
M ]
-
1 30
{M,
Fµ2 }
-
1 60
Fµ
M
Fµ
+
1 45
Fµ2
-
1 30
Fµ
FFµ
+
1 180
Fµ2µ
+
1 60
{Fµ
,
Fµ
}
.
(2.26)
El desarrollo del heat kernel se usa frecuentemente para el c´alculo de la accio´n efectiva, y en este caso resulta necesario calcular la traza del heat kernel Tr e-(M-Dµ2 ). A temperatura
cero los coeficientes con traza bn(x) se definen simplemente como
Tr e- (M -Dµ2 )
=
1 (4 )D/2
n=0
dDx tr (bn(x)) n .
(2.27)
4M (x) y [Dµ, D] son operadores multiplicativos, mientras que Dµ2 no lo es. Si h es un operador multiplicativo en espacio de posiciones, h^|x = h(x)|x , se tiene
x|h^|0 = h(x) .
(2.23)
2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
27
Una propiedad importante es que el coeficiente an se puede obtener a partir de una variaci´on en primer orden de bn+1. En efecto, por la propia definicio´n del heat kernel se tiene que
x|e-(M-Dµ2 )|x = - 1 Tr e-(M-Dµ2 ) . M(x)
(2.28)
Si hacemos uso del desarrollo en ambos miembros de la igualdad, a temperatura cero
encontramos
an(x)
=
-
M (x)
tr
bn+1(x)
.
(2.29)
Hay cierta libertad en la eleccio´n de los coeficientes bn. Por supuesto, con tomar bn = an ser´ia suficiente. No obstante, es conveniente explotar la propiedad c´iclica de la traza y la integracio´n por partes con el fin de obtener expresiones ma´s compactas. Haciendo uso de estas dos propiedades, a temperatura cero se encuentra la siguiente forma cano´nica para los coeficientes
b0 = 1 ,
b1 = -M ,
b2
=
1 2
M
2
+
1 12
Fµ2
,
b3
=
-
1 6
M
3
-
1 12
Mµ2
-
1 12
Fµ
M
Fµ
-
1 60
Fµ2µ
+
1 90
Fµ
F
Fµ
.
(2.30)
2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
Es posible extender el m´etodo de los s´imbolos con objeto de realizar c´alculos a temperatura finita [41].
En el formalismo de tiempo imaginario la coordenada temporal est´a compactificada a un c´irculo, de modo que el espacio-tiempo de D = d + 1 dimensiones tiene topolog´ia Md+1 = S1 × Md. Las funciones de onda para bosones son peri´odicas en la direccio´n temporal con per´iodo , la inversa de la temperatura, y antiperi´odicas para fermiones. Con objeto de que M y Dµ sean operadores bien definidos en el espacio de Hilbert de las funciones de onda con grados de libertad espacio-temporales e internos, M(x) y Aµ(x) deben ser funciones peri´odicas en x0.
En este formalismo usaremos la siguiente normalizacio´n
x|p = eipx , La relacio´n de completitud es
p|p = p0p0(2)d(p - p ) .
(2.31)
1
=
1
p0
ddp (2)d
|p
p| .
(2.32)
28
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
La
frecuencia
toma
los
valores
de
Matsubara
p0
=
2n/
para
bosones
y
p0
=
2(n +
1 2
)/
para fermiones. El m´etodo de los s´imbolos se escribe en este formalismo5
x|f (M, Dµ)|x
=
1
p0
ddp (2)d
x|f (M, Dµ + ipµ)|0
.
(2.33)
Notar que |0 es peri´odico en la direcci´on temporal, de modo que la informaci´on de si estamos trabajando con bosones o fermiones se encuentra ahora contenida en los valores que toma p0.
2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple
La aplicaci´on pra´ctica del m´etodo de los s´imbolos a temperatura finita resulta bastante ma´s complicada que a temperatura cero. Con objeto de introducir los conceptos de manera gradual, vamos a considerar el heat kernel, y estudiaremos su desarrollo en un caso simple. Trataremos el caso en el que no exista potencial vector, el potencial escalar sea indenpendiente de x, y el t´ermino de masa sea un c-nu´mero constante:
A(x) = 0 , A0 = A0(x0) , M (x) = m2 , [m2, ] = 0 .
(2.34)
El resultado ser´a el t´ermino de orden cero de un desarrollo en conmutadores [Dµ, ] y [M, ] del caso general. La aplicaci´on del m´etodo de los s´imbolos (2.33) conduce a
x|e- K |x
=
1
p0
ddp (2)d
x|e- (m2+p 2-(D0+ip0)2)|0
=
e- m2 1 (4 )d/2
x|e (D0+ip0)2 |0 .
p0
(2.35)
Notar que despu´es de la transformaci´on Dj j + ipj, el operador Dj = j puede hacerse
cero pues actuara´ sobre |0 .
La
suma
sobre
frecuencias
de
Matsubara
implica
que
el
operador
1
e (D0+ip0)2
p0
es
una funci´on peri´odica de D0 con periodo i2/, y por tanto es una funci´on univaluada de
e-D0. En efecto, si hacemos uso de la f´ormula de Poisson para la sumatoria,6 se tiene
1
e (D0+ip0)2
=
1 (4 )1/2
(±)ke-kD0 e-k22/4
p0
kZ
(2.37)
5La demostraci´on de (2.33) es similar a la realizada en la sec. 2.2 para el caso de temperatura cero. 6La f´ormula de Poisson para la sumatoria es:
F (n) =
n=-
m=-
dxF (x)ei2xm .
-
(2.36)
2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
29
(± para bosones y fermiones, respectivamente). En este momento estamos en condiciones de hacer uso de la siguiente identidad operatorial [41]
e0 e-D0 = (x) ,
(2.38)
donde (x) es la l´inea de Wilson t´ermica o loop de Polyakov sin traza:
x0+
(x) = T exp -
A0(x0, x) dx0
x0
(2.39)
[T indica ordenacio´n temporal.] Si bien es esta secci´on estamos tratando el caso simple de
ec. (2.34), la definicio´n (2.39) es va´lida para un potencial escalar general A0(x). El loop de Polyakov surge aqu´i como la diferencia de fase entre traslaciones temporales covariantes
y no covariantes gauge alrededor del tiempo eucl´ideo compactificado. F´isicamente, el loop
de Polyakov se puede interpretar como el propagador de part´iculas pesadas en el fondo
del campo gauge. La identidad (2.38) es trivial si uno elije un gauge en el cual A0 es independiente del tiempo (este gauge siempre existe), pues en este caso los operadores = e-A0, D0, A0 y 0 conmutan entre s´i. Esta identidad es covariante gauge y es va´lida en cualquier gauge.7
Un punto importante es que el operador de traslaci´on en tiempo eucl´ideo, e0, no tiene
otro efecto que producir el cambio x0 x0 + y esta operacio´n es la identidad en el espacio de funciones peri´odicas en que estamos trabajando
e0 = 1 ,
(2.40)
(incluso en el caso fermi´onico, ya que despu´es de aplicar el m´etodo de los s´imbolos las derivadas actu´an sobre los campos externos y no sobre las funciones de onda de las part´iculas). Llegamos as´i al resultado importante de que en este espacio
e-D0 = (x) ,
(2.41)
esto es, siempre y cuando el operador diferencial D0 aparezca de manera peri´odica (con per´iodo 2i/), puede ser reemplazado por el operador multiplicativo -(1/) log[(x)].
La multivaluaci´on del logaritmo no es efectiva debido a la dependencia peri´odica. Otro punto importante es que D0 (o cualquier funci´on de D0) actu´a como un operador
covariante gauge sobre los campos externos F (x0, x), y por tanto transforma de acuerdo al grupo de transformaciones gauge locales en el punto (x0, x). En particular, el loop de Polyakov ec. (2.39), que es tambi´en covariante gauge, comienza en el instante x0 y no en cero. Esta diferencia ser´ia irrelevante para el loop de Polyakov con traza, pero no en el contexto de ahora.
El uso de la regla (2.41) en ec. (2.37) conduce a
1
e (D0+ip0)2
=
1 (4 )1/2
(±)kke-k22/4 .
p0
kZ
(2.42)
7En el ap´endice A se hace un estudio detallado de las transformaciones gauge a temperatura finita.
30
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
En general se tiene
f (ip0 + D0) =
f (ip0
-
1
log())
,
p0
p0
(2.43)
siempre y cuando la sumatoria sea absolutamente convergente, de modo que la suma es
una funci´on peri´odica de D0. Por futura conveniencia introduciremos el operador Q, que
se define como
Q
=
ip0
+
D0
=
ip0
-
1
log()
.
(2.44)
Hay que mencionar que la segunda igualdad se aplica en expresiones de la forma de ec. (2.43). Las dos definiciones de Q no son equivalentes en otros contextos (por ejemplo, en p0 f1(Q)Xf2(Q), a menos que [D0, X] = 0.)
El heat kernel en ec. (2.35) se puede escribir como
x|e- K |x
=
(4
1 )d/2
e-
m2
1
e Q2
=
(4
1 )(d+1)/2
e-
m2
0
()
.
p0
(2.45)
En la primera igualdad se ha hecho uso de que (x) es un operador multiplicativo, de modo que es aplicable la ec. (2.23). En la segunda igualdad se ha aplicado la definicio´n de las funciones n(), que aparecera´n con frecuencia en lo sucesivo:
n(;
/2)
=
(4 )1/2
1
n/2Qne Q2 ,
Q
=
ip0
-
1
log()
.
p0
(2.46)
Notar que para cada funci´on existe una versio´n boso´nica y otra fermi´onica, y las dos versiones est´an relacionadas por el cambio -. Como se ha indicado, estas funciones dependen s´olo de la combinaci´on /2 y son funciones univaluadas de . En el l´imite de temperatura cero la suma sobre p0 se transforma en una integral gaussiana
1
--- dp0 ,
p0
- (2)
(2.47)
y se tiene
n(; 0) =
(-
1 2
)n/2
(n
-
1)!!
(n par) ,
0
(n impar) .
(2.48)
Como se puede ver en la expresi´on (2.42), para un valor finito de las correcciones de pequen~o son de orden e-2/4 o menor, y por tanto est´an exponencialmente suprimidas. La misma supresio´n exponencial existe para las correcciones de temperatura pequen~a cuando se considera un valor finito de . Ya sea en el l´imite de temperatura cero o de tiempo propio cero, u´nicamente queda el modo k = 0.
Como motivaci´on del heat kernel, en la secci´on 2.1 se calcul´o el potencial macrocano´nico de un gas de part´iculas libres relativistas, que constituye una aplicaci´on simple de los resultados obtenidos en esta secci´on. En vista de ecs. (2.2) y (2.5), es importante subrayar la relacio´n entre el potencial qu´imico µ y el loop de Polyakov. El potencial qu´imico se
2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
31
acopla al potencial escalar A0(x) como una constante aditiva. Puesto que es constante, µ no contribuye a los operadores locales, ya que A0(x) s´olo aparece a trav´es de la derivada
covariante D0. Notar que si el loop de Polyakov no existiera en las fo´rmulas, µ no aparecer´ia en la funci´on de particio´n, lo cual obviamente constituye un resultado incorrecto. Asimismo hay que destacar que la dependencia peri´odica del heat kernel en log conduce al hecho bien conocido de que la funci´on de particio´n es peri´odica en µ con per´iodo 2i (condicio´n de consistencia debido a su acoplamiento con el operador de carga cuantizado). El loop de Polyakov aparece pues, como una generalizacio´n del factor eµ para campos gauge no abelianos y no constantes.
2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
En esta secci´on consideraremos el desarrollo del heat kernel a temperatura finita en el caso totalmente general de campos gauge no abelianos Aµ(x) y t´erminos de masa no triviales M(x).
En primer lugar es necesario especificar el contaje del desarrollo. Como vimos en sec. 2.3, a temperatura cero el desarrollo se define en potencias de [despu´es de extraer el factor geom´etrico (4 )(d+1)/2]. Este contaje en es equivalente a un contaje en las dimensiones de masa de los operadores locales.
A temperatura finita existe una magnitud dimensional adicional, , de modo que los dos contajes no van a ser equivalentes y es necesario especificar un desarrollo concreto. Como veremos ma´s adelante un desarrollo estricto del heat kernel en potencias de conducir´ia al mismo desarrollo asint´otico que a temperatura cero. Con objeto de extraer correcciones de temperatura finita no triviales ordenaremos nuestro desarrollo de acuerdo con las dimensiones de masa de los operadores locales. Asignaremos dimensiones de masa 0, +1, +2 a , Dµ y M, respectivamente. Consideraremos adema´s un desarrollo en el cual el loop de Polyakov (x) aparezca a la izquierda en todos los t´erminos, lo cual es una cuesti´on de eleccio´n (de manera equivalente, se podr´ia definir un desarrollo con (x) a la derecha). Esto es necesario pues el conmutador de con otros operadores genera conmutadores [D0, ] que tienen dimensi´on 1 en nuestro contaje. Estas especificaciones son suficientes para definir de manera un´ivoca el desarrollo del heat kernel para un grupo gauge gen´erico, de tal modo que la invariancia gauge sea manifiesta orden por orden.
El desarrollo as´i definido, en el cual cada t´ermino contiene funciones arbitrarias del loop de Polyakov pero s´olo un nu´mero finito de derivadas covariantes (incluyendo derivadas temporales), constituye una extensi´on natural del desarrollo est´andar en derivadas covariantes a temperatura cero. Los t´erminos estara´n ordenados en potencias de pero con coeficientes que dependen de /2 y :
x|e- (M-Dµ2 )|x
=
1 (4 )(d+1)/2
aTn (x) n .
n
(2.49)
De la definicio´n se deduce directamente que para una configuracio´n general el t´ermino de
32
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
orden cero es precisamente
aT0 (x) = 0((x); /2) ,
(2.50)
que fue calculado en la subsecci´on 2.4.1. Esto es debido a que cuando el caso particu-
lar (2.34) es introducido en el desarrollo general, todos los t´erminos de orden mayor, con una o ma´s [Dµ, ] o m2, se anulan.
El m´etodo que vamos a proponer para el c´alculo del desarrollo del heat kernel a tem-
peratura finita hace uso de los coeficientes de Seeley-DeWitt a temperatura cero. La idea
consiste en aplicar la f´ormula del m´etodo de los s´imbolos (2.33) en la dimensi´on temporal
u´nicamente, lo cual conduce a
x|e-(M-Dµ2 )|x = 1
x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x ,
p0
Q = ip0 + D0 .
(2.51)
Se puede definir el operador de Klein-Gordon efectivo
K = Y - Di2 , Y = M - Q2 ,
(2.52)
donde Y juega el papel de un t´ermino de masa no abeliano. Podemos hacer uso del desa-
rrollo del heat kernel a temperatura cero en d dimensiones (espaciales) con ese operador
efectivo ya que el t´ermino de masa Y, a pesar de contener derivadas temporales (en Q),
no contiene derivadas espaciales, de manera que actu´a como un operador multiplicativo
en el espacio de Hilbert espacial. La aplicaci´on directa de este argumento dar´ia lugar al
desarrollo
x0, x|e-(Y-Di2)|0, x
=
1 (4 )d/2
an(Di, Y) n ,
n=0
(2.53)
donde los coeficientes an(Di, Y) son polinomios de dimensi´on 2n construidos a partir de Y
y Di = [Di, ]. Los ´ordenes ma´s bajos corresponden a la ec. (2.26), pero considerando la sustitucio´n del t´ermino de masa M por el nuevo t´ermino de masa efectivo Y, y los ´indices
s´olo corren en la dimensi´on espacial. Notamos que para reproducir el primer orden en ec. (2.49), aT0 (x) = 0((x)) eQ2,
ser´ia necesario obtener el desarrollo a todos los ´ordenes en ec. (2.53), pues eQ2 no es un polinomio en Q. E´sta es la raz´on por la cual ec. (2.53) introducida en ec. (2.51) no resulta u´til. La manera correcta de proceder ser´a extraer desde el principio la contribucio´n eQ2,
lo cual nos llevara´ a definir un nuevo conjunto de coeficientes polin´omicos a~n
x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x
=
1 (4 )d/2
eQ2a~n(Q2, M, Di) n .
n=0
(2.54)
Consideremos la sustitucio´n de Q2 por Q2 + donde un c-nu´mero constante. Es claro que los coeficientes a~n no deben cambiar, y por tanto en a~n el operador Q2 debe aparecer s´olo dentro de conmutadores de la forma [Q2, ]. Para calcular los coeficientes a~n debemos
tener en cuenta la relacio´n
an(Di, Y) n = eQ2 a~n(Q2, M, Di) n .
n=0
n=0
(2.55)
2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
33
El m´etodo consiste en partir del desarrollo de la izquierda de la ecuaci´on (2.55) e ir movien-
do los operadores Q2 hacia la izquierda haciendo uso de conmutadores [Q2, ] (por ejemplo
MQ2 = Q2M - [Q2, M]). Al final se llega a una situacio´n en la que existen dos clases de
t´erminos: (i) t´erminos en que todos los operadores Q2 est´an dentro de conmutadores y (ii)
t´erminos con factores Q2 no saturados a la izquierda (esto es, con Q2 fuera de conmutado-
res). Los t´erminos del tipo (i) se corresponden con el desarrollo
n=0
a~n n.
Los
del
tipo
(ii)
se pueden identificar con el miembro derecho de la ecuaci´on cuando se realiza un desarrollo
de la exponencial eQ2 y se consideran ´ordenes mayores que el primero. Siguiendo esta
t´ecnica, hasta a~2 se tiene
a~0 = 1 ,
a~1 = -M ,
a~2
=
1 2
M
2
-
1 6
Mii
+
1 12
Fi2j
+
1 2
[Q2,
M]
+
1 6
(Q2)ii
.
(2.56)
Una vez que hemos construido por este procedimiento los coeficientes a~n, el siguiente paso consiste en redefinir ec. (2.54) como un desarrollo en potencias de M, Di y D0. Para ello debemos expresar [Q2, ] que aparece en el desarrollo, en t´erminos de [Q, ] = [D0, ] = D0. Se usa la siguiente propiedad:
[Q2, X] = Q[Q, X] + [Q, X]Q = 2Q[Q, X] - [Q, [Q, X]] = 2QX0 - X00 .
(2.57)
Se trata de mover todos los Q's hacia la izquierda, de modo que aparecera´n operadores D0. Al final los operadores Q fuera de conmutadores quedar´an todos a la izquierda. Para a~2 se tiene:
a~2
=
1 2
M
2
-
1 6
Mii
+
1 12
Fi2j
-
1 2
M00
+
1 3
Ei2
+
1 6
E0ii
+
Q
M0
-
1 3
Eii
.
(2.58)
Notar que en a~2 existen dos tipos de contribuciones: aquellos t´erminos con una Q a la izquierda, y aquellos que no la tienen. En nuestro contaje, estos dos tipos pertenecen a ´ordenes diferentes: dimensi´on de masa tres y cuatro, respectivamente. Cuando a~2 es introducido en ec. (2.54) (queda multiplicado por el factor eQ2) y despu´es en ec. (2.51) (suma sobre frecuencias de Matsubara), se obtienen las siguientes contribuciones
a~2 0()
1 2
M
2
-
1 6
Mii
+
1 12
Fi2j
-
1 2
M00
+
1 3
Ei2
+
1 6
E0ii
2+1()
M0
-
1 3
Eii
3/2 ,
(2.59)
donde se ha hecho uso de la definicio´n de n(), ec. (2.46).
Como vemos cada coeficiente de heat kernel a temperatura cero ak en ec. (2.53) con
dimensi´on de masa 2k permite obtener un coeficiente correspondiente a~k. Este coeficiente va a dar contribucio´n, en general, a varios coeficientes de heat kernel aTn (con dimensi´on de masa 2n). Las diferentes contribuciones se deben a que pueden existir ciertos factores de Q
a la izquierda de cada t´ermino que no actu´an como D0, de modo que son adimensionales. Por tanto para un valor de k dado, los valores de n permitidos deben satisfacer n k, y la
34
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
igualdad corresponde a t´erminos que tienen todos los Q's dentro de conmutadores. Podemos encontrar una cota inferior para n si vemos que el nu´mero ma´ximo de [Q2, ]'s en a~k(k 0)
es k - 1, y por tanto ´este va a ser el nu´mero ma´ximo de Q's fuera de conmutadores que
queden a la izquierda. Esto conduce a la condicio´n k 2n - 1. Adema´s notemos que un factor Q va a dar lugar a un coeficiente () en aTn . En suma, para el c´alculo de los coeficientes de heat kernel t´ermicos vamos a tener el siguiente esquema
a0 a~0 0aT0 a1 a~1 0aT1 a2 a~2 0aT2 + 1aT3/2 a3 a~3 0aT3 + 1aT5/2 + 2aT2 a4 a~4 0aT4 + 1aT7/2 + 2aT3 + 3aT5/2 a5 a~5 0aT5 + 1aT9/2 + 2aT4 + 3aT7/2 + 4aT3
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ak a~k 0aTk + 1aT(2k-1)/2 + · · · + k-1aT(k+1)/2
(2.60)
Esta mezcla de t´erminos no ocurre a temperatura cero, no obstante no puede ser evitada
a temperatura finita. Vemos que a Q no se le podr´ia asignar dimensi´on de masa 1 ya que
la suma sobre las frecuencias de Matsubara p0 no converge para un polinomio en Q. Si p0 se cuenta con dimensi´on cero pero D0 siempre con dimensi´on 1 la invariancia gauge se perder´ia. En suma, el hecho de considerar adimensional y D0 con dimensi´on 1 es un pequen~o precio que hay que pagar para tener un desarrollo covariante gauge orden por
orden.
Del esquema anterior se deduce que para calcular los coeficientes de heat kernel t´ermicos completos hasta aT3 debemos buscar contribuciones hasta a5. Como regla general, para aTn van a existir contribuciones de ak, n k 2n - 1, excepto para aT0 el cual s´olo recibe la contribucio´n trivial de a0. En particular aT3 , aparte de la contribucio´n que reciba de a3, s´olo requiere t´erminos Yn, con n = 2, 3, 4 en a4(Di, Y) y n = 4, 5 en a5(Di, Y).
Haciendo uso de este m´etodo se han calculado los coeficientes de heat kernel t´ermicos
hasta dimensi´on de masa 6. Los resultados son los siguientes:
aT0 = 0 , aT1/2 = 0 ,
aT1 = -0M ,
aT3/2 = 1
M0
-
1 3
Eii
,
aT2
=
0
aT2 =0
+
1 6
2(Ei2
+
E0ii
-
2M00)
,
aT5/2
=
1 3
(21
+
3)
M000
+
1 6
1M0ii
-
1 3
1
(2M0M
+
M M0)
+
1 6
1
({Mi,
Ei}
+
{M,
Eii})
-
1 3
1
+
1 5
3
E00ii
-
1 30
1Eiijj
(2.61)
2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
35
-
5 6
1
+
2 5
3
E0iEi -
1 2
1
+
4 15
3
EiE0i
+
1 30
1[Ej
,
Fiij ]
-1
1 10
F0ij
Fij
+
1 15
Fij
F0ij
,
aT3
= 0 aT3 =0 -
1 4
2
-
1 10
4
M0000
-
1 60
2
3M00ii - 15M00M - 5M M00 - 15M02
+4{M, Ei2} + 2EiM Ei + 4M E0ii + 6E0iiM + 4MiE0i + 6E0iMi
+7M0Eii + 3EiiM0 + 6M0iEi + 4EiM0i
+
3 20
2
-
1 15
4
E000ii
+
1 60
2E0iijj
+
1 2
2
-
1 5
4
E00iEi
+
7 30
2
-
1 10
4
EiE00i +
19 30
2
-
4 15
4
E02i
+
1 180
2
2{Ei, Ejji} + 4{Ei, Eijj} + 5Ei2i + 4Ei2j + 4F0iij Ej - 2Ej F0iij - 2E0ij Fij
-[Eij , F0ij] - 4E0iFjji + 2FjjiE0i + 2EiFijEj + 2{EiEj , Fij} + 7F00ij Fij
+3Fij F00ij + 8F02ij .
En estas f´ormulas aTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aperecen en ec. (2.26). Por conveniencia hemos introducido las funciones auxiliares
2 = 0 + 22 ,
4
=
0
-
4 3
4
,
......
,
2n
=
0
-
(-2)n (2n - 1)!!
2n
,
(2.62)
que se anulan en el l´imite /2 = 0. Con nuestro criterio para calcular el desarrollo del heat
kernel a temperatura finita conseguimos ordenar las derivadas de manera que las espaciales
son las que actu´an primero y las temporales son las ma´s externas. Esta eleccio´n es o´ptima de cara a calcular la traza de los coeficientes Tr aTn (x), pues por la propiedad D0 = 0, los t´erminos de la forma nX0 no contribuyen en la traza, como puede verse despu´es de integrar por partes.
2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel
En ec. (2.27) se definieron los coeficientes de heat kernel con traza a temperatura cero. A temperatura finita podemos definir de manera similar los coeficientes con traza bTn (x)
Tr
e- (M -Dµ2 )
=
1 (4 )(d+1)/2
n=0
dx0
0
ddx tr(bTn (x)) n ,
(2.63)
donde bTn presenta una estructura ma´s simple que aTn . Vamos a elegir una forma cano´nica para estos coeficientes en la cual las funciones de est´en situadas a la izquierda de los
operadores locales covariantes gauge. Adema´s de la integracio´n por partes y propiedad
36
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
c´iclica de la traza, deberemos trabajar con conmutadores del tipo [X, f ()] (en particular
Dµf () ). Veamos cuales son las reglas de conmutacio´n. Consideremos dos operadores cualesquiera
X e Y , y f una funci´on gen´erica. Entonces el conmutador [X, f (Y )] admite el siguiente desarrollo en conmutadores
[X, f (Y )]
=
-f (Y
)[Y,
X]
+
1 2
f
(Y
)[Y,
[Y,
X ]]
-
1 3!
f
(3)(Y
)[Y,
[Y,
[Y,
X ]]]
+
·
·
·
=
n=1
(-1)n n!
f (n)(Y
)DYn
(X )
,
(2.64)
donde DY = [Y, ]. Para probar esto es suficiente con probar que se cumple para funciones del tipo f (Y ) = eY , donde es un c-nu´mero, ya que el caso general se obtiene por
descomposici´on de Fourier. En este caso, el miembro derecho de (2.64) es
(-1)n n!
neY
DYn
(X
)
=
eY
e-DY - 1 X = eY
e-Y XeY - X
= [X, eY ] , (2.65)
n=1
que coincide con el miembro izquierdo. En esta demostraci´on hemos hecho uso de la identidad eDY X = eY Xe-Y , que es bien conocida.
Particularicemos al caso en que f sea una funci´on de (por ejemplo n()). Con f (n) vamos a denotar su derivada n-´esima con respecto a la variable - log()/. Entonces de
estas f´ormulas se obtiene
[X,
f]
=
-f X0
+
1 2
f
X00
-
1 3!
f
(3)X000
+
·
·
·
.
En el caso de operadores X = Dµ tendremos
(2.66)
D0f = 0 ,
Dif
=
-f Ei
+
1 2
f
E0i
-
1 3!
f
(3)E00i
+
·
·
·
.
(2.67) (2.68)
La propiedad (2.67) se podr´ia deducir directamente de D0 = [D0, ] = 0. Estas fo´rmulas implican que a temperatura finita, al contrario que a temperatura cero, la propiedad c´iclica
de la traza mezcla t´erminos de ´ordenes diferentes. Esto es debido a que D0 tiene dimensiones de masa, mientras que es adimensional. As´i, por ejemplo 0() es de dimensi´on cero
y Di es de dimensi´on uno, mientras que Di0() contiene t´erminos de todos los o´rdenes, comenzando con dimensi´on 2. Para aplicar estas reglas de conmutacio´n a aTn vamos a necesitar adema´s la relacio´n
n
=
(nn-1
+
2n+1)
,
(2.69)
que se deduce f´acilmente a partir de la definicio´n de n en ec. (2.46).
2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita
37
La integracio´n por partes, la propiedad c´iclica de la traza y estas reglas de conmutacio´n
nos van a permitir escribir expresiones ma´s compactas para los coeficientes aTn , va´lidas bajo traza. Hasta dimensi´on de masa 6 obtenemos
bT0 = bT1/2 =
bT1 = bT3/2 =
bT2 =
bT5/2 =
bT3 =
0 , 0,
-0M ,
0,
0bT2 =0
-
1 6
2
Ei2
,
-
1 6
1{Mi
,
Ei}
,
0bT3 =0
+
1 6
2
1 2
M02
+
EiM Ei
+
1 10
Ei2i
+
1 10
F02ij
-
1 5
EiFij
Ej
-
1 6
2
-
1 10
4
E02i .
(2.70)
Escritos de esta forma, se ve expl´icitamente que en el l´imite de temperatura cero se recupera la simetr´ia Lorentz. En estas f´ormulas bTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aparecen en ec. (2.30). El heat kernel es sim´etrico frente a la transposici´on de operadores ABC · · · · · · CBA, y los bTn han sido elegidos de manera que esta simetr´ia se manifieste en cada orden.
Como hemos dicho, la integracio´n por partes y la propiedad c´iclica de la traza hace que
exista cierta ambigu¨edad en la expresi´on de los coeficientes bn tanto a temperatura cero como a temperatura finita. No obstante a temperatura finita la ambigu¨edad es mayor ya
que estas dos propiedades mezclan o´rdenes diferentes. El desarrollo a temperatura finita lo
podemos expresar en la forma
Tr
e- (M -Dµ2 )
=
1 (4 )(d+1)/2
BnT n ,
n=0
BnT = Tr bTn (x) .
(2.71)
A temperatura cero el desarrollo se define como un desarrollo en potencias del para´metro , de modo que BnT =0 no es ambiguo, la ambigu¨edad s´olo existe en bTn=0(x). Sin embargo a temperatura finita el desarrollo no est´a sujeto a un para´metro, sino que lo hemos definido como un desarrollo en conmutadores, de modo que existe ambigu¨edad no s´olo en bTn (x) sino tambi´en en BnT . En general la eleccio´n concreta de bTn va a afectar la forma de los ´ordenes superiores bTn+1/2, bTn+1, . . . . Por supuesto, la ambigu¨edad en BnT no afecta la suma de la serie, sino que u´nicamente se trata de una reorganizaci´on de ´esta. Como ejemplo, consideremos que en bT2 =0 an~adimos el t´ermino Mµµ. Nada cambia a temperatura cero, pues ese t´ermino es un conmutador puro. No obstante, a temperatura finita ese t´ermino
conducir´ia a la contribucio´n 0Mµµ que no es un conmutador puro, y por tanto va a modificar el funcional B2T . De hecho 0Mµµ, que es formalmente de dimensi´on 4, se puede
38
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
expresar como una suma de t´erminos de dimensi´on 5 y mayores, si hacemos uso de la
integracio´n por partes y de las reglas de conmutacio´n (2.66)-(2.68).
El criterio b´asico que hemos seguido para elegir los coeficientes bTn ha consistido en llevarlos de manera recursiva a una forma compacta, comenzando por los de orden inferior. Por ejemplo, bajo traza aT3/2 se puede llevar a una suma de t´erminos de dimensi´on 4 o mayor, despu´es de integrar por partes y aplicar las reglas de conmutacio´n. Haciendo esto conseguimos bT3/2 = 0. El siguiente paso consistira´ en llevar aT2 (modificado con la contribucio´n que recibe de Tr aT3/2) a la forma ma´s compacta posible, lo cual en principio producir´ia contribuciones a aT5/2, y as´i sucesivamente. Por supuesto, ´esta no es la u´nica posibilidad ya que llevar bTn a la forma ma´s simple posible va a implicar en general una mayor complicaci´on en los ´ordenes superiores. Por ejemplo, se puede ver que es posible ordenar el desarrollo de modo que todos los coeficientes bTn de orden semi-impar se anulen. As´i, podr´iamos eliminar bT5/2 con el coste de complicar bT2 .
El an´alogo de ec. (2.29) a temperatura finita va a verse modificado por el hecho de que la variaci´on de bTk contribuye no s´olo a aTk-1, sino en general a todos los o´rdenes superiores, debido a la propiedad de conmutacio´n (2.66). Por tanto podemos escribir
aTn
(x)
-
M (x)
BkT k-n-1 ,
1kn+1
(2.72)
donde el s´imbolo indica que u´nicamente debemos considerar los t´erminos de dimensi´on 2n en el miembro derecho de la ecuaci´on. Notar que k puede tomar valores tanto enteros como semi-impares. Hemos comprobado nuestros resultados verificando que esta relacio´n se cumple para todos los coeficientes.
2.5. Conclusiones
En este cap´itulo hemos construido el desarrollo del heat kernel en el contexto de teor´ia cua´ntica de campos a temperatura finita para espacio-tiempo plano. El desarrollo se ha hecho para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios. Se ha puesto un ´enfasis especial en el papel que juega el loop de Polyakov sin traza (o linea de Wilson t´ermica) para mantener la invariancia gauge expl´icita. Esto constituye un problema altamente no trivial, ya que para preservar la invariancia gauge a temperatura finita orden por orden se necesitan infinitos o´rdenes en teor´ia de perturbaciones.
Cuando se elige que el ban~o t´ermico est´e en reposo, el loop de Polyakov es generado por la componente temporal del campo gauge, y ´este se puede considerar como una generalizacio´n del potencial qu´imico para campos gauge no constantes y no abelianos, mediante el factor eµ. De hecho, hemos aportado argumentos que apoyan esta interpretacio´n: si el loop de Polyakov no fuera tenido en cuenta, el nu´mero de part´iculas no podr´ia ser fijado, lo cual est´a en contradicci´on con lo que se espera de los requisitos de la termodina´mica.
2.5 Conclusiones
39
En espacios tiempos curvos, adema´s del loop de Polyakov de la conexio´n gauge Aµ, existe un loop de Polyakov asociado con la conexio´n de transporte paralelo µ, con importantes repercusiones en teor´ia de campos en presencia de campos gravitatorios.
Un ingrediente importante de nuestra t´ecnica de c´alculo es que, con objeto de garantizar la invariancia gauge expl´icita, una cierta combinaci´on del loop de Polyakov y la temperatura debe tratarse como variable independiente, - log()/. Esto puede hacerse sin necesidad de fijar el gauge.
40
Cap´itulo 2: Desarrollo del Heat Kernel
Cap´itulo 3
Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
En este cap´itulo nos proponemos encontrar un lagrangiano efectivo de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la regio´n de altas temperaturas. En el c´alculo de los determinantes funcionales haremos uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita que hemos obtenido en el cap´itulo 2. Esto nos permitira´ calcular el lagrangiano efectivo como un desarrollo en operadores, y aqu´i obtendremos los ´ordenes ma´s bajos en este desarrollo.
Existen en la literatura otros m´etodos equivalentes como el c´alculo de diagramas de Feynman a un loop con un nu´mero arbitrario de patas externas [49]. No obstante suelen ser t´ecnicamente ma´s complicados y no dan cuenta automa´ticamente de invariancia gauge con respecto al campo externo.
Comenzaremos este cap´itulo repasando algunos elementos b´asicos de la teor´ia de YangMills a temperatura finita, para posteriormente entrar de lleno en el c´alculo detallado de la accio´n de QCD a temperatura alta manteniendo la invariancia gauge de manera expl´icita. El cap´itulo est´a basado en la referencia [44].
3.1. Fundamentos de la Teor´ia de Yang-Mills a Temperatura Finita
En esta secci´on vamos a explicar los fundamentos de la teor´ia de Yang-Mills a temperatura finita. Partiremos del hamiltoniano cua´ntico del sistema y deduciremos la funci´on de particio´n.
En una teor´ia de Yang-Mills el hamiltoniano cua´ntico es
H
=
-
1 g2
d3x tr (0Ai)2 + Bi2 ,
(3.1)
donde
Bi
es
el
campo
magn´etico,
Bi
=
1 2
ijk
Fjk
.
El
espacio
de
Hilbert
est´a
formado
por
los estados {|Ai(x) }. Podemos escribir e-H como l´imN e-H N , /N , y haciendo
41
42
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
uso de la relacio´n de completitud repetidamente se llega a
Ai(x)|e-H |Ai(x) =
DAi(x0, x) exp
1 g2
dx0
0
d3x tr[(0Ai)2 + Bi2] ,
(3.2)
donde la integral funcional se toma sobre trayectorias en las que las configuraciones inicial
y final est´an fijas: Ai(, x) = Ai(x) y Ai(0, x) = Ai(x). La traza de e-H en el espacio de Hilbert completo es
ZYM = Tr e-H = DAi(x) Ai(x)|e-H |Ai(x)
(3.3)
=
DA(i0)(x)
Ai(,x)=A(i0)
DAi(x0, x) exp
Ai (0,x)=A(i0)
1 g2
dx0
0
d3x tr (0Ai)2 + Bi2
.
Se trata de una integral funcional sobre campos gauge peri´odicos Ai(0, x) = Ai(, x). No obstante, en una teor´ia gauge hay que sumar, no sobre todos los estados posibles, sino sobre los estados f´isicos solamente, esto es, los que satisfacen la ley de Gauss
D · E(x)|fis = 0 x ,
(3.4)
donde Ei(x) = 0Ai(x). Esta relacio´n expresa la conservaci´on del flujo el´ectrico. Para satisfacer (3.4) basta con que se verifique
exp d3x tr[D(x) · E(x)] |fis = |fis ,
(3.5)
para todo (x) con soporte compacto. (U) = exp( D · E) es un operador unitario que da lugar a las transformaciones gauge independientes del tiempo U = e. Esto significa
que imponer la ley de Gauss es equivalente a exigir que los estados f´isicos sean invariantes
frente a transformaciones gauge cuyos generadores se anulen en el infinito. Estos estados pueden ser seleccionados introduciendo el proyector P = ()=0 D (e) dentro de la integral funcional
ZYM = Tr P e-H =
D(x)DAi(x) AUi (x)|e-H|Ai(x)
()=0
=
D(x)
DAi(x0, x) exp
()=0
Ai(,x)=AUi (0,x)
1 g2
dx0
0
(3.6) d3x tr (0Ai)2 + Bi2 ,
donde hemos considerado Ai|(U) = AUi |. Se trata de una integral funcional sobre campos peri´odicos salvo transformaci´on gauge. Con objeto de derivar una expresi´on que sea
estrictamente peri´odica introducimos el proyector P ma´s de una vez, lo cual es factible ya
que P y H conmutan
ZYM
=
l´im Tr P e-H N
N
=
D(x0, x)DAi(x0, x) exp
1 g2
dx0
0
(3.7) d3x tr (0Ai - Di)2 + Bi2 .
3.2 Sector fermi´onico
43
Definiendo el campo A0(x0, x) = (x0, x), que se anula en x infinito, llegamos a
ZYM =
DAµ(x0, x) exp
Aµ(,x)=Aµ(0,x)
1 2g2
dx0
0
d3x tr Fµ2
=:
La ecuaci´on de movimiento e identidades de Bianchi vienen dadas por
DAµ(x)e-SYEM . (3.8)
DµFµ = 0 , DFµ + DµF + D Fµ = 0 .
(3.9)
En las integrales funcionales existe una condicio´n de periodicidad temporal en el intervalo [0, ] para los campos gauge, que son boso´nicos. Adema´s es necesario integrar sobre todos los valores en los extremos del intervalo. Si se consideran quarks en la teor´ia, estos debera´n satisfacer condiciones de antiperiodicidad, por ser campos fermi´onicos. La funci´on de particio´n eucl´idea de QCD sin renormalizar se escribe
ZQCD =
DAµ(x0, x)
Aµ ( ,x)=Aµ (0,x)
donde la accio´n eucl´idea es
Nf
Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SE) ,
q(,x)=-q(0,x) =1
(3.10)
SE
=
-
1 2g
2
dx0
0
d3x tr(Fµ2 ) + dx0 0
Nf
d3x q(D/ +m)q .
=1
(3.11)
Dµ = µ + Aµ es la derivada covariante y Aµ es una matriz antiherm´itica de dimensi´on Nc, en la representacio´n fundamental del ´algebra de Lie del grupo gauge SU(Nc). Nf es el nu´mero de sabores diferentes de quarks, y m es la masa desnuda de los quarks.
En el tratamiento que haremos para calcular la accio´n efectiva a un loop, las fluctuaciones cua´nticas de los campos gauge no van a modificar el sector de los quarks. La contribucio´n de este sector constituira´ una correcci´on a la funci´on de particio´n de YangMills, de modo que podremos hacer uso de la siguiente factorizacio´n
ZQCD = ZqZYM ,
(3.12)
donde Zq y ZYM corresponden a la funci´on de particio´n del sector fermi´onico y gluo´nico respectivamente. Esto se justificara´ en la secci´on 3.3. Calcularemos cada una de estas contribuciones por separado.
3.2. Sector fermi´onico
La contribucio´n de los quarks es ma´s simple que la glu´onica, de modo que la trataremos en primer lugar para as´i conseguir una mayor claridad en el desarrollo. Los resultados de esta secci´on ser´an va´lidos para cualquier grupo gauge. En la secci´on 3.3 se particularizar´an las f´ormulas para grupos gauge concretos. Consideraremos el caso particular de quarks sin masa (m = 0).
44
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
La funci´on de particio´n sin renormalizar es
Nf
Zq[A] =
Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SqE) ,
q(,x)=-q(0,x) =1
con la accio´n eucl´idea
SqE = dx0 0
Nf
d3x q D/ q .
=1
La integral funcional de los campos de los quarks conduce a
(3.13) (3.14)
Zq[A] = Det(D/ )Nf ,
(3.15)
y la accio´n efectiva eucl´idea es1
dqesn[A] = -Nf log Det(D/ ) = -Nf Tr log(D/ ) .
(3.16)
Esta expresi´on es formal debido a la presencia de divergencias ultravioletas. U´ nicamente despu´es de regularizar y renormalizar estas divergencias se obtiene una accio´n efectiva finita y bien definida. Existe un gran nu´mero de m´etodos diferentes para obtener una versio´n renormalizada, pero un resultado est´andar de teor´ia cua´ntica de campos perturbativa es que diferentes definiciones de pueden diferir a lo sumo en t´erminos que son polinomios locales de dimensi´on cano´nica d + 1 (donde d + 1 es la dimensi´on del espacio-tiempo), construidos con los campos externos y sus derivadas [18, 50]. Esto es debido a que todos los diagramas de Feynman son convergentes ma´s all´a de d + 1 derivadas en los campos o en los momentos externos [51]. En la pra´ctica vamos a tener que cualquier m´etodo consistente con la expresi´on formal de la accio´n efectiva puede ser usado, puesto que todos ellos van a dar la misma contribucio´n finita ultravioleta.
3.2.1. Acci´on efectiva con representaci´on de Schwinger
De acuerdo con el tratamiento usual, elevaremos al cuadrado el operador de Dirac con objeto de obtener un operador de Klein-Gordon. Haciendo uso de la representacio´n de Schwinger de tiempo propio podemos escribir la contribucio´n del sector fermi´onico a la accio´n efectiva de QCD a un loop como
q [A]
=
-
Nf 2
Tr
log(D/2)
=
Nf 2
0
d
Tre D/2
=:
dx0
0
d3x Lq(x) ,
(3.17)
Lq (x)
=
Nf 2
d µ2 0 (4 )D/2
ntr(bTn,q(x)) .
n
(3.18)
Usamos regularizacio´n dimensional para regular las divergencias ultravioletas en = 0, con el convenio D = 4 - 2. El factor µ2 restablece la dimensi´on 4 en masa del lagrangiano
1Nuestro convenio para la acci´on efectiva es Z = e-.
3.2 Sector fermi´onico
45
efectivo. La traza de Dirac est´a incluida en bTn,q y tr se refiere a traza en el espacio de color. Para aplicar nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita al c´alculo de la accio´n
efectiva u´nicamente debemos identificar el operador de Klein-Gordon correspondiente. Usa-
remos el siguiente convenio para las matrices µ:
µ = µ , {µ, } = 2µ , trDirac(1) = 4 .
(3.19)
Se puede escribir
-
D/2=
-Dµ2
-
1 2
µ
Fµ
,
(3.20)
donde se ha usado µ = µ + µ. El operador de ec. (3.20) es de tipo Klein-Gordon, y
podemos
identificar
el
t´ermino
de
masa
como
M (x)
=
-
1 2
µ
Fµ
.
3.2.2. Traza en espacio de Dirac
El siguiente paso es hacer uso de los coeficientes de heat kernel (2.70) y calcular la traza en el espacio de Dirac. La traza en este espacio muestra que bT1 y bT5/2 no van a contribuir, lo cual es extensible a todos los t´erminos del heat kernel con una u´nica M. Usamos las siguientes propiedades
trDirac(µ1 µ2 · · · ) µ2n+1 = 0 , trDirac(µ) = 4µ , trDirac(µ) = 4(µ - µ + µ ) .
(3.21)
Existe otra propiedad que permite invertir el orden de las matrices µ dentro de la traza
trDirac(µ · · · ) = trDirac(· · · µ) .
(3.22)
Hasta dimensi´on de masa 6 tenemos
bT0,q = 40 ,
bT2,q
=
-
2 3
0Fµ2 + 2Ei2
,
(3.23)
bT3,q
= 0
32 45
Fµ
F
Fµ
+
1 6
F2µ
-
1 15
Fµ2µ
+ 2
1 15
Ei2i
-
1 10
F02ij
-
2 15
EiFij
Ej
+
2 5
4
-
2
E02i .
Las funciones n corresponden a su versio´n fermi´onica, esto es, la suma es sobre las fre-
cuencias
de
Matsubara
p0
=
2(n
+
1 2
)/
.
Los
t´erminos
que
rompen
simetr´ia
Lorentz
se
han separado expl´icitamente.
46
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
3.2.3. Integrales en tiempo propio
Como hemos indicado, vamos a hacer uso de la regularizacio´n dimensional en la integral sobre , ec. (3.18). Las integrales van a ser del tipo
I±,n() :=
0
d
(4µ2 ) ±n ()
,
|| = 1 ,
(3.24)
donde ±n se refiere a la versio´n boso´nica o fermi´onica, respectivamente. En el sector fermi´onico es el loop de Polyakov en la representacio´n fundamental. A nivel pra´ctico en realidad va a indicar cada uno de los autovalores del loop de Polyakov. En el ap´endice B se calculan estas integrales y se discuten algunas de sus propiedades. Para el sector de los quarks nos va a interesar la versio´n fermi´onica de las integrales, y hasta dimensi´on 6 en masa necesitamos s´olo valores pares de n:
I-,2n(ei2) = (-1)n(4)
µ 2
2
2
(
+
n
+
+
1 2
)
2
(
1 2
)
×
(1
+
2
+
2,
1 2
+
)
+
(1
+
2
+
2,
1 2
-
)
,
-
1 2
<
<
1 2
,
(3.25)
donde hemos hecho uso de la notaci´on = ei2. (z) es la funci´on Gamma de Euler y
(z, q) la funci´on de Riemann generalizada [52]. En general las integrales I±,n() van a ser funciones univaluadas en , esto es, peri´odicas en con per´iodo 1. La fo´rmula (3.25) se
ha de
escrito de manera este intervalo debe
que sea directamente aplicable en el considerarse una extensi´on peri´odica
intervalo
-
1 2
de la funci´on.
A<dem<a´s12I.-,F2nu(era)
son funciones pares en .
Calculemos a continuaci´on la contribucio´n al lagrangiano efectivo. El orden cero requiere
I--2,0. Obtenemos
I--2,0
=
-
2 3
2
4
B4(
1 2
+
)
+
O()
,
(3.26)
donde hemos hecho uso de la relacio´n (1 - n, q) = -Bn(q)/n, n = 1, 2, . . . , y Bn(q) es el polinomio de Bernoulli de orden n. Por tanto, tenemos que el potencial efectivo va a ser
L0,q (x)
=
2Nf 4
2Nc 45
-
1 12
tr
(1 - 42)2
,
(x) = ei2 ,
-
1 2
<
<
1 2
,
(3.27)
donde Nc = tr(1) indica el nu´mero de colores. tr es la traza en la representacio´n fundamental del grupo gauge de color, y es la matriz log()/(2i) en esta representacio´n y con valores propios en la rama || < 1/2.
Notar que z = 1 es el u´nico punto singular de la funci´on (z, q) (se trata de un polo simple). U´ nicamente las integrales I0-,2n tienen el polo est´andar 1/, con lo cual ´este s´olo
3.3 Sector glu´onico
47
va a aparecer en los t´erminos con dimensi´on de masa 4, esto es bT2,q. Para estos t´erminos necesitamos
I0-,0
=
1
+
log(4)
-
E
+
2
log(µ/4)
-
1 2
+
-
1 2
-
+ O() ,
I0-,2 := I0-,0 + 2I0-,2 = -2 + O() .
(3.28)
Las integrales I±,2n se definen de forma an´aloga a I±,2n pero usando 2n en lugar de 2n. (q) es la funci´on digamma, y aqu´i hemos hecho uso de la relacio´n
(1
+
z,
q)
=
1 z
-
(q)
+
O(z)
.
(3.29)
Notar que las funciones 2n se definieron de manera que se anulasen en el l´imite /2 = 0, de modo que las integrales correspondientes van a estar libres de divergencias ultravioletas. Los t´erminos 1/ + log(4) - E que aparecen en I0-,0 son eliminados si adoptamos el esquema de regularizacio´n MS. Despu´es de renormalizar, punto que explicaremos
en la secci´on 3.4, tendremos
L2,q (x)
=
-
1 3
1 (4)2
Nf
tr
2 log(µ/4) -
1 2
+
-
1 2
-
Fµ2 - 2Ei2 .
(3.30)
Para los t´erminos con dimensi´on de masa 6 vamos a necesitar las integrales
I1-,0
=-
4
2
1 2
+
+
1 2
-
+ O() ,
I1-,2 = -2I1-,0 + O() , I1-,4 = -4I1-,0 + O() ,
(3.31)
donde hemos hecho uso de la relacio´n (n)(q) = (-1)n+1n!(n + 1, q) . Esto conduce a
L3,q(x)
=
-
2 (4)4
Nf
2tr
1 2
+
+
1 2
-
(3.32)
×
8 45
Fµ
F
Fµ
+
1 24
F2µ
-
1 60
Fµ2µ
+
1 20
F02µ
-
1 30
Ei2i
+
1 15
EiFij
Ej
.
Notar que cada orden del heat kernel est´a asociado a una potencia en temperatura, L0 T 4, L2 T 0, L3 T -2, lo cual quiere decir que el desarrollo del heat kernel a temperatura finita es esencialmente un desarrollo en potencias de k2/T 2, donde k es el momento glu´onico t´ipico. Los t´erminos de orden T 2 est´an prohibidos ya que no existen
operadores invariantes gauge de dimensi´on 2 disponibles.
3.3. Sector gluo´nico
A continuaci´on nos vamos a centrar en el t´ermino de Yang-Mills, para el cual consideraremos espec´ificamente el grupo SU(Nc) (matrices unitarias, una u´nica constante de acoplamiento y matrices del ´algebra de Lie con traza cero en cualquier representacio´n).
48
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
La funci´on de particio´n sin renormalizar es
Zg =
DAµ(x0, x) exp(-SYEM)
Aµ ( ,x)=Aµ (0,x)
con la accio´n eucl´idea
SYEM
=
-
1 2g2
dx0
0
d3x tr(Fµ2 ) .
Se trata de una integral funcional entre configuraciones peri´odicas.
(3.33) (3.34)
3.3.1. M´etodo del Campo de Fondo
Para el c´alculo de la accio´n efectiva haremos uso del M´etodo del Campo de Fondo [53, 54]
que consiste en separar el campo glu´onico, que por claridad denotaremos aqu´i como Aµ, en un campo cl´asico Aµ ma´s una fluctuacio´n cua´ntica aµ en la accio´n (3.34). La fluctuacio´n es presumiblemente pequen~a.
Aµ(x) = Aµ(x) + aµ(x) .
(3.35)
Esto va a inducir una separacio´n en el tensor Fµ
Fµ [A] = Fµ [A] + Dµa - Daµ + [aµ, a] .
(3.36)
En ec. (3.36) la derivada covariante es la asociada al campo cl´asico, esto es Dµ = µ + Aµ.
En nuestra notaci´on Dµ = [Dµ, ]. Notar que los campos de los quarks se eligen como una fluctuacio´n pura, de modo que aµ no modifica el sector fermi´onico a un loop. Esto justifica la factorizacio´n de ec. (3.12)
Una transformaci´on gauge infinitesimal de Aµ con para´metro puede ser distribuida de muchas maneras sobre los campos Aµ y aµ, pero las elecciones ma´s convenientes van a ser la transformaci´on cu´antica
Aµ = 0 , aµ = Dµ + [aµ, ] y la transformaci´on del campo de fondo
(3.37)
Aµ = Dµ , aµ = [aµ, ] .
(3.38)
La clave consiste ahora en an~adir a la accio´n cl´asica un t´ermino que fije el gauge (gaugefixing term) el cual va a romper la invariancia gauge cua´ntica, pero respetar´a la invariancia gauge del campo cl´asico de fondo
Sfix
=
1
dx0
0
d3x tr(G2) ,
(3.39)
donde la funci´on G transforma de modo covariante bajo (3.38). El t´ermino de Faddeev-
Popov asociado es
SFP = 2 dx0
0
d3x tr
C
G
C
,
(3.40)
3.3 Sector glu´onico
49
donde G/ indica la variaci´on de G bajo una transformaci´on gauge cua´ntica. C y C
son los campos ghost y antighost respectivamente, que son objetos que anticonmutan (si
bien son peri´odicos en tiempo eucl´ideo) y son matrices en la representacio´n fundamental de su(Nc). La accio´n total Stot = SYEM + Sfix + SFP aparece en el funcional generador de todas las funciones de Green
Zg[A, J, , ] = N DaDCDC exp (-Stot + J · a + · C + C · ) ,
(3.41)
donde J, y son fuentes y el factor de normalizacio´n N se elige de modo que se verifique Zg[A, 0, 0, 0] = 1. Notar que el campo cl´asico de fondo no est´a acoplado con la fuente J. El funcional generador para los diagramas conexos viene dado por
Wg[A, J, , ] = log Zg[A, J, , ] .
(3.42)
Los valores esperados de todos los campos se definen como
a~
=
Wg J
,
C~
=
Wg
,
C~
=
Wg
,
(3.43)
y a partir de ellos, la accio´n efectiva se define
g[A, a~, C~, C~] = J · a~ + · C~ + C~ · - Wg[A, J, , ] .
(3.44)
Los funcionales Zg y Wg ser´an invariantes bajo transformaciones gauge del campo de fondo, ec. (3.38), si todas las fuentes y campos ghost transforman igual que a. Lo mismo se puede decir de la accio´n efectiva g si uno exige que a~, C~ y C~ transformen igual que a. Una buena eleccio´n es el gauge de Gervais-Neveu generalizado
G = Dµaµ + a2µ ,
(3.45)
pero aqu´i nos vamos a restringir al gauge de Feynman covariante = 1, = 0, con un t´ermino de Faddeev-Popov asociado
SFP = 2 dx0
0
d3x tr CDµ(DµC + [aµ, C]) .
Descompongamos la corriente Jµ en
(3.46)
Jµ = Jµ + jµ
(3.47)
donde definimos
jµ
=
Stot[A, a] aµ
.
a=0
Podemos escribir la accio´n total como
Stot[A, a] - J · a
=
SYEM[A]
+
1 2
dx0
0
d3x tr (aµµ [A]a)
- dx0 d3x tr (C[A]C) - Sint[A, a] - J · a ,
0
(3.48) (3.49)
50
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
con las siguientes definiciones
µ [A] = - µ D2 + 2Fµ , [A] = -Dµ2 ,
Sint[A, a] = dx0
0
d3x tr
(Dµa )[aµ,
a ]
+
1 4
[aµ
,
a ]2
+
C Dµ[aµ ,
C]
,(3.50)
donde Dµ = [Dµ, ] y Fµ = [Fµ, ]. Notar que la constante de acoplamiento g puede ser absorbida en la normalizacio´n de los campos. De este modo obtenemos el nuevo funcional generador
Zg[A, J , , ]
=
DaDCDC exp
-
SYEM[A]
-
1 2
dx0
0
d3x aµµ a + dx0
0
d3x CC
-Sint[A, a] + J · a + · C + C · ,
(3.51)
que depende de la nueva corriente J . Notar que el u´nico t´ermino lineal en el campo gauge aµ que aparece en el exponente es el que est´a acoplado con la corriente J .
Si imponemos ahora las condiciones a~ = C~ = C~ = 0, la accio´n efectiva se puede escribir como
g[A, 0, 0, 0] = -Wg[A, J , , ] Wg/J =Wg/=Wg/=0
(3.52)
y es todav´ia invariante respecto a la transformaci´on gauge del campo de fondo dada en (3.38). El desarrollo perturbativo de esta accio´n efectiva solamente contiene diagramas de vac´io, que son 1PI.
El desarrollo de la accio´n efectiva de Yang-Mills en t´erminos de viene dado por
g[A,
0,
0,
0]
=
SYEM[A]
+
1 2
Tr
log(-µ D2
-
2Fµ )
-
Tr
log(-Dµ2 )
+
O(
2) .
(3.53)
El t´ermino SYEM[A] es la contribucio´n cl´asica, y los t´erminos segundo y tercero son las contribuciones cua´nticas a O( ). En (3.53) se puede ver que el operador de Klein-Gordon sobre los campos cua´nticos aµ (segundo t´ermino del miembro derecho de la igualdad)
actu´a sobre un espacio interno de dimensi´on D × Nc, donde en regularizacio´n dimensional D = 4 - 2, que es el nu´mero de polarizaciones del glu´on (f´isicas o no).2 D se corresponde
con el ´indice de Lorentz µ. Los operadores Dµ y Fµ actu´an en la representacio´n adjunta. Notar que la derivada covariante en este operador de Klein-Gordon es la identidad en el espacio de Lorentz, mientras que el t´ermino de masa es una matriz en dicho espacio, esto es (M)µ = -2Fµ. Por otra parte, el operador de Klein-Gordon de los campos ghost (tercer t´ermino del miembro derecho de la igualdad) actu´a sobre un espacio interno de dimensi´on
Nc. La derivada covariante es Dµ en la representacio´n adjunta y el t´ermino de masa es cero.
2Nc es el nu´mero de generadores del grupo gauge (Nc2 - 1 en SU(Nc)) y se corresponde con la dimensio´n de la representaci´on adjunta del grupo.
3.3 Sector glu´onico
51
3.3.2. Acci´on efectiva a un loop
La accio´n efectiva total de QCD quiral hasta nivel de un loop queda
[A]
=
-
µ-2 2g02
d4x tr(Fµ2 ) + q[A] + g[A] ,
(3.54)
donde el primer t´ermino es la accio´n de la teor´ia de Yang-Mills a nivel a´rbol teniendo en cuenta la renormalizaci´on (g0 es una constante adimensional). El segundo t´ermino es la contribucio´n de los quarks, que ha sido calculada en la secci´on 3.2. El tercer t´ermino corresponde a las contribuciones que surgen despu´es de integrar los ghosts y las fluctuaciones cua´nticas de los campos gauge
g[A]
=
1 2
Tr
log(-µ
D2
-
2Fµ )
-
Tr log(-Dµ2)
=:
dx0
0
Haciendo uso del desarrollo del heat kernel podemos escribir
d3x Lg(x) .
(3.55)
Lg(x)
=
-
1 2
d µ2 0 (4 )D/2
n
n tr(bTn,g(x)) .
(3.56)
La traza sobre el espacio de Lorentz para los gluones est´a incluida en los coeficientes bTn,g. En esta f´ormula tr se refiere a traza en el espacio de color en la representacio´n adjunta. Se puede comprobar expl´icitamente en el c´alculo que el efecto de los ghosts es quitar dos grados de polarizacio´n del glu´on, esto es D D -2. Debido a la traza de Lorentz todos los t´erminos con una u´nica M se van a anular, en particular bT1,g y bT5/2,g no van a contribuir. Hasta dimensi´on de masa 6 tenemos
bT0,g = (D - 2)0() ,
bT2,g =
-2
+
D- 12
2
0()Fµ2
-
D
- 6
2 2()Ei2
,
bT3,g = 0()
4 3
+
D- 90
2
Fµ FFµ
+
1 3
F2µ
-
D- 60
2 Fµ2µ
+
1 6
2()
-2F02µ
+
D- 10
2
Ei2i + F02ij - 2EiFij Ej
+ (D - 2)
1 10
4()
-
1 6
2
()
E02i .
(3.57)
En estas f´ormulas las funciones n corresponden a su versio´n boso´nica, esto es, la suma es sobre las frecuencias de Matsubara p0 = 2n/. A diferencia del sector fermi´onico, el argumento de estas funciones, , y las derivadas covariantes est´an en la representacio´n adjunta. Notar que los t´erminos con D - 2 proceden de t´erminos del heat kernel que no tienen masa. Los t´erminos que rompen simetr´ia Lorentz se han separado expl´icitamente.
Para calcular el lagrangiano efectivo deberemos introducir los coeficientes (3.57) en (3.56). Las integrales en que aparecen son del tipo (3.24). Como sabemos, las versiones
52
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
boso´nica y fermi´onica de las funciones n est´an relacionadas por el cambio - , esto
es +n () = -n (-) . De aqu´i tenemos que las integrales I+,2n van a ser las mismas que
I-,2n
de
(3.25)
excepto
por
el
cambio
-
1 2
I+,2n(ei2) = (-1)n(4)
µ 2
2
2
2
(
+
n
+
+
1 2
)
(
1 2
)
× (1 + 2 + 2, ) + (1 + 2 + 2, 1 - ) ,
0 < < 1,
(3.58)
donde hemos hecho uso de la notaci´on = ei2. Esta f´ormula se ha escrito para que sea
va´lida en el intervalo 0 < < 1. Fuera de este intervalo debe considerarse la extensi´on peri´odica de la funci´on. Las integrales I+,2n(ei2) son pares bajo el cambio 1 - .
El orden cero requiere
I-+2,0
=
-
1 3
2
4
(B4() + B4(1 - )) + O() .
(3.59)
El potencial efectivo va a ser
L0,g (x)
=
2 34
tr(B4(
)
+
B4
(1
-
))
=
-
2 45
4
Nc
+
22 34
tr
[2(1
-
)2 ]
,
(x) = ei2 ,
0 < <1,
(3.60)
donde Nc := tr(1) = Nc2 - 1 es el nu´mero de generadores del grupo gauge. es la matriz log()/(2i) con valores propios en la rama 0 < < 1. Si se considera = 0 en ec. (3.60) se obtiene la presi´on de un gas ideal de gluones.
Para los t´erminos con dimensi´on de masa 4 vamos a necesitar
I0+,0
=
1
+
log(4)
-
E
+
2
log(µ/4)
-
()
-
(1
-
)
+
O()
,
I0+,2 := I0+,0 + 2I0+,2 = -2 + O() .
(3.61)
I0+,0 es divergente ultravioleta e I0+,2 es finito. Notar que en las D's que aparecen en nuestras expresiones tras hacer la traza de Lorentz tambi´en existen 's que hay que tener en cuenta. La parte finita del lagrangiano efectivo, en el esquema MS, es
L2,g(x)
=
1 (4
)2
tr
11 12
2
log(µ/4)
+
1 11
-
()
-
(1
-
)
Fµ2
-
1 3
Ei2
.
(3.62)
En esta f´ormula no hemos considerado las contribuciones divergentes. E´stas ser´an tratadas en la secci´on 3.4, donde abordaremos el problema de la renormalizaci´on.
3.4 Renormalizacio´n
53
Para los t´erminos con dimensi´on de masa 6 necesitamos las integrales
I1+,0
=
-
4
2
() + (1 - )
+ O() ,
I1+,2 = -2I1+,0 + O() , I1+,4 = -4I1+,0 + O() .
(3.63) (3.64)
Esto conduce a
L3,g(x) =
1 2
2 (4)4
tr
() + (1 - )
(3.65)
×
61 45
Fµ
FFµ
+
1 3
F2µ
-
1 30
Fµ2µ
+
3 5
F02µ
-
1 15
Ei2i
+
2 15
Ei
Fij
Ej
.
3.4. Renormalizaci´on
Para la renormalizaci´on deberemos considerar todas las contribuciones divergentes que hemos obtenido, tanto del sector de quarks como del sector gluo´nico. El lagrangiano a nivel ´arbol junto con estas divergencias conduce a
L´arbol(x) + Ldqiv(x) + Ldgiv(x) =
=
-
1 2g02
tr(Fµ2
)
+
1 (4)2
=
-
2g
1 2(µ)
tr(Fµ2
)
.
1
+
log(4)
-
E
Hacemos uso de la siguiente identidad
11 12
tr(Fµ2
)
-
Nf 3
tr(Fµ2 )
(3.66)
tr Fµ2 = 2tr(1)tr Fµ2 - 2 (tr (Fµ))2 = 2Nctr Fµ2 ,
(3.67)
donde se ha considerado que el grupo gauge es SU(Nc). De aqu´i obtenemos en el esquema MS
1 g2(µ)
=
1 g02
-
0
1
+
log(4)
-
E
,
0
=
1 (4)2
11 3
Nc
-
2 3
Nf
,
(3.68)
lo cual garantiza la independencia en escala de ec. (3.66). Notar que nos hemos limitado
a renormalizar la constante de acoplamiento. Por invariancia gauge, los campos cla´sicos
Aµ no necesitan ser renormalizados, si bien para el problema de la reduccio´n dimensional, en general ´esta funciona mejor si los campos se renormalizan de tal modo que todas las contribuciones a Ei2 y Bi2, que proceden de loops no est´aticos, son canceladas mediante contrat´erminos [55].
54
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
Si consideramos todos los t´erminos con dimensi´on de masa 4, (ecs. (3.30), (3.62) y (3.66)), para ellos el lagrangiano renormalizado de QCD quiral hasta un loop es
L2,QCD(x) =
-
1 2g2(µ)
+
0
log(µ/4)
+
1 6
1 (4
)2
Nc
tr(Fµ2 )
-
11 12
1 (4)2
tr
() + (1 - ) Fµ2
+
1 3
1 (4)2
Nf
tr
(
1 2
+
)
+
(
1 2
-
)
Fµ2
-
2 3
(Nc
-
Nf
)
1 (4)2
tr
Ei2
,
-
1 2
<
<
1 2
,
0 < < 1 . (3.69)
Otra posibilidad es usar el m´etodo de Pauli-Villars para regular las divergencias ultra-
violetas [56]. La regularizacio´n de Pauli-Villars consiste b´asicamente en la introduccio´n, en el funcional generador, de nuevos campos aµ y C que transforman como aµ y C, pero tienen una masa M que posteriormente se considerar´a en el l´imite M . Por con-
veniencia consideramos que los dos campos tienen la misma masa. La aplicaci´on de este
procedimiento conduce a la siguiente funci´on de particio´n regulada
Z [A]|reg
=
Z [A] Z[A, M 2]
.
(3.70)
Z[A, M2] tiene la misma forma que Z[A] excepto que los t´erminos de masa est´an incluidos.
Para un operador gen´erico K, la expresi´on regulada para el determinante funcional es
Det(K)|reg
=
Det(K) Det(K + M 2)
=
exp
-
d 0
1 - e-M2
Tr e-K
,
(3.71)
donde hemos hecho uso de la representacio´n de tiempo propio de Schwinger. Por tanto la regularizacio´n de Pauli-Villars corresponde a insertar el factor (1-e-M2) en la integracio´n
en . Todas las integrales convergentes (incluidas I0±,2 ) quedan igual que en regularizacio´n dimensional (en el l´imite M ), y las integrales que divergen son
I0+,0,PV = 2 log(M/µ) + 2 log(µ/4) - () - (1 - ) + O(M -1) , 0 < < 1 , (3.72)
I0-,0,PV
=
2
log(M/µ)
+
2
log(µ/4)
-
(
1 2
+
)
-
(
1 2
-
)
+
O(M -1)
,
-
1 2
<
<
1 2
.
El lagrangiano a nivel ´arbol tiene la siguiente constante de acoplamiento desnuda (para
cutoff M),
1 g02(M )
=
2 (4)2
11 3
Nc
-
2 3
Nf
log
M µ
.
(3.73)
El lagrangiano a nivel ´arbol junto con todas las contribuciones divergentes del sector
glu´onico y del sector fermi´onico conduce a (en este esquema de regularizacio´n)
L´arbol(x) + Ldqiv(x) + Ldgiv(x)
=
-
1 2g02(M
)
tr(Fµ2
)
+
1 (4)2
log(M )
11 3
Nc
-
2 3
Nf
tr(Fµ2 )
=
-
1 2g2(µ)
tr(Fµ2
)
,
(3.74)
3.5 Divergencias infrarrojas
55
donde hemos hecho uso de la identidad (3.67), va´lida en SU(Nc). Notar que el t´ermino divergente ultravioleta log(M) es cancelado por la constante de acoplamiento desnuda, de
modo que al final el cutoff M es reemplazado por el para´metro finito µ. Si, como es usual, el para´metro en cada esquema es definido como la escala µ = para la cual 1/g2(µ) se
anula, encontramos que los dos esquemas MS y PV dan id´enticos resultados cuando
log
2PV/M2 S
=
1
11
-
2Nf Nc
.
(3.75)
Si se hace uso de otro esquema de regularizacio´n, la escala deber´a modificarse en consecuencia [57, 58].
3.5. Divergencias infrarrojas
En el c´alculo del sector glu´onico de la accio´n efectiva existe un problema de divergencias
infrarrojas relacionadas con el modo est´atico de Matsubara. En la representacio´n adjunta,
Nc - 1 valores propios de son necesariamente la unidad, de modo que el valor = 0 va a aparecer siempre al tomar la traza adjunta. Notar que para integrales I+,n con n = 0, el modo est´atico no va a contribuir. Sin embargo en I+,0 este modo puede producir divergencias infrarrojas y ultravioletas. En concreto la singularidad de I+,n(ei2) para valores de enteros procede de la divergencia infrarroja del modo est´atico. En regularizacio´n dimensional la integral I+,0(1)|p0=0 se define como cero ya que no tiene una escala natural [59]. Tal y como se explica en el ap´endice B, las integrales I+,2n sin el modo est´atico vienen dadas por las mismas expresiones que (3.58) despu´es de la sustitucio´n 1 + en la
primera . En consecuencia, la prescripci´on va a ser usar las f´ormulas de L2,g y L3,g con las sustituciones
() + (1 - ) =0 (1 + ) + (1 - ) =0 = -2E , () + (1 - ) =0 (1 + ) + (1 - ) =0 = -4(3) ,
(3.76)
realizadas u´nicamente en el subespacio = 1. Esta prescripci´on preserva la periodicidad
de la accio´n efectiva como funci´on de log(), de modo que es consistente con la invariancia
gauge.
Un modo alternativo de tratar las divergencias infrarrojas es regula´ndolas an~adiendo en las integrales en una funci´on cutoff e-m2 . Los modos que son finitos en el r´egimen
infrarrojo no se ven afectados en el l´imite m 0. El modo est´atico en 0 da lugar a divergencias que debera´n ser an~adidas al resultado obtenido previamente en regularizacio´n
dimensional. Esto produce la contribucio´n
I+,0(1)|p0=0 =
4(
1 2
+
m2+1
)
.
(3.77)
Puesto que las divergencias infrarrojas proceden exclusivamente del modo est´atico de 0, las relaciones de escala del tipo (3.64) para I+,2n no ser´an va´lidas. Los t´erminos divergentes
56
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
infrarrojos que obtenemos son:
L2,IR
=
1 48
T m
tr
11Fµ2 + 2Ei2
,
L3,IR
=
1 240
T m3
tr
-
61 3
Fµ
F
Fµ
+
EiFij Ej
+
EiFij
Ej
-5Fµ2
+
1 2
Fµ2µ
+
9 2
F02µ
+
3E02i
-
1 2
Ei2i
.
(3.78)
En nuestra notaci´on, Fµ indica la parte de Fµ que conmuta con , y Fµ el resto. Si bien son contribuciones glu´onicas, se han expresado en la representacio´n fundamental,
que suele ser preferible. En concreto, en el gauge en que es diagonal, Fµ es la parte diagonal de Fµ. U´ nicamente t´erminos con al menos una componente perpendicular pueden ser divergentes infrarrojos.
3.6. Teor´ia efectiva dimensionalmente reducida
Desde mediados de la d´ecada de los noventa la mayor parte del esfuerzo que se ha dedicado en QCD perturbativa a temperatura alta ha sido en calcular la presio´n, y s´olo recientemente se ha obtenido el orden perturbativo ma´s alto posible [60], mediante el uso de ideas de reduccio´n dimensional [61, 62, 63, 64, 65]. Estas ideas se basan en el hecho de que a temperatura suficientemente alta el comportamiento de la teor´ia puede ser descrito, en principio, por una teor´ia efectiva en tres dimensiones.
Como sabemos, a temperatura finita los campos peri´odicos se pueden descomponer en modos de Fourier
Aµ(x0, x) =
Aµ(n, x)einx0 ,
n=-
n
=
2n
.
(3.79)
Cada modo lleva asociado un propagador de la forma [p 2 + n2]-1. Para valores de n diferentes de cero, n juega el papel de una masa. En el l´imite T todas las frecuencias de Matsubara no nulas son infinitamente grandes. Puesto que las part´iculas infinitamente pesadas se desacoplan en una teor´ia de campos a temperatura cero, se puede esperar que ocurra lo mismo para los modos no est´aticos n = 0 en teor´ias de campos a temperatura alta, de modo que una teor´ia efectiva en tres dimensiones ser´ia suficiente para explicar el comportamiento.
En la secci´on 3.3 hemos obtenido la accio´n efectiva haciendo una separacio´n del campo glu´onico en un background cl´asico ma´s una fluctuacio´n cua´ntica, e integrando ´esta u´ltima a un loop. Se puede adaptar esta t´ecnica para calcular la accio´n de la teor´ia dimensionalmente reducida (que denotaremos en lo sucesivo como L(x)), haciendo lo siguiente:
considerar un background estacionario;
considerar fluctuaciones puramente no estacionarias.
3.6 Teor´ia efectiva dimensionalmente reducida
57
La integracio´n de los modos fermi´onicos y los modos glu´onicos no estacionarios va a dar lugar a una teor´ia efectiva para los restantes modos estacionarios (independientes del tiempo), que consiste en una teor´ia gauge SU(Nc) en tres dimensiones acoplada con un campo escalar A0. A esto se le llama reducci´on dimensional
d4x LQCD(x) - d3x L(x) .
(3.80)
La segunda condicio´n implica eliminar los modos est´aticos n = 0 en todas las sumas de Matsubara. Hay que mencionar que L(x) no es la accio´n efectiva de la teor´ia dimen-
sionalmente reducida, sino que es la accio´n verdadera (en la aproximaci´on de un loop), en el sentido de que la integral funcional sobre las configuraciones estacionarias con L(x) da
lugar a la funci´on de particio´n.
3.6.1. Eliminaci´on de los modos est´aticos
La eliminaci´on del modo est´atico s´olo afecta al sector glu´onico, y resulta irrelevante
en el sector de quarks, de modo que Lq(x) = Lq(x).3 El sector gluo´nico a nivel a´rbol tampoco se ve afectado, de modo que para el nivel ´arbol renormalizado se tiene
L´arbol(x) = L´arbol(x) .
(3.81)
La eliminaci´on del modo est´atico en el sector glu´onico (para || < 1) corresponde a la
sustitucio´n + 1 en la primera de (3.58). Esto conduce trivialmente a las siguientes
f´ormulas:
L0,g(x)
=
22 3
T
3
tr
2(1 + 2)
,
= log()/(2i) ,
-1 1 .
L2,g(x)
=
1 (4)2T
tr
11 12
2
log(µ/4T )
+
1 11
-
()
-
(-)
Fµ2
-
1 3
Ei2
,
(3.82) (3.83)
L3,g(x)
=
1 2
1 (4
)4
1 T3
tr
() + (-)
(3.84)
×
61 45
Fµ
FFµ
+
1 3
F2µ
-
1 30
Fµ2µ
+
3 5
F02µ
-
1 15
Ei2i
+
2 15
Ei
Fij
Ej
.
En el potencial efectivo se ha desechado un t´ermino que es independiente de A0. Para los t´erminos con dimensi´on de masa cuatro y seis se ha hecho uso de la identidad (1 + ) +
(1-) = ()+(-). En estas f´ormulas, F0µ indica [A0, Fµ]. Notar que la eliminaci´on del modo est´atico permite que L(x) est´e libre de divergencias infrarrojas.
3.6.2. Desarrollo en A0 pequen~o
Adema´s de tomar Aµ estacionario, consideraremos que A0 es pequen~o (en particular || < 1). Esto es va´lido a temperatura alta, pues en este r´egimen el potencial efectivo produce una supresio´n en las configuraciones de (x) que est´an lejos de la unidad. En ausencia
3Notar que existe un factor extra en L(x).
58
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
de quarks, esto se puede ver como que (x) vive cerca de un elemento del centro del grupo gauge (la rotura espont´anea de la simetr´ia del centro indica la fase de desconfinamiento).
Siempre va a ser posible hacer una transformaci´on gauge para llevar una configuracio´n a la regio´n || < 1. El considerar esta configuraci´on es importante, pues u´nicamente cuando A0 es pequen~o (|| < 1) las fluctuaciones no est´aticas son las ma´s pesadas. Si A0 es pequen~o, podremos desarrollar L(x) en potencias de A0. Notar que en el contaje en dimensiones de masa, el A0 procedente de tiene dimensi´on 1 ( no tiene dimensiones de masa). Este nuevo contaje no es compatible con invariancia gauge expl´icita bajo transformaciones grandes, aunque s´i bajo transformaciones estacionarias topolo´gicamente pequen~as (pro´ximas a la identidad).
El potencial efectivo es un polinomio en A0. De ec. (3.27) y (3.82), se obtiene
L0(x) = -
Nc 3
+
Nf 6
T
A20
+
1 42T
A20
2+
1 122T
(Nc
- Nf )
A40
.
(3.85)
En el resto de esta secci´on usaremos la notaci´on X := tr(X), para la traza en la repre-
sentacio´n fundamental.
El resultado que se obtiene para los t´erminos con dimensi´on de masa cuatro se puede
escribir como4
L(4)(x)
=
-
T
1 gE2 (T
)
Ei2
-
1 T gM2 (T )
Bi2
,
(3.88)
con las siguientes constantes de acoplamiento cromoel´ectricas y cromomagn´eticas
1 gE2 (T )
=
1 g2(µ)
-
20(log(µ/4T
)
+
E )
+
1 3(4)2
Nc + 8Nf
log
2
-
1 4
1 gM2 (T )
=
1 g2(µ)
-
20(log(µ/4T
)
+
E )
+
1 3(4)2
(-Nc
+
8Nf
log
2)
.
, (3.89)
El valor de gM2 (T ) coincide con [65] para Nc = 3. Tambi´en coincide con [55] (con Nf = 0) si se considera un factor adecuado dependiente de Nc entre la escala usada en este art´iculo y nuestra µ.
Podemos introducir los para´metros t´ermicos el´ectricos y magn´eticos como [66]
1 gE2 ,M (T )
=
20
log(T /TE,M ) .
(3.90)
4Mediante un reescalamiento de la constante de acoplamiento g y de los campos gauge con factores de renormalizacio´n convenientemente elegidos, se puede conseguir que L(4)(x) presente el mismo aspecto que el nivel ´arbol renormalizado a temperatura cero (ec. (3.66)). Es necesario considerar factores diferentes para la componente espacial y temporal de los campos: g Zg-1/2g, Ai ZM1/2Ai y A0 ZE1/2A0.
ZM
=
Zg
=
1
+
2g20(log(µ/4T )
+
E )
-
g2 3(4)2
(-Nc
+
8Nf
log 2)
,
ZE
=
ZM
-
2g2 3(4)2
(Nc
-
Nf )
.
(3.86) (3.87)
3.7 Resultados en SU(2)
59
Estos para´metros fijan la escala de ambas constantes de acoplamiento a temperatura alta. De ec. (3.89) se tiene
log(TE /MS)
=
E
-
log(4)
-
Nc
+ 8Nf (log 2 - 22Nc - 4Nf
1/4)
,
log(TM /MS)
=
E
-
log(4)
+
Nc - 8Nf log 22Nc - 4Nf
2
.
(3.91)
Los t´erminos con dimensi´on de masa seis proceden de L2(x) (desarrollando la funci´on digamma hasta orden dos en ) y de L3(x) (a orden cero). Se obtiene5
L(6)(x)
=
-
2 15
(3) (4)4T
3
2 3
Nc
-
14 3
Nf
Fµ FFµ + (19Nc - 28Nf ) Fµ2µ
+(18Nc - 21Nf ) F02µ + (110Nc - 140Nf ) A20Fµ2 - (2Nc - 14Nf ) Ei2i
+(4Nc - 28Nf ) EiFijEj + 110 A20 Fµ2 + 220 A0Fµ 2 .
(3.94)
Este resultado coincide con el obtenido en [55], calculado en el sector gluo´nico y con Nc arbitrario. El lagrangiano de dimensi´on seis ha sido calculado asimismo en [49] para el
sector de quarks y en SU(3), en ausencia de campo cromomagn´etico (Ai = 0) y eliminando t´erminos con ma´s de dos derivadas espaciales (por ejemplo Ei2i). Nuestro c´alculo reproduce tambi´en este resultado. En esta misma referencia se hace el c´alculo para el sector gluo´nico,
y tanto nuestro resultado como el de [55] se muestran en desacuerdo con ´el.
3.7. Resultados en SU(2)
En las secciones precedentes hemos encontrado resultados generales, va´lidos para cualquier grupo gauge en el sector fermi´onico (seccio´n 3.2), y para SU(Nc) en el sector gluo´nico (seccio´n 3.3). Para el c´alculo de las trazas en espacio de color es necesario particularizar nuestras f´ormulas a un grupo gauge concreto. Consideraremos aqu´i espec´ificamente el grupo SU(2).
En esta secci´on s´olo mostraremos los ´ordenes L0(x) y L2(x). Los resultados completos L0,2,3(x) en ambos sectores aparecen en el ap´endice C.
5Se ha hecho uso de las identidades siguientes:
tr X2 = 2Nc X2 , X su(Nc) ,
(3.92)
tr X2Y 2 = 2Nc X2Y 2 + 2 X2 Y 2 + 4 XY 2 , X, Y su(Nc) .
(3.93)
60
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
3.7.1. Traza en espacio de color
Usaremos como base de su(2) las matrices t = /2i, donde son las matrices de Pauli.
A0
=
Aa0 ta
=
-
i 2
·
A0
,
Fµ
=
Fµa ta
=
-
i 2
·
Fµ
,
...
(3.95)
En esta base
[ta, tb] = abctc ,
tr(tatb)
=
-
1 2
ab
.
(3.96)
En el gauge de Polyakov A0 es independiente del tiempo y diagonal en la representacio´n
fundamental, de modo que resulta especialmente conveniente para nuestro c´alculo. Para
SU(2), en este gauge tenemos
A0
=
-
i 2
3
,
=
Aa0Aa0 ,
(3.97)
de modo que los valores propios del loop de Polyakov en la representacio´n fundamental = exp(-A0) , son exp(±i/2) . En la representacio´n adjunta
A0 = Aa0 Ta , (T a)bc = fbac = -abc
(3.98)
y de aqu´i se tiene que los valores propios del loop de Polyakov en la representacio´n adjunta = exp(-A0), son exp(±i) y 1.
Para el sector fermi´onico, tras calcular la traza en el espacio de color, obtenemos
L0,q(x) =
22 3
T
4Nf
2 - 1 (1 - 42)2 15 4
,
L2,q(x) =
Nf 482
2 log
µ 4T
-
(
1 2
+
)
-
(
1 2
-
)
-
1
Ei2
+
Nf 482
2 log
µ 4T
-
(
1 2
+
)
-
(
1 2
-
)
Bi2 ,
donde
=
4
+
1 2
(mod
1)
-
1 2
.
En el sector glu´onico se obtiene
(3.99) (3.100) (3.101)
L0,g(x) =
2 3
T
4
-
1 5
+
42(1
-
)2
,
(3.102)
L2,g(x)
=
-
11 482
2 log
µ 4T
-
1 11
-
()
-
(1
-
)
Ei2
-
11 482
12 T 11 m
+
2 log
µ 4T
-
1 11
+
E
-
1 2
(
)
-
1 2
(1
-
)
Ei2
-
11 482
2 log
µ 4T
+
1 11
-
()
-
(1
-
)
Bi2
(3.103)
-
11 482
T m
+ 2 log
µ 4T
+
1 11
+
E
-
1 2
(
)
-
1 2
(1
-
)
Bi2 ,
3.7 Resultados en SU(2)
61
4
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 3.1: Potencial efectivo a un loop para SU(2) como funci´on de /2, en ausencia de
fermiones (l´inea continua), con un fermi´on sin masa (rayada) y con dos fermiones (puntos y rayas). Se ha graficado 124L0/2 y se ha eliminado el t´ermino constante.
donde
=
2
(mod
1) .
(3.104)
Hemos hecho uso del esquema MS, y hemos considerado expl´icitamente un cutoff in-
frarrojo (ver sec. 3.5). Nuestros resultados son peri´odicos en . En estas expresiones se
ha hecho
la separacio´n de los sectores
el´ectrico
y magn´etico. Bi
=
1 2
ijk
Fj
k
es el campo
magn´etico, y
Ei = Ei + Ei , Bi = Bi + Bi ,
(3.105)
es la descomposici´on de los campos el´ectrico y magn´etico en la direccio´n paralela y perpendicular a A0. Esta descomposici´on es invariante gauge, siempre y cuando se considere que, en un gauge general, la direcci´on paralela es aquella que venga indicada por el loop de Polyakov (esto es, aquella que conmuta con el loop de Polyakov), y la perpendicular el resto. En la expresi´on de L2,g(x) vemos que las componentes paralelas de los campos est´an libres de divergencias infrarrojas. Solamente las componentes perpendiculares pueden presentar este tipo de divergencias.
En la figura 3.1 se muestra el comportamiento del potencial efectivo (orden cero del lagrangiano). Observamos que las periodicidades del sector fermi´onico y del sector gluo´nico se diferencian en un factor 2.
Los lagrangianos efectivos L2,q(x) y L2,g(x) presentan la siguiente estructura
L2,q(x) = -f1,q()Ei2 - f2,q()Ei2 - h1,q()Bi2 - h2,q()Bi2 , L2,g(x) = -f1,g()Ei2 - f2,g()Ei2 - h1,g()Bi2 - h2,g()Bi2 .
(3.106) (3.107)
Para el sector de quarks se tiene f1,q = f2,q fq, h1,q = h2,q hq.
62
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
500 400 300 200 100
-1
-0.5
-100
-200
0.5
1
Figura 3.2: Gr´afico de 962(f1,q + f1,g) como funci´on de /2, en ausencia de fermiones (l´inea continua), con dos fermiones sin masa (rayada) y con cuatro y ocho fermiones en orden sucesivo (puntos y rayas). Se han eliminado los t´erminos constantes.
En la figura 3.2 aparece graficada la funci´on f1,q() + f1,g(). Notar que f1,g() es singular en = 0 lo cual es debido a la contribucio´n del modo cero. El resto de funciones: f2,q() + f2,g() , h1,q() + h1,g() y h2,q() + h2,g(); presentan un comportamiento similar.
3.7.2. Invariancia gauge del resultado
Despu´es de fijar el gauge de Polyakov (A0 diagonal e independiente del tiempo), au´n queda una simetr´ia abeliana residual que consiste en rotaciones gauge arbitrarias independientes del tiempo sobre los generadores de Cartan (3 en el caso de SU(2)), y de una rotaci´on gauge dependiente del tiempo (tambi´en sobre los ejes de Cartan) que va a ser discreta para ser compatible con la periodicidad de Ai(x0, x) (ver ap´endice A). Para una teor´ia gauge pura SU(2) esta simetr´ia residual corresponde a la siguiente transformaci´on
Aµ U -1µU + U -1AµU ,
U (x0, x) = exp
-i
3 2
((x)
+
x02n/)
,
(3.108)
donde n es un entero. Notar que no podemos hacer rotaciones sobre un eje que no sea
el eje diagonal, ya que esto har´ia que A0 fuera no diagonal. La dependencia en el tiempo debe ser lineal, ya que en caso contrario se generar´ia una dependencia temporal en A0. La transformaci´on gauge (3.108) verifica U(x0 + , x) = (-1)nU(x0, x). La fase (-1)n se debe a la simetr´ia del centro del grupo gauge, que es Z(2). En componentes esta transformaci´on
es
A03(x) = A30(x) + 2n/ , Ai1(x0, x) = A1i cos + A2i sin , Ai2(x0, x) = -A1i sin + A2i cos , Ai3(x0, x) = A3i + i(x) ,
(3.109)
3.7 Resultados en SU(2)
63
donde (x0, x) = (x)+x02n/. Notar que la primera ecuaci´on es equivalente a = +n. En la figura 3.1 vemos que cuando no hay fermiones los m´inimos absolutos del potencial
efectivo ocurren para valores enteros de /2, y todos ellos son transformaciones gauge de A0 = 0.
Se puede comprobar que las combinaciones de campos Ei2 , Ei2, Bi2 , y Bi2 quedan invariantes bajo la transformaci´on (3.109). Por tanto el sector glu´onico de la accio´n efectiva es invariante gauge.
Al introducir fermiones en la teor´ia la situacio´n se modifica ligeramente. En general hay ma´s transformaciones residuales permitidas en una teor´ia gauge pura SU(Nc) que en una teor´ia SU(Nc) con fermiones. Los fermiones rompen la simetr´ia del centro del grupo gauge, y la forma ma´s general de la transformaci´on U en este caso es
U (x0, x) = exp
-i
3 2
((x)
+
x04
n/
)
,
(3.110)
que es un subgrupo de la anterior. Esta transformaci´on produce = + n, lo cual respeta la periodicidad de todas las funciones (notar que (3.108) no respeta la periodicidad de las funciones L0,q(), fq() y hq()). Como funci´on de x0, la transformaci´on gauge (3.110) es estrictamente peri´odica en [0, ].
En la figura 3.1 se observa c´omo la inclusi´on de fermiones da lugar a la rotura de la simetr´ia Z(2). Esta rotura se manifiesta en que los puntos /2 = 2n + 1 dejan de ser m´inimos absolutos del potencial efectivo y pasan a ser puntos estacionarios. Los m´inimos absolutos /2 = 2n son transformaciones gauge (3.110) de A0 = 0.
3.7.3. Comparaci´on con otros resultados
Podemos comparar nuestros resultados en SU(2) en el sector gluo´nico con los que aparecen en [67], donde se calcula la accio´n efectiva de una teor´ia de Yang-Mills SU(2) a altas temperaturas haciendo un desarrollo en derivadas covariantes. Este desarrollo es para configuraciones gauge estacionarias, es a todos los ´ordenes en A0 y se calculan algunos t´erminos con hasta cuatro derivadas espaciales. Aqu´i hemos calculado u´nicamente los o´rdenes ma´s bajos en D0, pues as´i es como est´a construido el desarrollo del heat kernel, y nuestras configuraciones son generales (no necesariamente est´aticas).
El resultado de ref. [67] presenta la estructura de L2,g en (3.107). Puesto que el nuestro no es estrictamente un desarrollo en A0 (el loop de Polyakov no se ha desarrollado, con objeto de preservar invariancia gauge), no es posible hacer una comparaci´on directa con [67]. Sin embargo en nuestro tratamiento vemos que si la teor´ia fuera estacionaria, todos los t´erminos de la forma (D0nFµ) , n 1, ser´ian cero, pues A0 es diagonal. Esto quiere decir que nuestras funciones f2,g y h2,g no reciben ninguna contribucio´n adicional ma´s all´a de L2,g. Estas funciones coinciden con las correspondientes de [67]. Por supuesto, el potencial efectivo es correcto a todos los ´ordenes en A0.
Por otra parte nuestras funciones f1,g y h1,g contienen divergencias infrarrojas, mientras que en el c´alculo de [67] s´olo h1,g es divergente.
64
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
3.8. Resultados en SU(3)
En esta secci´on consideraremos espec´ificamente el grupo gauge SU(3). Calcularemos el lagrangiano efectivo hasta t´erminos con dimensi´on de masa 4.
3.8.1. Traza en espacio de color
Usaremos como base de su(3) las matrices ta = a/2i, donde a, a = 1, · · · , 8, son las matrices de Gell-Mann
A0
=
Aa0 ta
=
-
i 2
aAa0
,
Fµ
=
Fµa ta
=
-
i 2
a
Fµa
,
...
(3.111)
En esta base
[ta, tb] = fabctc ,
tr(tatb)
=
-
1 2
ab
.
(3.112)
Al igual que en la secci´on 3.7, elegimos el gauge de Polyakov, de modo que A0 va a ser
diagonal en la representacio´n fundamental,
A0
=
-i
3 2
3
-
i
3 2
88
.
(3.113)
Los valores propios del loop de Polyakov en esta representacio´n son
1 = exp
i
2
(3
+
8)
,
2 = exp
i
2
(-3
+
8)
,
3 = exp (-i8) ,
(3.114)
y si definimos las magnitudes A mediante A = exp(i2A), A = 1, 2, 3, vamos a poder expresar el sector fermi´onico del lagrangiano efectivo en t´erminos de
1
=
4
(3
+
8) ,
2
=
4
(-3
+
8) ,
3
=
-
2
8
.
Tras calcular la traza en el espacio de color, obtenemos
(3.115)
L0,q(x)
=
-
2T 4Nf 12
-
8 5
+
(1
-
4 21 )2
+
(1
-
4 22 )2
+
(1
-
4 23 )2
,
(3.116)
L2,q (x)
=
Nf 242
log
µ 4T
-
1 2
Ei2
+
Nf 242
log
µ 4T
Bi2
-
Nf 12(4)2
f -(1) + f -(2)
(Fµ1 )2 + (Fµ2 )2 + (Fµ3 )2
-
Nf 12(4)2
f -(1) + f -(3)
(Fµ4 )2 + (Fµ5 )2
-
Nf 12(4)2
f -(2) + f -(3)
(Fµ6 )2 + (Fµ7 )2
-
Nf 36(4)2
f -(1) + f -(2) + 4f -(3)
(Fµ8 )2
- Nf 6 3(4)2
f -(1) - f -(2)
Fµ3 Fµ8 ,
(3.117)
3.8 Resultados en SU(3)
65
donde
f -()
=
(
1 2
+
)
+
(
1 2
-
)
,
=
+
1 2
(mod
1)
-
1 2
.
(3.118)
Para el sector glu´onico debemos calcular la traza en la representacio´n adjunta. En esta
representacio´n
(A0)ab = (Ac0Tc)ab = -fabcAc0 = -fab33 - fab8 38 ,
(3.119)
donde hemos hecho uso de (T c)ab = facb = -fabc. De aqu´i se tiene que los valores propios del loop de Polyakov en la representacio´n adjunta = exp(-A0) son
1,
1,
exp (±i3) ,
exp
±i
2
(3
+
38)
,
exp
±i
2
(3
-
38)
.
(3.120)
El sector glu´onico del lagrangiano efectivo se va a poder expresar en t´erminos de los inva-
riantes
12
=
2
3
,
31
=
4
(3
+
38) ,
23
=
4
(3
-
38) .
(3.121)
Una vez que se calcula la traza en el espacio de color, se obtiene
L0,g(x) =
4 3
2T
4
-
2 15
+
122(1
-
12)2
+
321(1
-
31)2
+
223(1
-
23)2
, (3.122)
L2,g (x)
=
-
1 (4)2
11 log
µ 4T
-
1 2
Ei2
-
1 (4)2
11 log
µ 4T
+
1 2
Bi2
-
T 4m
Ei2
+
11 12
Bi2
+
1 (4)2
11 12
f +(0)
+
f +(12)
+
1 2
f
+(31
)
+
1 2
f
+(23
)
(Fµ1 )2 + (Fµ2 )2
+
1 (4)2
11 12
f +(0)
+
1 2
f
+
(12)
+
f +(31)
+
1 2
f
+(23
)
(Fµ4 )2 + (Fµ5 )2
+
1 (4)2
11 12
f +(0)
+
1 2
f
+
(12)
+
1 2
f
+(31)
+
f +(23)
(Fµ6 )2 + (Fµ7 )2
+
1 (4)2
11 12
2f +(12)
+
1 2
f
+
(31)
+
1 2
f
+(23)
(Fµ3 )2
+
1 (4)2
11 8
f +(31) + f +(23)
(Fµ8 )2
+
1 (4)2
11 43
f +(31) - f +(23)
Fµ3 Fµ8 ,
(3.123)
donde
f +() = () + (1 - ) ( Z) , = (mod 1) , f +(0) = -2E .
(3.124)
66
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
6 5 4 3 2 1
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 3.3: Potencial efectivo a un loop para SU(3) como funci´on de . Se considera = 0 y
se muestra el caso en que no hay fermiones (l´inea continua), dos fermiones sin masa (puntos y rayas), y fermiones solamente (rayada). Se ha graficado 124L0/2 y se ha eliminado el t´ermino constante.
Al igual que hicimos en SU(2), podemos considerar la descomposico´n de los campos en la direcci´on paralela y perpendicular a A0. La direcci´on paralela Fµ da cuenta de las componentes 3 y 8. La direcci´on perpendiculal Fµ da cuenta de las componentes 1, 2, 4, 5, 6 y 7. Notar que el subespacio paralelo est´a libre de divergencias infrarrojas.
El nivel ´arbol renormalizado es
L´arbol(x)
=
1 4g2(µ)
Fµ2
.
(3.125)
En las f´ormulas hasta orden 4 en masa las componentes 1 y 2 juegan el mismo papel. Lo mismo ocurre con las componentes 4 y 5, y con las componentes 6 y 7. Hasta este orden, la estructura que encontramos es de cuatro planos bien definidos: el plano paralelo a A0, y tres planos transversales; esto es
L2,q(x) + L2,g(x) =
f12(3, 8)((Ei1)2 + (Ei2)2) + f45(3, 8)((Ei4)2 + (Ei5)2)
+ f67(3, 8)((Ei6)2 + (Ei7)2) + f33(3, 8)(Ei3)2 + f88(3, 8)(Ei8)2
+ f38(3, 8)(Ei3Ei8)
+ (misma estructura para BiBi) .
(3.126)
Se puede comprobar que, eligiendo los generadores del ´algebra del grupo de manera conveniente, la estructura general que se obtiene para SU(Nc) en nuestro desarrollo hasta orden 4 es de un plano paralelo con Nc-1 componentes, y Nc(Nc-1)/2 planos transversales, cada uno de ellos formado por dos componentes. Las divergencias infrarrojas solamente van a afectar a estos u´ltimos.
3.8 Resultados en SU(3)
67
6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
Figura 3.4: Potencial efectivo a un loop para SU(3) como en fig. 3.3, pero en la direccio´n de 3. Se ha graficado como funci´on de y se considera = 0.
3.8.2. Invariancia gauge del resultado
Con el fin de graficar las funciones definimos las magnitudes y como
=
2
3
,
=
2
8
.
(3.127)
En la figura 3.3 se muestra el potencial efectivo en la direcci´on de 8. Cuando no hay fermiones los u´nicos m´inimos del potencial en esta direcci´on ocurren en los puntos = 2n/3 que son justamente transformaciones gauge de = 0. En la figura 3.4 aparece el potencial efectivo en la direcci´on de 3. Los m´inimos absolutos son nuevamente transformaciones gauge de = 0, pero aparecen adema´s m´inimos locales en = 2n + 1. En una gra´fica del potencial efectivo en dos dimensiones (figura 3.5) se puede observar que estos m´inimos locales en realidad son cra´teres que caen hacia m´inimos absolutos en (, ) = (2n + 1, 1/3). En todos estos m´inimos la matriz = exp(-A0) tiene los mismos valores propios, de modo que todos ellos son transformaciones gauge de = 1.
Como se comenta en el ap´endice A la introduccio´n de fermiones rompe la simetr´ia del centro del grupo gauge. La rotura de esta simetr´ia se manifiesta en la aparicio´n de m´inimos locales. En la figura 3.3 podemos observar que el m´inimo absoluto en = 2/3 para la teor´ia sin fermiones se transforma, con la inclusi´on de ´estos, en un m´inimo local. Esto es as´i ya que el m´inimo absoluto de la parte gauge del potencial efectivo coincide con el ma´ximo de la parte fermi´onica. En general, como podemos observar en las figuras 3.5 y 3.6, cada m´inimo local de la teor´ia gauge con fermiones se corresponde exactamente con un m´inimo absoluto de la teor´ia gauge pura. Con el fin de ilustrar el comportamiento de las funciones que aparecen en L2, en la figura 3.7 se muestra la funci´on f45 en la direccio´n de 8. La parte boso´nica de la funci´on presenta singularidades en = 2n/3 lo cual es debido a la contribucio´n del modo cero. El comportamiento en la direcci´on de 3 es parecido al de la figura 3.2.
68
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
Figura 3.5: Gr´afico de contorno del potencial efectivo a un loop para SU(3) como funci´on de (eje horizontal) y (eje vertical) para una teor´ia gauge pura.
3.8.3. Comparaci´on con otros resultados
En [68], al igual que en [55], se calcula la accio´n efectiva a un loop de una teor´ia de YangMills SU(Nc) haciendo un desarrollo en derivadas covariantes. El resultado no es covariante gauge pues se considera un desarrollo en potencias de A0(x). Como consecuencia de ello el potencial efectivo que se obtiene no es peri´odico y s´olo se aproxima al exacto cuando A0 0. De todas formas en [68] se considera el potencial efectivo exacto, que es conocido y ha sido calculado por nosotros, y se hace un estudio en el caso espec´ifico de una teor´ia gauge SU(3) incluyendo fermiones. Hemos comprobado que sus resultados coinciden con los nuestros.
3.9. Conclusiones
En este cap´itulo se ha hecho un estudio de la accio´n efectiva de QCD a un loop a temperatura finita en la regio´n de inter´es fenomenol´ogico correspondiente a la fase de plasma de quarks y gluones. Para tal fin hemos usado la t´ecnica del heat kernel del cap´itulo 2, que nos ha permitido calcular el determinante fermi´onico y el determinante boso´nico correspondiente a fluctuaciones gluo´nicas cua´nticas en torno a un background cla´sico (es el conocido como M´etodo del Campo de Fondo).
El desarrollo del heat kernel se corresponde en este caso con un desarrollo en derivadas, organizado de un modo muy eficiente. Hemos conseguido reproducir resultados parciales
3.9 Conclusiones
69
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
Figura 3.6: Igual que fig. 3.5, pero con dos fermiones sin masa.
1000 750 500 250
-1
-0.5
-250
-500
-750
-1000
0.5
1
Figura 3.7: Gr´afico de -962f45 como funci´on de . Se considera = 0 y se muestra el caso en que no hay fermiones (l´inea continua), un fermi´on sin masa (rayada), y ocho fermiones (puntos y rayas). Se han eliminado los t´erminos constantes y ciertas divergencias que surgen al tomar = 0.
70
Cap´itulo 3: Accio´n efectiva de QCD a temperatura alta
previos, y extenderlos hasta orden T -2 incluyendo los efectos del loop de Polyakov, para un grupo gauge general SU(Nc). Se ha calculado la accio´n de la teor´ia efectiva dimensionalmente reducida hasta ese mismo orden. Finalmente se han particularizado las fo´rmulas para los grupos gauge SU(2) y SU(3), lo cual ha permitido comparar con trabajos previos.
Un punto de especial relevancia es la invariancia gauge de nuestros resultados. Hemos estudiado la invariancia frente a la simetr´ia del centro Z(Nc) del grupo gauge SU(Nc) en la teor´ia sin fermiones, y se ha estudiado expl´icitamente el mecanismo por el cual los fermiones rompen esta simetr´ia del centro.
Cap´itulo 4
Efectos no perturbativos por encima de la transicio´n de fase
4.1. Introducci´on
El loop de Polyakov juega un papel teo´rico muy importante en QCD a temperatura finita. Representa el propagador de un quark est´atico test y por tanto es crucial para entender el mecanismo de la transici´on confinamiento-desconfinamiento. En [69, 70] se encuentra su relacio´n con la energ´ia libre de un quark pesado, de tal modo que un valor esperado nulo del loop de Polyakov en quenched QCD indica la fase de confinamiento. La simetr´ia global Z(Nc) se encuentra espont´aneamente rota en la fase de desconfinamiento [71]. El loop de Polyakov constituye un para´metro de orden natural para esa transici´on de fase; bajo transformaciones de gauge peri´odicas L es un objeto invariante, pero bajo una transformaci´on de 't Hooft adquiere un factor, que es un elemento del centro del grupo gauge. Diversas teor´ias efectivas para el loop de Polyakov han sido propuestas en [72]. (Para un an´alisis detallado ver, por ejemplo, [20]).
Al comienzo de los an~os ochenta, el c´alculo perturbativo del loop de Polyakov hasta segundo orden (NLO) fue hecho por Gava y Jengo [23]. Estos resultados muestran que a temperaturas suficientemente grandes el loop de Polyakov renormalizado se aproxima a uno por encima.1 No se han hecho muchos progresos desde este primer resultado. Actualmente no existen c´alculos perturbativos del loop de Polyakov ma´s all´a de NLO. Tal y como se menciona en [23], un c´alculo directo conducir´ia a la aparicio´n de un gran nu´mero de diagramas de Feynman debido a las divergencias infrarrojas [73]. En este cap´itulo discutiremos una aproximaci´on diferente, relacionada con la t´ecnica de reduccio´n dimensional.
Desde el punto de vista no perturbativo, el loop de Polyakov desnudo ha sido frecuentemente estudiado en c´alculos num´ericos de teor´ias gauge en el ret´iculo. No obstante, s´olo recientemente se ha conseguido una definicio´n conveniente del loop de Polyakov renormalizado. El m´etodo introducido en ref. [21] para QCD quenched permite calcular el loop de Polyakov a partir del potencial quark-antiquark a temperatura finita, obtenido de la fun-
1El valor esperado del loop de Polyakov desnudo se anula en el l´imite al continuo en cualquier fase.
71
72
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
ci´on de correlacio´n de dos loops de Polyakov separados. La comparaci´on con el potencial a temperatura cero para separaciones pequen~as permite una determinacio´n muy precisa de la autoenerg´ia del quark, que debe ser extra´ida.
Las temperaturas grandes est´an relacionadas con regiones cinem´aticas donde se manifiesta la rotura de la simetr´ia Lorentz, y se corresponden con momentos eucl´ideos grandes para una teor´ia cua´ntica de campos a temperatura cero. En regularizacio´n dimensional en el esquema MS se encuentra que a una temperatura dada T le corresponde una escala eucl´idea µ 4T [66], de modo que para Tc = 270 MeV se tiene µ = 3 GeV. En este r´egimen es de esperar que las ideas del desarrollo en producto de operadores (en ingl´es Operator Product Expansion, OPE) se puedan aplicar, y ma´s espec´ificamente a temperaturas no tan grandes los condensados y las correcciones en potencias de la temperatura deber´ian de jugar un papel importante. En realidad, siguiendo algunas sugerencias antiguas [74], requisitos fenomenol´ogicos [75], estudios teo´ricos [76] y an´alisis en el ret´iculo [77, 78, 79] hay actualmente una evidencia creciente de que el condensado invariante BRST de orden ma´s bajo es de dimensi´on 2. Este condensado es en general no local, pero en el gauge de Landau se convierte en un operador local A2µ,a , donde Aµ,a es el campo del gluo´n. El condensado A20,a tambi´en aparece como un para´metro en el c´alculo de la presio´n a temperatura finita [80].
El loop de Polyakov est´a estrechamente relacionado con el valor esperado de A20,a (como veremos, el resultado perturbativo a NLO se puede obtener de esta manera), de modo que las contribuciones del condensado a esta magnitud tendra´n un impacto inmediato sobre el loop de Polyakov. En este cap´itulo estudiaremos la existencia de contribuciones no perturbativas a este condensado glu´onico. La situacio´n es similar a lo que ocurre con el potencial quark-antiquark en QCD a temperatura cero, como funci´on de la separacio´n del quark y el antiquark. En esta caso, la teor´ia de perturbaciones describe bien la regio´n de cortas distancias, donde la teor´ia es d´ebilmente interactuante y el intercambio de un glu´on produce un potencial tipo Coulomb. A distancias grandes surge el confinamiento y los datos del ret´iculo sugieren un potencial de tipo lineal [81].
En la secci´on 4.4 se analizara´n los datos en el ret´iculo del loop de Polyakov en base a estas ideas.
Este cap´itulo est´a basado en las referencias [82, 83].
4.2. Loop de Polyakov perturbativo
Con objeto de incluir posteriormente posibles contribuciones provenientes de condensados, trataremos de reproducir en esta secci´on el resultado perturbativo a orden ma´s bajo para el loop de Polyakov mendiante la t´ecnica de reduccio´n dimensional. Adema´s, esto nos permitira´ discutir algunas propiedades de las contribuciones perturbativas de orden superior.
4.2 Loop de Polyakov perturbativo
73
4.2.1. Resultados perturbativos
El (valor esperado del) loop de Polyakov se define como
L(T ) =
1 Nc
trc
T
eig
1/T 0
dx0 A0 (x,x0 )
,
(4.1)
donde indica valor esperado en el vac´io, trc es la traza de color (en representacio´n fundamental), y T indica ordenacio´n a lo largo del camino de integracio´n. A0 es la componente temporal del campo glu´onico (en tiempo eucl´ideo). El campo gauge A0(x) es un elemento del ´algebra de Lie de SU(Nc), y puede ser representado como A0 = a TaA0,a, donde Ta son los generadores herm´iticos del ´algebra de Lie de SU(Nc) en la representacio´n fundamental. En lo sucesivo consideraremos la normalizacio´n est´andar tr(TaTb) = ab/2.
Al ser un operador compuesto, el loop de Polyakov es subceptible de ser renormalizado.
En refs. [84, 85, 86, 87] se estudia la renormalizabilidad del loop de Polyakov en el contexto
de teor´ia de perturbaciones, donde se muestra el hecho de que se puede renormalizar
perturbativamente, sin mezcla con otros operadores. El c´alculo perturbativo de L(T ) en
gluodin´amica pura a temperaturas altas fue realizado a comienzos de los an~os ochenta
por Gava y Jengo [23]. Tras incluir efectos de polarizacio´n de vac´io a temperatura finita
a trav´es de la inserci´on de la masa de Debye, el t´ermino de orden ma´s bajo resulta ser el O(g3), en lugar del que en un principio cabr´ia esperar O(g2). Este c´alculo se hizo en el gauge de Landau hasta NLO (O(g4)). El resulado es
L(T )
=
1
+
1 16
Nc2 - Nc
1
g
2
mD T
+
Nc2 - 322
1
g4
log
mD 2T
+
3 4
+ O(g5) .
(4.2)
Este resultado es muy antiguo, y hoy en d´ia no se dispone de c´alculos a o´rdenes superiores. La masa de Debye mD controla el apantallamiento de los modos cromoel´ectricos en el plasma, y a un loop se escribe [63]
mD = gT (Nc/3 + Nf /6)1/2 .
(4.3)
La dependencia en temperatura de la constante de acoplamiento g se obtiene del an´alisis est´andar del grupo de renormalizaci´on, y es de esperar que (4.2) constituya una buena aproximaci´on a temperatura suficientemente alta. Notemos que L(T ) se hace mayor que 1, lo cual implica que el loop de Polyakov renormalizado no es una matriz unimodular.
4.2.2. Reducci´on dimensional
En la secci´on 3.6 se obtuvo la accio´n de la teor´ia efectiva dimensionalmente reducida
de QCD a un loop y en el gauge de Landau. Esta teor´ia queda descrita por la accio´n tridimensional d3xL3(x) [44, 55, 65, 66], donde
T L3(x)
=
m2D tr(A20 )
+
g4(µ) 42
(tr(A20
))2
+
g4(µ) 122
(Nc
-
Nf )tr(A40)
+
g2(µ) gE2 (T )
tr([Di,
A0]2)
+
g2(µ) gM2 (T )
1 2
tr(Fi2j
)
+
T L3
.
(4.4)
74
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
g(µ) es la constante de acoplamiento de QCD en el esquema MS (usada tambi´en en la f´ormula del loop de Polyakov (4.2) y en la masa de Debye (4.3))
1 g2(µ)
=
20 log(µ/MS) ,
0 = (11Nc/3 - 2Nf /3)/(4)2
(4.5)
y las constantes de acoplamiento cromoel´ectricas y cromomagn´eticas vienen dadas por
ec. (3.89). El t´ermino restante L3 es no renormalizable y contiene operadores de dimensi´on 6 o mayores (ver ec. (3.94)). Adema´s existen t´erminos que contribuyen ma´s all´a de
un loop y t´erminos constantes (indenpendientes de los campos) que son relevantes para el
c´alculo de la presi´on.
Para obtener el loop de Polyakov a orden ma´s bajo necesitaremos u´nicamente los t´ermi-
nos de masa y de energ´ia cin´etica del campo A0 (t´erminos primero y cuarto respectivamente en ec. (4.4)). Para simplificar la notaci´on, en el resto del cap´itulo trabajaremos con un cam-
po A0 reescalado
A0(x)
=
g(µ) gE(T )
AM0 S
(x)
,
(4.6)
donde AM0 S es el campo glu´onico que aparece en f´ormulas previas. A todos los efectos, el uso de la masa de Debye y la f´ormula del loop de Polyakov ec. (4.1) que depende del producto
de gA0, es equivalente al uso del nuevo campo A0 junto con gE(T ) como constante de acoplamiento. A partir de ahora denotaremos esta constante como g(T ) o simplemente g,
L3(x)
=
m2D T
tr(A20)
+
1 T
tr([Di,
A0]2)
+
·
·
·
,
1 g2(T )
=
20 log(T /E) ,
(4.7)
con
E
=
MS 4
exp
E
-
Nc
+ 8Nf (log 2 - 22Nc - 4Nf
1/4)
.
(4.8)
En el c´alculo de la presi´on de QCD se puede fijar el gauge de cualquier forma para integrar los modos no estacionarios. Por esta raz´on se suelen utilizar los gauges covariantes, pues los c´alculos resultan ma´s f´aciles en estos gauges. Para el loop de Polyakov la situacio´n es diferente, pues los gauges est´aticos resultan ma´s convenientes [63]. Tal y como se muestra en el ap´endice A, un gauge est´atico es aquel en el que 0A0 = 0, y no implica p´erdida de generalidad ya que este gauge siempre existe. En el gauge est´atico la ec. (4.1) se escribe
L(T ) = 1 tr eigA0(x)/T . Nc
(4.9)
Notar que L u´nicamente depende de los modos estacionarios de A0, de modo que si integramos los modos no estacionarios no existira´ p´erdida de informaci´on en el loop de Polyakov.
El modo estacionario A0(x) coincide con el logaritmo de loop de Polyakov u´nicamente en el gauge est´atico. Por desgracia, el resultado perturbativo de L3(x), ec. (4.7), s´olo se conoce
4.2 Loop de Polyakov perturbativo
75
en los gauges covariantes. Por tanto, en un gauge covariante la accio´n efectiva de los modos estacionarios resulta insuficiente para obtener los valores esperados del loop de Polyakov. El uso del modo estacionario en (4.9) equivale a eliminar el operador de ordenacio´n a lo largo del camino de integracio´n T en la definicio´n del loop de Polyakov (4.1), dando lugar a una dependencia en el gauge. No obstante, como mostraremos en la subseccio´n siguiente, la dependencia en el gauge u´nicamente afectar´a ma´s all´a de NLO, y seremos capaces de reproducir los dos t´erminos de (4.2) mediante el uso de las f´ormulas de [60] para la densidad de energ´ia de vac´io.
Si hacemos un desarrollo en serie de L(T ) en ec. (4.9), se obtiene
L(T )
=
1
-
g2 2T 2
1 Nc
tr(A20)
+
g4 24T 4
1 Nc
tr(A40)
+··· .
(4.10)
En esta f´ormula hemos usado que tr(A0) es cero. Es de esperar que el resto de o´rdenes impares en el campo glu´onico se anulen debido a la simetr´ia de conjugaci´on de QCD, Aµ(x) -ATµ (x). La contribucio´n de orden ma´s bajo tr(A20) tiene dimensiones de masa al cuadrado, de modo que esta contribucio´n no existir´ia en un c´alculo a temperatura cero. A temperatura finita debe de escalar como T 2 (m´odulo correcciones radiativas con una d´ebil
dependencia en T , que incluyen el running de la constante de acoplamiento y dimensiones
an´omalas).
Sea D00(k)ab la componente temporal del propagador en espacio de momentos para los campos gauge normalizados cano´nicamente T -1/2A0,a(x). Integrando el propagador obtenemos el valor esperado de los campos
A20,a = (Nc2 - 1)T
d3k (2)3
D00
(k)
.
(4.11)
A orden ma´s bajo en teor´ia de perturbaciones, el propagador se escribe
D0P0ert(k)
=
k2
1 + m2D
.
(4.12)
Si introducimos (4.12) en (4.11) obtenemos la contribucio´n perturbativa de orden ma´s bajo
para el condensado glu´onico de dimensi´on dos (hacemos uso de las reglas de regularizacio´n
dimensional)
A20,a
Pert
=
-(Nc2
-
1)
T mD 4
.
(4.13)
Este resultado introducido en ec. (4.10) (y usando que tr(A20) = A20,a/2) reproduce el valor perturbativo de L(T ) hasta orden O(g3).
En la figura 4.1 se compara el valor perturbativo de L(T ) en ec. (4.2) con datos del
ret´iculo obtenidos recientemente en gluodin´amica pura y Nc = 3 [21]. Podemos observar
que en la regio´n de temperatura alta, T pro´ximo a 6Tc, los valores del ret´iculo para L(T ) son mayores que 1, tal y como predice el c´alculo perturbativo. Adema´s el valor num´erico
en esta regio´n es consistente con teor´ia de perturbaciones. Este acuerdo desaparece r´api-
damente a medida que nos aproximamos a la temperatura cr´itica: los datos del ret´iculo
76
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
L(T)
1.4
LO
NLO
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
NNff==00,,NN==48,,
Ref.[21] Ref.[21]
0
1
2
3
4
5
6
7
T/Tc
Figura 4.1: Dependencia en temperatura del loop de Polyakov renormalizado en gluodin´amica (Nc = 3). Los datos en el ret´iculo son de ref. [21]. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO de ec. (4.2). La curva es un ajuste del para´metro b en ec. (4.32) con los datos del ret´iculo.
decrecen hasta producir una transici´on de fase (en este caso de primer orden), mientras que la curva perturbativa crece ligeramente. Como es de esperar, el resultado perturbativo es lentamente variable con la temperatura, pues esta variaci´on procede de correcciones radiativas logar´itmicas.
4.2.3. Resultados perturbativos a ´ordenes superiores
En la secci´on (4.2.2) discutimos la t´ecnica de reduccio´n dimensional y llegamos a obtener el valor perturbativo de L(T ) a orden ma´s bajo en teor´ia de perturbaciones O(g3). En este apartado vamos a hacer una discusio´n de las contribuciones de ´ordenes superiores al loop de Polyakov.
El lagrangiano renormalizable tridimensional tiene la siguiente estructura
Lr3en(x)
=
1 2
tr(Fi2j
)
+
tr([Di,
A0]2)
+
m23tr(A20)
+
1(tr(A20))2
+
2tr(A40)
,
Di = i - ig3Ai .
(4.14)
con Aµ T -1/2Aµ, m3 gT , g3 T 1/2g, y 1 2 g4T . Para Nc = 2 y Nc = 3 el t´ermino 2 es redundante y podemos considerar 2 = 0.
La densidad de energ´ia de vac´io de esta teor´ia, (g3, m3, 1), ha sido calculada hasta cuatro loops en [60], con g3, m3 y 1 como para´metros independientes. Esto permite calcular los condensados A20 y A40 tomando derivadas de con respecto a m23 y 1 respectivamente, lo cual va a permitir obtener sucesivos ´ordenes perturbativos del loop de Polyakov mediante
ec. (4.10).
4.2 Loop de Polyakov perturbativo
77
La estructura general de la densidad de energ´ia de vac´io es [60]
-1
(g3, m3, 1) =
fk m43-g32k1-k-1 ,
1 k=0
(4.15)
donde indica el nu´mero de loops y los coeficientes fk dependen logar´itmicamente de m3. Para las magnitudes que aparecen en (4.10) se tiene
g2 T2
tr(A20)
g4 T4
tr(A40)
g2 (g3, m3, 1)
T
m23
1
3
gn ,
n=+2
g4 T2
(g3, m3, 1) 1
2
3
gn .
n=+4
(4.16)
Teniendo en cuenta que en ref. [60] se calcula la densidad de energ´ia de vac´io hasta 4 loops, la primera contribucio´n a L(T ) que no se tendr´ia en cuenta ser´ia O(g7), correspondiente a = 5 en el t´ermino tr(A20) . La contribucio´n de orden ma´s bajo de tr(A40) a 5 loops es O(g9), y la primera contribucio´n de tr(A60) , no disponible en el c´alculo, comenzar´ia en O(g9) a 3 loops. Esto quiere decir que en principio, con el resultado de [60] se podr´ia extender el resultado perturbativo de L(T ) hasta O(g6). Desafortunadamente las relaciones
que conectan los para´metros de la teor´ia dimensionalmente reducida m3, g3 y 1 con los correspondientes de QCD en cuatro dimensiones solamente se conocen en gauges covarian-
tes, para los cuales la relacio´n (4.9) no se cumple. En particular, la razo´n g(µ)/gE(T ) tiene una dependencia en el gauge que comienza en O(g2) para las contribuciones de dos loops, lo cual dar´ia lugar a una dependencia en el gauge a O(g5) en L(T ).
Deber´iamos estudiar asimismo la contribucio´n de los t´erminos no renormalizables L3. Los t´erminos de orden ma´s bajo de ese tipo son [44, 55]
L3
=
g T
2 2
tr([Di
,
Fµ
]2)
+
g3 T 3/2
tr(Fµ3
)
+
g4 T
tr(A20
Fµ2
)
.
(4.17)
Si tenemos en cuenta la relacio´n efectiva Di gT , el primer t´ermino corresponde a una correcci´on O(g4) en la energ´ia cin´etica, de modo que comenzar´a a contribuir a O(g7) como
una correcci´on del LO en L(T ). Los otros t´erminos son de orden superior.
Teniendo en cuenta las relaciones (4.16) y la ecuaci´on (4.10), reproducimos el t´ermino de orden O(g4) que aparece en el resultado de Gava y Jengo, ec. (4.2). Encontramos asimismo la siguiente contribucio´n de orden O(g5) en L(T )
O(g5)
=
(Nc2 - 1)g4T mD 3843
-
m2D (gT )2
(9Q
+
3cm
+
4Nf
+
2Nc(6
-
7))
+ Nc2 (89 + 42 - 44 log 2) , 4
(4.18)
donde
Q
=
22 3
Nc
log
µ µT
-
4 3
Nf
log
4µ µT
,
cm
=
10Nc2
+ 2Nf2 6Nc +
+ 9Nf /Nc 3Nf
,
(4.19)
78
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
y µT = 4e-E T es la escala t´ermica est´andar que surge en la reduccio´n dimensional perturbativa en el esquema MS. mD viene dada por ec. (4.3). es un para´metro que depende del gauge.
Si bien los t´erminos O(g5) + O(g6) tienen una dependencia en el gauge, num´ericamente se observa que no producen una contribucio´n sustancial a L(T ), pues son cualitativamente y cuantitativamente similares a los obtenidos en [23]. Nuevamente la naturaleza radiativa de estos t´erminos perturbativos produce una dependencia logar´itmica en temperatura que es muy plana.
Encontramos que teor´ia de perturbaciones resulta ser incapaz de explicar el comportamiento que se observa en el ret´iculo del loop de Polyakov en el r´egimen Tc < T < 6Tc (ver figura 4.1), y este hecho refuerza la necesidad de incluir en el c´alculo efectos no perturbativos.
4.2.4. Ansatz gaussiano
Con objeto de simplificar el tratamiento, consideraremos que en la fase de desconfi-
namiento el campo A0(x) se encuentra suficientemente bien descrito por una distribucio´n gaussiana. En este caso, todos los valores esperados conexos de A0 ma´s all´a de A20 se anulan, y haciendo uso del desarrollo est´andar en cumulantes, se encuentra
L = exp
-
g2 A20,a 4NcT 2
(4.20)
de modo que2
A20,a
Pert
=
-
Nc2 - 4
1
mD
T
-
Nc
(Nc2 8
-
2
1)
g
2
T
2
log
mD 2T
+
3 4
+ O(g3) .
(4.21)
De (4.16) se observa que la contribucio´n a L(T ) proveniente de A40 comienza en O(g6), de modo que el ansatz gaussiano ser´a va´lido hasta orden O(g5) a temperatura suficientemente alta, donde la teor´ia se convierte en d´ebilmente interactuante debido a la propiedad de libertad asint´otica. Es exacto en el l´imite de Nc grande ya que los valores esperados conexos de ´ordenes mayores se encuentran suprimidos por potencias de 1/Nc. A20,a escala como Nc2 - 1, de modo que L tiene un l´imite bien definido para Nc , con la prescripcio´n est´andar de mantener fijo g2Nc.
Los c´alculos en el ret´iculo muestran una distribuci´on gaussiana para el loop de Polyakov [88]. El ansatz gaussiano es equivalente a desarrollar la exponencial en ec. (4.9), promediar sobre grados de libertad de color y finalmente hacer uso de la hipo´tesis de saturacio´n de vac´io ( A20k = (2k - 1)!! A20 k), usada habitualmente en las reglas de suma de QCD a temperatura cero. En este contexto el loop de Wilson fue discutido en ref. [89] mediante el uso del condensado glu´onico est´andar de dimensi´on 4, dando como resultado un t´ermino
2Esta f´ormula es v´alida tambi´en para la teor´ia unquenched, puesto que hasta este orden Nf u´nicamente aparece a trav´es de la masa de Debye.
4.3 Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov
79
proporcional al cuadrado del ´area del contorno para contornos pequen~os. El problema fue discutido nuevamente en ref. [90] en el contexto de condensados de dimensi´on 2, dando lugar a una ley proporcional al ´area. Esto se muestra de acuerdo con la observaci´on de ref. [75] de que los condensados de dimensi´on 2 podr´ian considerarse de manera efectiva como masas glu´onicas taqui´onicas, lo cual proporciona el comportamiento a cortas distancias de las fuerzas que son confinantes a distancias grandes.
4.3. Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov
En la secci´on 4.2 de este cap´itulo hemos hecho un estudio de las contribuciones pertur-
bativas para el loop de Polyakov, y encontramos que teor´ia de perturbaciones reproduce
u´nicamente los datos del ret´iculo a temperaturas suficientemente altas (T 6Tc). Este hecho aparece ilustrado en la figura 4.1.
Nuestra motivaci´on para dar cuenta de las contribuciones no perturbativas puede en-
tenderse bien si se muestra la analog´ia que existe con el potencial quark-antiquark a tem-
peratura cero en QCD quenched. Este potencial se puede obtener a partir de la funci´on
de correlacio´n de dos l´ineas de Wilson. El r´egimen perturbativo del potencial Vq¯q(r) es el correspondiente a separaciones pequen~as, donde el potencial es aproximadamente coulom-
biano. Para separaciones del orden de 1/QCD (no existe otra escala en gluodina´mica) surge un t´ermino lineal confinante que comienza a ser dominante [81]. Estas dos contribuciones
del potencial evolucionan bajo el grupo de renormalizaci´on siguiendo una ley logar´itmica.
Por tanto, mo´dulo correcciones radiativas, rVq¯q(r) est´a formado por una parte perturbativa que es constante y por un t´ermino del tipo QCD r2 que es no perturbativo. De manera an´aloga, a temperaturas grandes podemos considerar el comportamiento de la magnitud adimensional tr(A20) /T 2, que tambi´en est´a directamente relacionada con la funci´on de correlacio´n de dos l´ineas de Wilson t´ermicas. El an´alogo de la escala r en el caso anterior es aqu´i la escala 1/T , y por suspuesto para T grande la magnitud tr(A20) /T 2 es perturbativa y plana (m´odulo una dependencia logar´itmica). A temperaturas no tan grandes habr´ia
que considerar la posibilidad de que surjan t´erminos no perturbativos en potencias del tipo 2QCD/T 2.
Con objeto de dar cuenta de contribuciones no perturbativas provenientes de conden-
sados glu´onicos, consideraremos en el propagador D00(k) nuevos t´erminos fenomenolo´gicos con para´metros dimensionales positivos. En concreto
D00(k) = D0P0ert(k) + D0N0o Pert(k) ,
(4.22)
con el t´ermino no perturbativo
D0N0o
Pert(k)
=
(k2
m2G + m2D)2
.
(4.23)
Este ansatz es equivalente al que se realiza a temperatura cero en presencia de condensados
[74, 75]. Si introducimos ec. (4.23) en ec. (4.11), podemos ver que este t´ermino nuevo genera
80
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
una contribucio´n no perturbativa para el condensado:
A20,a
No Pert
=
(Nc2 - 1)T m2G 8mD
.
(4.24)
Si suponemos que el para´metro mG es independiente de la temperatura (salvo correcciones radiativas), el condensado ser´a asimismo T-independiente (m´odulo esas mismas correccio-
nes radiativas). En t´erminos del condensado, la contribucio´n no perturbativa al propagador
se escribe
D0N0o Pert(k)
=
8 mD Nc2 - 1 T
A20,a No Pert (k2 + m2D)2
.
(4.25)
Notar que un condensado positivo A20,a No Pert indica lo que ser´ia una masa gluo´nica taquio´nica -m2G, al igual que en ref. [75].
Si hacemos uso del ansatz gaussiano, ec. (4.20), y sumamos las contribuciones perturbativa y no perturbativa de A20,a , se obtiene
- 2 log L =
g2 A20,a Pert 2NcT 2
+
g2
A20,a No Pert 2NcT 2
.
(4.26)
El hecho de que A20,a Pert escale como T 2 mientras que A20,a No Pert sea independiente de la temperatura (m´odulo correcciones radiativas), sugiere que la f´ormula anterior se pueda
reescribir de la siguiente forma
- 2 log L = a + b
Tc T
2
,
(4.27)
donde se espera que los para´metros a y b tengan una dependencia d´ebil en temperatura. Esta f´ormula muestra que la contribucio´n no perturbativa da lugar a una dependencia en temperatura que sigue una ley de potencia, la cual no est´a presente en los c´alculos perturbativos.
4.4. Comparacio´n con datos del ret´iculo
Recientemente se han desarrollado diferentes m´etodos para renormalizar el loop de Polyakov en el ret´iculo. Por supuesto, estos c´alculos son completamente no perturbativos. Uno de los procedimientos de renormalizaci´on se basa en el c´alculo de funciones de correlacio´n singlete y octete a temperatura finita de una pareja de quark y antiquark pesados [21, 22]
e-F1(x,T )/T +C(T )
=
1 Nc
Tr desn(x) desn(0)
,
(4.28)
e-F8(x,T )/T +C(T )
=
1 Nc2 - 1
Tr desn(x) Tr desn(0)
-
1 Nc(Nc2
-
1)
Tr desn(x) desn(0)
.
4.4 Comparaci´on con datos del ret´iculo
81
-2log(L)
2
1.5
Nf=0, Nf=0,
NN==48,,
Ref.[21] Ref.[21]
N=4
1
a + b(Tc/T)2
N=8
0.5
0
LO
NLO
-0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(Tc/T)2
Figura 4.2: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en gluodina´mica (Nc = 3) frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transici´on de fase. Los datos del ret´iculo son de ref. [21]. En los ajustes se usa ec. (4.27) con a y b como para´metros libres, y datos del ret´iculo por encima de 1,03 Tc para N = 4 y N = 8. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO para Nf = 0.
En estas f´ormulas desn(x) indica el operador loop de Polyakov desnudo (sin renormalizar) localizado en el punto x. Los dos loops de Polyakov se renormalizan mediante la extraccio´n de la autoenerg´ia del quark (que es dependiente de T , pero independiente de la separacio´n), de tal modo que se reproduzca a pequen~as distancias el potencial quark-antiquark est´andar a temperatura cero. El valor esperado del loop de Polyakov se obtiene considerando en las f´ormulas anteriores el l´imite de separacio´n grande. Si R(x) denota el loop de Polyakov renormalizado en el punto x,
1 Nc
Tr R(x) R(0)
= 1 e-C(T ) Tr desn(x) desn(0) Nc
= e-F1(r,T )/T - L2(T ) . r
(4.29)
Tal y como muestran los autores de [21], existe una ambigu¨edad en su procedimiento, que corresponde a an~adir una constante al potencial quark-antiquark a temperatura cero. Esta ambigu¨edad se traduce en una ambigu¨edad aditiva en F1(r, T ) en ec. (4.29), lo cual conducir´ia a un t´ermino del tipo 1/T en log(L(T )). Para eliminar esta ambigu¨edad los autores han adoptado la prescripci´on de Cornell, que consiste en elegir v1 = 0 en Vq¯q(r) v0/r + v1 + v2r.
4.4.1. Resultados en gluodin´amica
En ref. [21] se hace un estudio del loop de Polyakov renormalizado, siguiendo el m´etodo sen~alado anteriormente, para gluodin´amica pura y Nc = 3. Motivado por el resultado de nuestro modelo, ec. (4.27), en la figura 4.2 mostramos los datos en el ret´iculo de -2 log L(T )
82
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
frente a (Tc/T )2. Se observa que los datos presentan un comportamiento pra´cticamente lineal. Este patr´on es claramente diferente del que predice teor´ia de perturbaciones, que es mucho ma´s plano, y muestra de manera inequ´ivoca la existencia de la correcci´on en potencias de temperatura t´ipica de un condensado de dimensi´on 2.
Si identificamos (4.27) con (4.26) obtenemos las siguientes relaciones:
a
=
-
1 8
Nc2 - Nc
1
g2
mD T
-
Nc2 - 162
1
g4
g2 A20,a No Pert = 2NcTc2b .
log
mD 2T
+
3 4
+ O(g5) , (4.30) (4.31)
Haremos un primer ajuste de los datos del ret´iculo considerando para a el valor que predice teor´ia de perturbaciones a NLO (4.30), y dejando b como para´metro libre
- 2 log L = aNLO + b
Tc T
2
.
(4.32)
El resultado se muestra en la tabla 4.1.
N
b
g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF
4 2.20(6)
(0,98(2))2
0.75
8 2.14(4)
(0,97(1))2
1.43
Cuadro 4.1: Resultado del ajuste con ec. (4.32) de los datos en el ret´iculo del loop de Polyakov renormalizado en gluodin´amica [21]. Se han incluido datos por encima de 1,03 Tc. El valor del condensado se ha obtenido a partir de b y la ecuaci´on (4.31).
En el ajuste hemos incluido datos del ret´iculo para temperaturas por encima de 1,03 Tc. Hacemos uso de Tc/MS = 1,14(4) [81, 91], y Tc = 270(2) MeV [91]. En el resto de esta secci´on usaremos la constante de acoplamiento que se obtiene de la funci´on beta hasta tres
loops y E de ec. (4.8) como para´metro de escala. Si suponemos que la diferencia entre los dos resultados del ret´iculo (N = 4 y N = 8) es debida u´nicamente a efectos de cutoff finito, y consideramos que el efecto principal va como 1/N , encontramos como estimacio´n para g2 A20,a No Pert en el l´imite del continuo (0,95(4) GeV)2.
Hemos considerado tambi´en un segundo ajuste de los datos del ret´iculo considerando a
y b para´metros libres. El resultado se muestra en la tabla 4.2.
N
a
b
g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF
4 -0.27(5) 1.81(13)
(0,89(3))2
1.07
8 -0.23(1) 1.72(5)
(0,87(2))2
0.45
Cuadro 4.2: Igual que tabla 4.1, con a y b como para´metros libres.
4.4 Comparaci´on con datos del ret´iculo
83
Los valores de 2/DOF son ligeramente mejores que los correspondientes al ajuste con aNLO, y los valores del condensado son un poco ma´s pequen~os que antes. La correspondiente estimacio´n del l´imite del continuo es g2 A20,a No Pert = (0,84(6) GeV)2.
La identificacio´n de a con el resultado perturbativo debe de funcionar mejor a tempera-
turas grandes. De ec. (4.30) se obtiene para la temperatura ma´s alta 6 Tc
aNLO = -0,22(1) (T = 6 Tc) ,
(4.33)
lo cual muestra un acuerdo razonable con los valores ajustados. Notar que las correcciones no perturbativas en potencias de T contribuyen poco a esta temperatura ( 20 %). Se puede concluir que el resultado perturbativo NLO evoluciona a temperaturas pequen~as ma´s r´apidamente de lo que sugiere el ajuste. Ser´ia interesante tener en cuenta correcciones logar´itmicas al valor del condensado y quiz´as ciertas correcciones de dimensi´on an´omala para ´este. Sin embargo, los datos actuales del ret´iculo no permiten una extraccio´n limpia de esos detalles.
En un intento por determinar una posible correcci´on de tipo 1/T 4, hemos considerado en ec. (4.27) el t´ermino extra c(Tc/T )4. El resultado del ajuste de los datos del ret´iculo para N = 8 se muestra en la tabla 4.3.
N
a
b
c
2/DOF
8 aNLO 2.18(20) -0.04±0.24 1.89
8 -0.22(2) 1.61(24) 0.13±0.28 0.42
Cuadro 4.3: Resultado del ajuste de los datos del ret´iculo del loop de Polyakov renormalizado en gluodin´amica [21], con ec. (4.27) y un t´ermino extra c(Tc/T )4. En la primera fila se han tomado b y c como para´metros libres, y se considera para a el valor perturbativo a NLO, ec. (4.30). En la segunda fila se toman a, b y c como para´metros libres.
El valor de c es compatible con cero en los dos casos, y los errores se superponen con los valores centrales de a y b (N = 8), en tab. 4.1 y tab. 4.2 respectivamente. Es necesario disponer de datos ma´s precisos con objeto de identificar posibles contribuciones de condensados de dimensi´on 4.
Un ajuste de los datos excluye por completo la existencia de un t´ermino del tipo 1/T en log(L(T )). Este t´ermino no tiene base teo´rica, pues no existe un condensado de dimensi´on uno. La ausencia de este t´ermino en los datos se debe a que los autores han adoptado la prescripci´on de Cornell para el potencial quark-antiquark.
4.4.2. Resultados unquenched
El loop de Polyakov renormalizado ha sido calculado tambi´en en ref. [22] en el caso unquenched para QCD con dos sabores, siguiendo el m´etodo explicado al comienzo de la secci´on 4.4. En la figura 4.3 mostramos estos datos para N = 4. En este caso, los datos siguen un comportamiento pra´cticamente lineal para temperaturas por encima de
84
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
-2log(L)
2.5 Nf=2, N=4, Ref.[22]
2
1.5 a + b(Tc/T)2
1
0.5
0
LO NLO
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(Tc/T)2
Figura 4.3: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en QCD unquenched con dos sabores frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transici´on de fase. Los datos del ret´iculo son de ref. [22]. En los ajustes se usa ec. (4.27) con a y b como para´metros libres, y datos del ret´iculo por encima de 1,15 Tc para N = 4. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO para Nf = 2.
1,15 Tc. Cerca de la temperatura de transici´on los datos comienzan a salirse del patr´on de la ec. (4.27), lo cual es sen~al de que se hace necesaria una descripcio´n ma´s rica a medida que nos aproximamos a la transici´on de fase.
En la tabla 4.4 se muestran los resultados del ajuste de los datos del ret´iculo para T > 1,15 Tc.
N
a
b
g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF
4 aNLO 2.99(12)
(0,86(2))2
1.87
4 -0.31(6) 2.19(13)
(0,73(3))2
0.25
Cuadro 4.4: Resultado del ajuste con ec. (4.27) de los datos en el ret´iculo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22]. Se han incluido datos por encima de 1,15 Tc. En la primera fila se ha tomado b como para´metro libre, y se considera para a el valor perturbativo a NLO, ec. (4.30). En la segunda fila se toman a y b como para´metros libres.
Hemos usado Tc/MS = 0,77(9), con Tc = 202(4) MeV [92] y MS = 261(31) MeV [93]. En el ajuste hemos considerado el mismo peso para todos los puntos, y el valor de 2 corresponde a un error representativo de ±0,05 en 2 log(L(T )) (similar al caso quenched).
Al igual que en el caso quenched, el valor de a es consistente con el valor perturbativo
4.4 Comparaci´on con datos del ret´iculo
85
a temperatura grande
aNLO = -0,35(2) (T = 6 Tc) .
(4.34)
La p´erdida del patr´on lineal para temperaturas por debajo de 1,15 Tc no se explica convenientemente si consideramos nuevos condensados de dimensi´on mayor. En efecto,
hemos sido incapaces de extraer de los datos un condensado de dimensi´on 4. En la tabla 4.5
se muestra el resultado del ajuste para T > 1,0 Tc al considerar en ec. (4.32) el t´ermino extra c(Tc/T )4.
N a
b
c
2/DOF
4 aNLO 2.44(21) 1.07(19) 12.8
Cuadro 4.5: Ajuste de los datos en el ret´iculo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22], con ec. (4.27) y un t´ermino extra c(Tc/T )4. Se han incluido datos por encima de 1,0 Tc.
El ajuste no es bueno, y la gran correlacio´n que encontramos entre b y c hace que no se pueda extraer informaci´on fiable de este nuevo para´metro.
4.4.3. Otros resultados quenched
Recientemente ha aparecido en la literatura un m´etodo alternativo para renormalizar
el loop de Polyakov en el ret´iculo. En ref. [94] los autores consideran loops de Polyakov
aislados en gluodin´amica pura, y hacen una renormalizaci´on multiplicativa mediante la
extraccio´n de la autoenerg´ia del quark. Si PR(x) denota el loop de Polyakov renormalizado en una representacio´n irreducible arbitraria R en el punto x, se tiene3
PR(x)
=1 ZR
P desn (x)
,
ZR = exp
- mdRiv T
,
(4.35)
donde se ha dividido por una constante de renormalizaci´on apropiada ZR. Pden(x) indica el operador loop de Polyakov desnudo. E´ste es un tipo est´andar de renormalizaci´on de masa,
si bien aqu´i se debe tener en cuenta que, puesto que la l´inea de Wilson es un operador
no local, la constante de renormalizaci´on dependera´ de la longitud del camino: en general,
para un camino de longitud se tiene ZR = exp(-mdRiv). El problema principal reside en c´omo determinar las masas divergentes de un modo
no perturbativo. En un espacio-tiempo de cuatro dimensiones la masa divergente para un
quark test mdRiv es lineal con el cutoff ultravioleta, el cual es proporcional al inverso del
espaciado del ret´iculo, a, esto es:
mdRiv
1 a
.
(4.36)
3En
nuestra
notacio´n
PR(x)
=
1 Nc
Tr
R
(x)
.
86
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
-2log(L)
2.5
2
Nf=0, Nf=0,
NRe=f.8[9, 3R]ef.[21]
1.5
1
0.5
0
a + b(Tc/T)2
-0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(Tc/T)2
Figura 4.4: Logaritmo de loop de Polyakov renormalizado en gluodina´mica (Nc = 3) frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transici´on de fase. Los datos del ret´iculo son de refs. [21] y [94]. Los ajustes usan ec. (4.27) con a y b como para´metros libres para [21], y ec. (4.39) con a como para´metro libre para [94].
Los autores consideran diferentes ret´iculos, todos a la misma temperatura f´isica T , pero con diferentes valores del espaciado a. Puesto que el nu´mero de puntos en la direccio´n temporal N = 1/(aT ) es diferente en estos ret´iculos, obtienen la masa divergente amdRiv mediante comparaci´on de los valores del loop de Polyakov desnudo en los diversos ret´iculos.
Siguiendo este m´etodo, los autores de [94] calculan el loop de Polyakov renormalizado en varias representaciones de SU(3). Nuestro inter´es se centra en la representacio´n fundamental, y cuando comparamos con los datos de [21] encontramos que ambos resultados difieren cualitativamente, principalmente para temperaturas por encima de 1,3 Tc. En la figura 4.4 se muestran los dos conjuntos de datos.
El origen de la discrepancia entre ambos resultados no est´a del todo claro, aunque los autores de [94] no excluyen la posibilidad de que se deba a efectos del espaciado finito del ret´iculo, que no hayan sido tenidos en cuenta de manera conveniente.
Existen varias razones para pensar que los resultados de [21] son ma´s fiables. Por una parte este m´etodo resulta t´ecnicamente ma´s simple y susceptible de ser comprobado. Los autores pueden comprobar que a cortas distancias los dos loops de Polyakov reproducen de una manera muy precisa el potencial quark-antiquark a temperatura cero como funci´on de r para todas las temperaturas. El contacto entre el potencial a temperatura cero y el correspondiente a temperatura finita es casi total hasta una separacio´n r(T ), relacionada con la masa de Debye, lo cual permite una determinacio´n muy precisa del contrat´ermino C(T ) de ec. (4.29). Adema´s, el c´alculo est´a hecho para dos taman~os diferentes del ret´iculo, N = 4 y N = 8 (tambi´en N = 16 en [95]), y los resultados muestran una dependencia muy pequen~a en el cutoff, lo cual significa que el l´imite del continuo ha sido alcanzado.
El m´etodo de ref. [94] es t´ecnicamente ma´s complicado, pues necesita comparar taman~os
4.4 Comparaci´on con datos del ret´iculo
87
diferentes del ret´iculo a la misma temperatura f´isica T . La extraccio´n del contrat´ermino es asimismo ma´s compleja, pues el an´alogo de C(T ) en ec. (4.29) se escribe como una serie en potencias de T con coeficientes que deben de ser ajustados con los datos del loop de Polyakov desnudo. Por otra parte, desde el punto de vista del modelo que proponemos en nuestro trabajo, esperamos que las correcciones no perturbativas sean despreciables a las temperaturas ma´s altas de los dos datos del ret´iculo, pero u´nicamente [21] parece ser consistente con teor´ia de perturbaciones [23] a esas temperaturas.
El m´etodo de [94] renormaliza el logaritmo del loop de Polyakov siguiendo este esquema4
- log Ldesn(T ) = f divN + f ren + f latN-1 ,
(4.37)
donde
Ldesn(T )
=
1 Nc
Tr desn(x)
,
L(T )
=
1 Nc
Tr R(x)
= e-fren .
(4.38)
Podemos especular con esta f´ormula suponiendo que los t´erminos que dependen del cutoff no han sido extra´idos completamente en los datos, o bien que despu´es de haber sido extra´idos permanezcan t´erminos del mismo tipo a los extra´idos. En concreto, consideraremos el siguiente patr´on de ajuste
- 2 log L = a + b
Tc T
2
+
a-1
Tc T
+
a
+
a1
T Tc
.
(4.39)
En la tabla 4.6 se muestran los resultados del ajuste de los datos del ret´iculo (figura 8 de ref. [94]) para el loop de Polyakov en la representacio´n fundamental, en el r´egimen 1,3 Tc < T < 3,5 Tc.
a
a
a + a
b
a-1
a1
2/DOF
aNLO 1.8 ± 1.8
-
1.4 ± 2.6 -1.0±3.8 -0.29±0.26 0.0349
-
-
1.6 ± 1.8 1.3 ± 2.6 -1.4 ± 3.8 -0.28 ± 0.26 0.0350
Cuadro 4.6: Resultado del ajuste con ec. (4.39) de los datos en el ret´iculo del loop de Polyakov renormalizado en gluodina´mica [94]. En la primera fila se ha tomado para a el valor aNLO de ec. (4.30), y en la segunda se ha considerado a como para´metro libre.
Un hecho alentador es que el valor del condensado parece ser compatible con el obtenido en la secci´on 4.4.1 a partir de los datos de ref. [21]. No obstante, esta especulacio´n no es totalmente concluyente y ser´ia deseable un acuerdo entre los resultados de ambos grupos antes de sacar nuevas consecuencias.
4Nos vamos a limitar a analizar los datos correspondientes al loop de Polyakov en representaci´on fundamental. En sec. 5.7 se discute el comportamiento del loop de Polyakov adjunto obtenido en el contexto de modelos de quarks quirales a temperatura finita.
88
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
4.4.4. Relaci´on con otras determinaciones del condensado
Si bien nuestra determinacio´n del condensado se ha hecho en el gauge est´atico y a temperatura finita, resulta tentador comparar con condensados a temperatura cero g2 A2µ,a , calculados en la literatura en quenched QCD y en el gauge de Landau. En la tabla 4.7 se muestran algunos valores de este condensado obtenidos recientemente por diferentes procedimientos. El acuerdo entre ellos es aceptable.
Referencia Del propagador del glu´on [77] Del v´ertice sim´etrico de tres gluones [77] De la cola del propagador del quark [78] De la cola del propagador del quark [79]
g2 A2µ,a (GeV)2 (2,4 ± 0,6)2 (3,6 ± 1,2)2 (2,1 ± 0,1)2 (3,0 - 3,4)2
Cuadro 4.7: Valores del condensado g2 A2µ,a a temperatura cero, en el gauge de Landau en quenched QCD.
A temperatura cero todas las componentes de Lorentz contribuyen de igual forma, lo cual sugiere un factor de conversio´n 4 al pasar de g2 A2µ,a a g2 A20,a . Sin embargo, de acuerdo con ref. [74], en el gauge de Landau el condensado total escala como D-1, donde D es la dimensi´on del espacio eucl´ideo, lo cual sugiere un factor de conversio´n 3. En cualquier caso, si tenemos en cuenta tanto las incertidumbres de los datos del ret´iculo como las teo´ricas, el acuerdo es significativo, pues estamos comparando resultados a temperaturas y gauges diferentes.
Podemos comparar asimismo nuestro resultado para el condensado gluo´nico con c´alculos realizados a temperatura finita basados en el estudio de contribuciones no perturbativas de la presi´on en gluodin´amica pura [80, 96]. Estos resultados conducen a
g2 A20,a No Pert = (0,93(7) GeV)2 ,
(4.40)
en el gauge de Landau.5 Todos estos an´alisis muestran un esquema coherente en su conjunto.
4.5. Energ´ia libre de un quark pesado
El potencial quark-antiquark a temperatura finita se puede obtener a partir de la funci´on de correlacio´n de dos loops de Polyakov separados. Como sabemos, si se toma el l´imite de separacio´n grande se obtiene el valor esperado del loop de Polyakov, ec. (4.29). En el l´imite de separacio´n pequen~a los efectos t´ermicos son despreciables, y este potencial coincide con el potencial quark-antiquark a temperatura cero.
5Este valor ha sido obtenido a partir de los datos del ret´iculo de la figura 2 de ref. [80], y tambi´en de la figura 1 de ref. [96], en la regi´on de temperaturas usada en nuestros ajustes de la seccio´n 4.4.1.
4.5 Energ´ia libre de un quark pesado
89
Hasta ahora hemos aplicado nuestro modelo fenomenol´ogico de ecs. (4.22)-(4.23) para dar cuenta de las correcciones no perturbativas en el loop de Polyakov. En esta secci´on aplicaremos este modelo para describir los datos del ret´iculo de la energ´ia libre de un quark pesado.
4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energ´ia libre
El potencial quark-antiquark puede relacionarse con la amplitud de scattering correspondiente al intercambio de un u´nico glu´on. En el l´imite no relativista, para la energ´ia libre en el canal singlete se tiene
F1(x,
T
)
=
-
Nc2 - 2Nc
1
g2
d3k (2)3
eik·xD00(k)
.
(4.41)
Podemos estudiar contribuciones no perturbativas en la energ´ia libre aplicando el mo-
delo que desarrollamos en la secci´on 4.3. Si sustituimos (4.22) en (4.41) obtenemos adema´s de las contribuciones perturbativas a LO (O(g2)) y NLO (O(g3)), nuevas contribuciones no perturbativas6
F1(r,
T
)
=
-
Nc2 - 2Nc
1
g2 4r
+
1 g2 Nc2 - 1
A20,a No Pert T
e-mDr- Nc2 - 1 g2mD + g2 A20,a No Pert .
2Nc 4
2NcT
(4.42)
Si consideramos el l´imite r en (4.42), se obtiene esencialmente el logaritmo del
loop de Polyakov
F(T )
F1(r
, T )
=
-2T
log L(T )
=
-
Nc2 - 2Nc
1
g2mD 4
+
g2
A20,a No Pert 2NcT
+ O(g4) .
(4.43)
Esta expresi´on coincide con ec. (4.27), teniendo en cuenta ec. (4.31) para b y ec. (4.30)
hasta O(g3) para a.
En el l´imite de temperatura cero, para lo cual consideramos mDr 0 en (4.42), se
tiene
F1(r, T )
T0
-
Nc2 - 2Nc
1
g2 4r
+
r
Vq¯q(r) ,
(4.44)
donde
=
Nc 3
+
Nf 6
1/2
g3
A20,a 2Nc
T =0
.
(4.45)
En esta expresi´on, A20,a T =0 denota el condensado a temperatura cero. En este l´imite se llega obviamente a la expresi´on del potencial quark-antiquark a temperatura cero [97]. El
t´ermino de Coulomb es el resultado perturbativo est´andar a LO, mientras que el segundo
t´ermino es una contribucio´n lineal no perturbativa bien conocida en la literatura. Ec. (4.44)
6Hacemos uso de las reglas de regularizaci´on dimensional y consideramos g independiente de k.
90
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
s(r,T)
0.19
0.18
T=3Tc T=6Tc
T=9Tc
0.17
T=12Tc
0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0
0.5
1
1.5
2
rT
Figura 4.5: Constante de acoplamiento s frente a rT en gluodin´amica pura (Nc = 3), para diferentes valores de T . Datos obtenidos a partir del ajuste de ec. (4.42) con los datos del ret´iculo de la figura 5 de ref. [98].
con g = /2 corresponde al modelo de cuerda boso´nica, y reproduce los datos del ret´iculo para Vq¯q(r) en el rango 0,75 GeV-1 r 4 GeV-1 con un error del 1 % [97]. Nuestro modelo predice un valor concreto para la tensi´on de la cuerda .
Como vemos, el modelo predice para la energ´ia libre unos comportamientos asint´oticos
totalmente coherentes con la fenomenolog´ia conocida. Esto refuerza nuestra suposici´on de
existencia de contribuciones no perturbativas dadas por condensados gluo´nicos.
4.5.2. Comparaci´on con datos del ret´iculo
Podemos comparar nuestro resultado, ec. (4.42), con datos del ret´iculo existentes para la energ´ia libre. Puesto que conocemos el valor del condensado g2 A20,a No Pert, esto nos va a permitir obtener la dependencia en r y T de la constante de acoplamiento s g2/4. En la figura 4.5 se muestra el valor de s frente a rT para diferentes valores de la temperatura. Las curvas se han obtenido tras ajustar ec. (4.42) con los datos de ref. [98] (figura 5) para gluodin´amica (Nc = 3). Como valor de g2 A20,a No Pert consideramos el de la tabla 4.2 con N = 8.
Se observa un comportamiento suave para s y los valores son relativamente pequen~os, lo cual contrasta con an´alisis recientes en el ret´iculo a temperatura finita [22, 98]. Estos
autores tienen en cuenta los efectos no perturbativos que observan en los datos del ret´iculo
de la energ´ia libre mediante el uso de dos constantes: s y s; y esta u´ltima se diferencia del valor perturbativo por un factor multiplicativo:
s(r, T ) = sPert(r, T ) , > 1 .
(4.46)
Esto no tiene justificaci´on teo´rica, y se trata en realidad de un esquema de an´alisis dema-
4.5 Energ´ia libre de un quark pesado
91
siado forzado, pues la constante no es tal, sino que tiene una dependencia en temperatura, de tal modo que vale 1 en el l´imite T .7 Los valores que obtienen para las s's son excesivamente grandes. Por el contrario, al considerar nuestro modelo, el ajuste de los datos
del ret´iculo de la energ´ia libre resulta ma´s natural. Notar que el comportamiento r de
s(r, T ) que se observa en fig. 4.5 es consistente con el hecho de que nuestro mejor ajuste de los datos del loop de Polyakov renormalizado sea con a = constante.
4.5.3. Analog´ia entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero
Al comparar (4.43) con (4.44) se observa que las expresiones son similares desde un punto de vista formal, con la identificacio´n r 1/mD. Si consideramos que no existe dependencia en r y T para la constante de acoplamiento g y el condensado A20,a , de ec. (4.43) a LO y de ec. (4.44) se deduce la siguiente propiedad
F(T ) = Vq¯q(r)
.
r=1/mD
(4.48)
Notar que (4.48) es va´lida s´olo a LO en teor´ia de perturbaciones. Con objeto de comprobar num´ericamente esta propiedad debemos tener en cuenta los diferentes comportamientos asint´oticos de s. Usaremos la siguiente notaci´on:
s(r) s(r, T = 0) , s(T ) s(r , T ) .
(4.49)
La propiedad (4.48) se escribir´a ahora8
BF(T ) = Vq¯q(r)
,
r=/T
(4.51)
donde
B=
s(r) s(T )
3/4
,
=
1 4(Nc/3 + Nf /6)
s(r) s(T )3
1/4
.
(4.52)
7El ajuste que se considera en ref. [22, 98] se hace en base a la f´ormula
Ffit(r,
T
)
=
-
4(T 3r
)
exp
-
4(T ) rT
+ b(T ) ,
(4.47)
donde (T ) y (T ) se usan como dos para´metros de ajuste independientes. Esta f´ormula u´nicamente les permite ajustar el comportamiento de F1(r, T ) a grandes distancias, en contraste con ec. (4.42), que reproduce correctamente tambi´en el comportamiento a r pequen~o, que viene dado por Vq¯q(r).
8Esta propiedad tambi´en se puede expresar como
F(T )/T = rVq¯q(r)
,
r = /T
donde B y esta´n definidos en ec. (4.52).
= B ,
(4.50)
92
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
2
NNrVff==qq00(,,r)NN|r===/48T,,,
Ref.[21] Ref.[21] Ref.[96]
1.5
-2 log(L)
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(Tc/T)2
Figura 4.6: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en gluodina´mica (Nc = 3), reescalado con , ec. (4.50), frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la
temperatura de transici´on de fase. Los cuadrados negros y blancos corresponden a datos del
ret´iculo para el loop de Polyakov de ref. [21]. Las cruces corresponden a datos en el ret´iculo
del potencial quark-antiquark a temperatura cero, rVq¯q(r), de ref. [97], y modificados con el cambio r = /T . La l´inea continua representa el modelo de cuerda boso´nica que reproduce muy bien los datos del ret´iculo para rVq¯q(r) en la regio´n 0,75 GeV-1 r 4 GeV-1. Con el cambio r = /T , esta regio´n corresponde a 0,06 (Tc/T )2 1,6.
La propiedad (4.51), con los valores de los para´metros B y dados en ec. (4.52), se ha deducido suponiendo que se cumple
s(T )
A20,a
No Pert T
= s(r)
A20,a
T =0 .
(4.53)
El miembro izquierdo de la igualdad s(T ) A20,a No Pert ha sido ajustado en la secci´on 4.4.1. El valor de s(r) A20,a T =0 puede obtenerse a partir del valor conocido para la tensio´n de la cuerda, = (0,42 GeV)2, y la ecuaci´on (4.45). Num´ericamente encontramos que ec. (4.53) es correcta con un error del 9 %. En la figura 4.6 se muestran los datos del ret´iculo en gluodin´amica para -2 log L frente a (Tc/T )2 (ref. [21]), y se comparan con el potencial quark-antiquark a temperatura cero rVq¯q(r) [97] despu´es de haber considerado el cambio de variable que se especifica en ec. (4.50). Se observa un acuerdo excelente. Esta dualidad sugiere la existencia de una profunda analog´ia entre el potencial quark-antiquark
a temperatura cero y el loop de Polyakov.
4.6. Conclusiones
Tres son los resultados importantes de este cap´itulo. Por una parte, tras analizar de manera conveniente los datos en el ret´iculo del loop de Polyakov renormalizado por encima
4.6 Conclusiones
93
de la transici´on de fase de QCD, encontramos la contribucio´n inequ´ivoca de un condensado
de dimensi´on 2 no perturbativo. Estas contribuciones no han sido consideradas hasta ahora
en el contexto del loop de Polyakov, pero de hecho son dominantes en la regio´n cercana a
la transici´on de fase y permiten describir los datos de [21] en la fase de desconfinamiento
hasta 1,03 Tc para gluodin´amica y de [22] hasta 1,15 Tc para dos sabores. En segundo lugar, hemos sugerido identificar este condensado con el condensado gluo´ni-
co de dimensi´on 2 invariante BRST. El valor num´erico de g2 A20,a No Pert que obtenemos a partir del loop de Polyakov es totalmente consistente con el valor que se deduce de la
presi´on en gluodin´amica [80, 96]. Adema´s, aun habiendo definido el condensado en un gauge est´atico, su valor es significativamente pro´ximo al valor de g2 A2µ,a /4, obtenido a temperatura cero y en el gauge de Landau.
En tercer lugar, a la luz de estos resultados hemos encontrado una analog´ia entre el
potencial quark-antiquark a temperatura cero y el loop de Polyakov, la cual se manifiesta
en la relacio´n que predice nuestro modelo entre la tensi´on de la cuerda y la pendiente del
loop de Polyakov.
94
Cap´itulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transici´on de fase
Cap´itulo 5
Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
En este cap´itulo estudiaremos algunos modelos de quarks quirales en el contexto de temperatura finita. Haciendo uso de nuestra t´ecnica del heat kernel del cap´itulo 2, obtendremos el acoplamiento m´inimo entre el loop de Polyakov glu´onico y los quarks, lo cual solucionar´a algunas inconsistencias presentes en el tratamiento est´andar de estos modelos a temperatura finita a nivel de un loop de quarks.
En primer lugar se estudiara´n algunas propiedades de las transformaciones gauge a temperatura finita, lo cual nos llevara´ a considerar la simetr´ia del centro como aquella que es generada por la accio´n de transformaciones gauge locales que son peri´odicas en la variable temporal salvo un elementro arbitrario del centro del grupo gauge. Para ma´s detalles sobre este punto, ver ap´endice A.
Posteriormente introduciremos dos modelos: modelo de Nambu­Jona-Lasinio y modelo quark espectral. Con ellos ilustraremos la problema´tica del tratamiento est´andar a temperatura finita que se viene haciendo en los modelos de quarks quirales, y definiremos un modelo quark quiral con acoplamiento del loop de Polyakov que permitira´ compatibilizar los resultados con los conocidos de Teor´ia Quiral de Perturbaciones. Calcularemos el lagrangiano quiral efectivo en estos modelos hasta O(p4) en un desarrollo en momentos externos, y se estudiara´ la estructura que presenta este lagrangiano a temperatura finita.
Se hara´ un estudio de algunas correcciones de orden mayor, tales como correcciones ma´s all´a de un loop de quarks, correcciones glu´onicas y correcciones locales en el loop de Polyakov. Finalmente se calcular´an dos observables de inter´es: condensado quiral y valor esperado del loop de Polyakov; para lo cual se hara´ un tratamiento unquenched, y se estudiara´ el mecanismo de rotura de la simetr´ia del centro que conduce a la transici´on de fase de QCD.
El cap´itulo est´a basado en las referencias [99, 100].
95
96
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
5.1. Transformaciones gauge grandes
En el ap´endice A discutimos las transformaciones gauge en el contexto de la Teor´ia Cu´antica de Campos a temperatura finita. Al comienzo de este cap´itulo vamos a hacer un repaso de las principales propiedades de estas transformaciones, y la importancia que tienen para el estudio de los procesos de desconfinamiento de color en QCD. Esta secci´on podr´ia haberse incluido igualmente en el cap´itulo 3, pero hemos preferido ponerla aqu´i para que el cap´itulo quede autoconsistente, pues como veremos los modelos de quarks quirales nos van a permitir una descripci´on de la transici´on de fase de QCD.
5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita
En el formalismo de Tiempo Imaginario el espacio-tiempo es un cilindro topolo´gico, de tal modo que el tiempo imaginario eucl´ideo est´a compactificado y las integrales funcionales se evalu´an bajo la condicio´n de que los campos sean peri´odicos para bosones y antiperi´odicos para fermiones en el intervalo temporal [0, ], donde = 1/T . En un principio, s´olo estar´ian permitidas las transformaciones gauge peri´odicas
g(x0, x) = g(x0 + , x) ,
(5.1)
pues los campos de los quarks y los bosones son estables frente a este tipo de transformaciones. Un ejemplo de tal transformaci´on para el grupo gauge SU(Nc), en el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, con A0 una matriz diagonal Nc × Nc de traza cero, es
g(x0) = ei2x0/ ,
(5.2)
donde es una matriz diagonal de enteros, de traza cero, en el espacio de color, esto
es ij = niij , ni Z ,
Nc j=1
nj
=
0.
Esta
transformaci´on
no
puede
estar
pro´xima
a
la
identidad, y en este sentido se considera una transformaci´on gauge grande. Bajo ella, el
campo A0 transforma
A0
A0
+
2
,
(5.3)
de modo que en este gauge, la invariancia gauge se manifiesta en la periodicidad del campo glu´onico A0. El problema de teor´ia de perturbaciones radica en que esta invariancia a temperatura finita se rompe expl´icitamente si se hace un desarrollo perturbativo de A0, ya que el desarrollo de una funci´on peri´odica da lugar a un polinomio, que no es peri´odico.
Esta problema´tica de la invariancia gauge a temperatura finita conduce a la necesidad de tratar el campo A0 de una manera no perturbativa, y a tales efectos se considera el loop de Polyakov (o l´inea de Wilson sin traza) como grado de libertad independiente (x). Transforma de manera covariante en x bajo una transformaci´on gauge peri´odica
(x) g-1(x)(x)g(x) ,
(5.4)
y en el gauge de Polyakov, (x) = eiA0(x), es invariante gauge.
5.1 Transformaciones gauge grandes
97
5.1.2. Simetr´ia del centro
En gluodin´amica pura a temperatura finita la condicio´n (5.1) resulta en realidad demasiado restrictiva, y es posible considerar transformaciones gauge aperi´odicas
g(x0 + , x) = z g(x0, x) , zNc = 1 .
(5.5)
z es un elemento de Z(Nc), que es el centro del grupo gauge SU(Nc), esto es z = ei2n/Nc , n Z(Nc). Un ejemplo de esa transformaci´on, en el gauge de Polyakov, es
g(x0) = ei2x0/Nc ,
(5.6)
donde z = ei2/Nc. El campo A0 y el loop de Polyakov transforman bajo (5.6) como
A0
A0
+
2 Nc
,
z .
(5.7)
transforma como la representacio´n fundamental del grupo Z(Nc). F´isicamente el promedio t´ermico del loop de Polyakov (con traza) en la representacio´n fundamental determina la energ´ia libre relativa al vac´io de un u´nico quark,
e-Fq(x) = 1 Nc
trc (x)
.
(5.8)
De ec. (5.7) se deduce (por invariancia gauge) que
trc (x) = z trc (x) ,
(5.9)
y por tanto trc (x) = 0 en la fase en que la simetr´ia del centro se preserva (fase de confinamiento). De manera ma´s general, se obtiene
trc n(x) = 0 para n = mNc , m Z .
(5.10)
La simetr´ia del centro est´a espont´aneamente rota por encima de una cierta temperatura (TD 270 MeV para Nc = 3), lo cual indica una fase de desconfinamiento. En esta fase trc (x) puede tomar valores diferentes de cero.
5.1.3. Rotura de la simetr´ia del centro por fermiones
Las funciones de onda de los fermiones deben satisfacer condiciones antiperi´odicas en
la direcci´on temporal, esto es q(, x) = -q(0, x), de modo que bajo una transformaci´on del
tipo (5.5)
q(, x) g(, x)q(, x) = -zg(0, x)q(0, x) ,
(5.11)
en lugar de -g(0, x)q(0, x). Notar que q(n)q(0) z-nq(n)q(0), lo cual implica que en la fase confinante (con simetr´ia del centro)
q(n)q(0) = 0 para n = mNc , m Z .
(5.12)
98
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
Esto genera una regla de selecci´on en gluodin´amica pura.
Los fermiones no son estables bajo las transformaciones del tipo (5.5) (u´nicamente lo son bajo transformaciones peri´odicas), de modo que rompen expl´icitamente la simetr´ia del centro. Esto significa que la regla de selecci´on (5.12) no se realiza en la pra´ctica. No obstante, esta regla ser´a importante en el contexto de modelos de quarks quirales en el l´imite de Nc grande, tal y como veremos ma´s adelante.
5.2. Modelos de Quarks Quirales
En esta secci´on explicaremos dos modelos de quarks quirales de especial relevancia: el modelo de Nambu­Jona-Lasinio [29] y el modelo quark espectral [101].
5.2.1. Modelo Quark de Nambu­Jona-Lasinio
El lagrangiano eucl´ideo del modelo de Nambu­Jona-Lasinio generalizado es
LNJL
=
q(/
+m^ 0)q
+
1 2a2s
Nf2 -1
((qaq)2
a=0
+
(qai5q)2)
+
1 2a2v
Nf2 -1
((qaµq)2
a=0
+
(qaµ5q)2)
,
(5.13)
donde q = (u, d, s, . . .) representa el campo de los quarks con Nc colores y Nf sabores.
Las 's son las matrices de Gell-Mann del grupo U(Nf ) y m^ 0 = diag(mu, md, ms, . . .) es la matriz de masa de los quarks. 1/a2s y 1/a2v son las constantes de acoplamiento. Este lagrangiano es invariante bajo simetr´ia global de color SU(Nc).
El funcional generador en presencia de campos externos boso´nicos (s, p, v, a) y fermi´oni-
cos (, ) es
ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDq exp - d4x(LNJL + q(v/ + a/ 5 + s + i5p)q + q + q) .
(5.14) Los s´imbolos s, p, vµ y aµ indican campos externos (en espacio de sabor) de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial, respectivamente. En funci´on de los generadores del grupo de sabor U(Nf ), estos se escriben
s
=
Nf2 -1
sa
a 2
,
···
a=0
(5.15)
La accio´n del modelo puede ser bosonizada mediante la introduccio´n de campos boso´nicos auxiliares, lo cual va a transformar la interaccio´n local de cuatro puntos en un acoplamiento
5.2 Modelos de Quarks Quirales
99
tipo Yukawa [102]. El nuevo funcional generador es
ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDqDSDP DV DA exp - d4x q(/ + V/ + A/ 5 + S + i5P)q
+
a2s 4
tr((S
-
m^ 0)2
+
P
2)
-
a2v 4
tr(Vµ2
+
A2µ)
+
q
+
q
,(5.16)
donde hemos escrito en notaci´on corta S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. En esta f´ormula (S, P, V, A) representan campos boso´nicos din´amicos internos de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial respectivamente. Los campos S(x), P(x), Vµ(x) y Aµ(x) son matrices en espacio interno (que se entiende como espacio de sabor), son la identidad en espacio de Dirac y operadores multiplicativos en el espacio x. S(x) es herm´itico y P(x), Vµ(x) y Aµ(x) son antiherm´iticos. En la secci´on 5.4 extenderemos los campos Aµ(x) y Vµ(x) para que sean matrices no triviales en espacio de color, lo que nos permitira´ acoplar el loop de Polyakov de color en el modelo. Por conveniencia en nuestro desarrollo hemos incluido la rotura expl´icita de la simetr´ia quiral (proporcional a m^ 0) en el t´ermino boso´nico local. Podemos integrar formalmente sobre fermiones, lo cual conduce a
ZNJL[s, p, v, a, , ] = DSDP DV DA Det(D)Nc exp( |D-1| )
(5.17)
exp -
d4x
a2s 4
tr((S
-
m^ 0)2
+
P 2)
-
a2v 4
tr(Vµ2
+
A2µ)
donde
D =/ + V/ + A/ 5 + S + i5P
es un operador de Dirac. Este operador se puede escribir en la forma
(5.18)
D =D/V + A/ 5 + M U 5 ,
(5.19)
donde DµV = µ + Vµ es la derivada covariante vector, M es la masa constituyente de los quarks, y U es una matriz en espacio de sabor que representa los octetes pseudoescalares
delos mesones en la representacio´n no lineal. Para tres sabores, Nf = 3, se escribe U = ei 2/f , con
=
1 2
0 + -
1 6
K-
+
-
1 2
0 + K¯ 0
1 6
K+
K0 .
-
2 6
(5.20)
f es la constante de desintegracio´n d´ebil del pio´n en el l´imite quiral. En lo que sigue consideraremos la accio´n efectiva a nivel de un loop de quarks y a nivel
´arbol para los mesones. En este caso
NJL = q[D] + m ,
(5.21)
100
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
donde
q[D] = -NcTr log(D) ,
(5.22)
m =
d4x
a2s 4
tr(S
2
+
P 2)
-
a2s 2
tr(m^ 0S)
+
a2s 4
tr(m^ 20)
-
a2v 4
tr(Vµ2
+
A2µ)
(5.23)
En adelante nos vamos a referir al t´ermino q[D] como la contribucio´n de los quarks a un loop. E´ste ser´a el t´ermino que calculemos como aplicaci´on de nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita.
La contribucio´n de los quarks a la accio´n efectiva se puede separar en una parte 5-par y otra 5-impar, correspondiente a procesos de paridad normal y anormal, respectivamente. En espacio eucl´ideo, la primera corresponde a la parte real de la accio´n efectiva, y la segunda a la parte imaginaria. Introduciremos el operador
D5[S, P, V, A] = 5D[S, -P, V, -A]5 ,
(5.24)
que en espacio eucl´ideo se corresponde con el herm´itico conjugado D. La contribucio´n de paridad normal es cuadr´aticamente divergente y puede ser regularizada de un modo invariante gauge quiral mediante el esquema de Pauli-Villars [56]
+q [D]
=
-
Nc 2
Tr
ci log(D5D + 2i ) ,
i
(5.25)
donde los reguladores de Pauli-Villars satisfacen c0 = 1, 0 = 0 y i ci = 0, i ci2i = 0, lo cual permitira´ hacer finitas las divergencias logar´itmicas y las cuadr´aticas, respectivamente.
Haciendo uso de la representacio´n de Schwinger de tiempo propio, esta contribucio´n se
escribe
+q [D]
=
Nc 2
0
d
( ) Tr e-D5D
,
(5.26)
donde
( ) =
ci e- 2i .
(5.27)
i
Las funciones de Green se pueden obtener a partir de (5.21) derivando respecto a los campos
medios meso´nicos. De particular inter´es es la funci´on a un punto. Si en (5.21) consideramos
solamente la parte real de la contribucio´n de los quarks a un loop, esto es (5.25), esta accio´n
presenta un punto estacionario invariante traslacional en (S, P ) = (, 0), (Vµ, Aµ) = (0, 0)
+NJL [S ] S(x)
S(x)=
=
a2s 2
tr(
-
m^ 0
)
-
Nc 2
Tr
(D5D)-1
(D5D) S(x)
= 0.
S(x)=
(5.28)
El punto estacionario se identifica con el valor esperado en el vac´io del campo S en la aproximaci´on de un loop de quarks. Introduciendo la accio´n efectiva regularizada (5.26) en (5.28) obtenemos la siguiente ecuaci´on para
a2s( - m^ 0) - 8Nc g() = 0 ,
(5.29)
5.2 Modelos de Quarks Quirales
101
donde
g() =
d4p (2)4
d ( ) e-(p2+2) .
0
(5.30)
En adelante nos referiremos a (5.29) como ecuaci´on del gap pues esta ecuaci´on determina
el gap de energ´ia 2 entre los estados de quarks con energ´ia positiva y negativa. juega
el papel de la masa constituyente de los quarks.
El condensado de quarks qq viene dado por qq = +NJL/m^ 0. De (5.23) se obtiene
inmediatamente
qq
=
-
a2s 2
tr(
-
m^ 0)
.
(5.31)
5.2.2. Modelo Quark Espectral
El Modelo Quark Espectral, desarrollado recientemente por E. Ruiz Arriola y W. Broniowski [101], es aplicable a f´isica hadr´onica en el rango de baja energ´ia. La novedad reside en el uso de una regularizacio´n espectral basada en la introducci´on a nivel formal de la representacio´n de Lehmann [50] del propagador del quark. Esta regularizacio´n permite resolver de una manera simple las identidades de Ward-Takahashi quiral y electromagn´etica mediante el uso de la llamada prescripci´on gauge [103]. Consideraremos el modelo a nivel de un loop fermi´onico y en el l´imite quiral en que la masa de los quarks es cero.
En esta secci´on vamos a seguir la referencia [101]. El punto de partida es el propagador del quark, que en espacio de momentos se define
S(p) = d4xe-px 0|T {q(x)q(0)}|0 .
(5.32)
Consideraremos una representacio´n espectral para el propagador
S(p) =
C
d
() /p -
,
(5.33)
donde () es la funci´on espectral y C indica un contorno de integracio´n en el plano
complejo elegido de un modo conveniente. Este propagador puede ser parametrizado en
la forma est´andar
S(p)
=
A(p)
/p
+B(p)
=
Z (p)
/p p2
+M (p) - M 2(p)
,
(5.34)
donde
A(p) =
C
d
() p2 - 2
,
B(p) =
C
d
() p2 - 2
.
La masa y factor de renormalizaci´on vienen dados por
(5.35)
M (p)
=
B(p) A(p)
,
Z(p) = (p2 - M 2(p))A(p) ,
(5.36)
102
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
respectivamente. Notar que si () = (-) tendr´iamos M(p) = 0 y no existir´ia rotura espont´anea de la simetr´ia quiral. Por tanto es de esperar que () no sea una funci´on par en general. La funci´on espectral debe ser tal que proporcione valores finitos para los observables hadr´onicos. Esto dara´ lugar a una serie de condiciones que deben cumplir los momentos y los momentos logar´itmicos de (),
n = dn() ,
C
n = d log(2/µ2)n() , C
n Z.
(5.37)
Aqu´i µ es una cierta escala. Notar que por normalizacio´n 0 = 1. Como ejemplo consideremos el condensado de quarks (por el momento trabajaremos a temperatura cero)
qq = -Nc d()
C
d4p (2)4
trDirac
/p
1 -
.
(5.38)
Tras tomar la traza en el espacio de Dirac, la integral es cuadr´aticamente divergente.
Un modo de regularizarla es haciendo uso de un cutoff tridimensional con la siguiente
sustitucio´n
d4p - 4 dp0 dp p2 ,
0
p = |p| .
(5.39)
Con esta regularizacio´n obtenemos
qq
=
-
Nc 42
d ()
C
22 + 2 log
2 42
+ 2
.
(5.40)
Puesto que el resultado debe ser finito en el l´imite , es necesario imponer las condiciones 1 = 0 y 3 = 0, lo cual conduce a qq = -Nc3/(42). El c´alculo de otros observables va a dar lugar a condiciones adicionales. En general todos los observables van a ser proporcionales a los momentos inversos y a los momentos logar´itmicos, y para que sean finitos se debe cumplir n = 0, n > 0. El modelo espectral no se ha desarrollado ma´s all´a de un loop.
La prescripci´on gauge fue usada en el pasado en la obtenci´on de soluciones de las ecuaciones de Schwinger-Dyson. Haciendo uso de ella se pueden resolver en este modelo las identidades de Ward-Takahashi. Sin embargo en situaciones en las que las l´ineas de propagadores de los quarks est´an cerradas es ma´s conveniente el formalismo de la accio´n efectiva. Consideraremos, como en el modelo de Nambu­Jona-Lasinio, acoplamientos escalar, pseudo-escalar, vector y axial. El acoplamiento quark-pio´n debe satisfacer la relacio´n de Goldberger-Treiman [18]. Con estas premisas, la accio´n efectiva de este modelo a nivel de un loop de quarks se puede escribir como
SQM = -Nc d4x d()tr log (D/V + A/ 5 + U 5) , C
(5.41)
donde DµV = µ + Vµ es la derivada covariante vector. En el modelo NJL, M jugaba el papel de la masa constituyente de los quarks. En el modelo espectral M se convierte en
5.3 Problem´atica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita
103
la variable de integracio´n de la funci´on espectral. La diferencia esencial con el modelo NJL, y en general con todos los modelos de quarks quirales, es que aqu´i no consideramos un cutoff que separe el r´egimen de baja energ´ia, donde se supone que el modelo funciona, y el r´egimen de alta energ´ia.
En el cap´itulo 7 se hara´ un estudio ma´s extenso del modelo espectral considerando un espacio-tiempo curvo, y se introducira´ el esquema de dominancia del mes´on vectorial, que constituye una realizacio´n simple del modelo y proporciona una forma expl´icita para la funci´on espectral.
5.3. Problem´atica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita
El tratamiento est´andar de los Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita presenta algunas inconsistencias. Por una parte, en el c´alculo de observables aparecen involucrados estados excitados con cualquier nu´mero de quarks, y esto ocurre incluso para temperaturas bajas. Sorprendentemente, durante mucho tiempo no ha habido demasiada preocupaci´on por parte de los autores en resolver este problema, y normalmente lo han atribuido a fallos del propio modelo, tales como falta de confinamiento.
5.3.1. Tratamiento est´andar a temperatura finita
El tratamiento est´andar consiste en pasar de las f´ormulas con T = 0 hasta otras fo´rmulas para T = 0, mediante la aplicaci´on de la regla
dk0 2
F
(k0,
k)
iT
F (iwn, k) ,
n=-
(5.42)
donde F puede representar el propagador de un quark, en espacio de momentos. n son las frecuencias de Matsubara fermi´onicas, n = 2T (n + 1/2). Si aplicamos esta regla en el condensado quiral, a temperatura finita y a un loop se tiene
qq = -iNc
(-1)ntrDiracS(x)|x0=in = 4M T trc
n=-
n
d3k (2)3
n2
+
1 k2
+
M2
.
(5.43)
Despu´es de hacer la integracio´n en momentos, y aplicar la f´ormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), queda
qq T =
qq
T =0
-
2
NcM 2
2T
(-1)n n
K1(nM
/T
)
n=1
T pequen~o
qq
T =0 -
Nc 2
(-1)n
n=1
2M T n
3/2
e-nM/T ,
(5.44)
donde se ha hecho uso del comportamiento asint´otico de la funci´on de Bessel Kn(z) para el r´egimen de temperatura pequen~a Kn(z) e-z /2z.
104
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
5.3.2. Generaci´on de estados multi-quarks
Ec. (5.44) se puede interpretar en t´erminos del propagador del quark en espacio de
coordenadas
S(x) =
d4k e-ik·x (2)4 k/ -M
=
(i
/
+M
)
M2 42i
K1( -M 2x2) -M 2x2
.
(5.45)
El comportamiento de (5.45) a temperatura pequen~a es
S(x, i) T pequen~o e-M/T ,
(5.46)
lo cual representa la supresio´n exponencial a temperatura pequen~a correspondiente al propagador de un u´nico quark. Si nos fijamos en ec. (5.44), esto significa que el condensado de quarks se puede escribir en t´erminos de factores de Boltzmann estad´isticos con masa Mn = nM. Esto constituye un problema, pues significa que el ban~o t´ermico est´a formado por quarks constituyentes libres, sin ningu´n confinamiento de color.1
El condensado de quarks a temperatura finita no es invariante gauge (en el sentido de transformaciones gauge grandes). En efecto, del ejemplo del condensado se tiene
qq T =
(-1)n q(x0)q(0) |x0=in ,
n=-
(5.48)
o sea, el condensado a temperatura finita se puede escribir como una suma coherente de condensados de quarks no locales a temperatura cero. Notar que la contribucio´n de temperatura cero corresponde al t´ermino n = 0 en la sumatoria. Bajo una transformaci´on gauge de tipo central se tiene
q¯q T
(-z)n q¯(x0)q(0)
.
n=-
x0 =in
(5.49)
Esto significa que (5.48) no es invariante gauge, y el condensado se puede descomponer en
una suma de representaciones irreducibles con una trialidad dada n, lo cual genera estados con cualquier nu´mero de quarks e-nM .
1Este ca´lculo se puede extender a cualquier observable que sea singlete de color en el l´imite de temperatura cero, y el resultado general que se obtiene es que los ca´lculos en modelos de quarks a temperatura finita en la aproximaci´on de un loop van a generar todos los estados posibles de quarks, esto es
OT = OT =0 + Oqe-M/T + Oqqe-2M/T + · · · .
(5.47)
Notar que, si bien el t´ermino Oq corresponde al estado de un quark aislado, el siguiente t´ermino Oqq tiene que ser un estado diquark qq, correspondiente a un u´nico quark que se propaga dando dos vueltas
alrededor del cilindro t´ermico. Este t´ermino no puede ser un estado mes´onico qq, puesto que a un loop
este estado viene de la l´inea de un quark que primero sube y despu´es baja en tiempo imaginario. En este caso el camino no da ninguna vuelta alrededor del cilindro t´ermico, y por tanto su contribuci´on esta´ ya incluida en el t´ermino de temperatura cero OT =0.
5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales
105
Este problema se puede evitar imponiendo a mano que el condensado sea invariante gauge. Esto se har´ia eliminando de la suma en (5.49) los t´erminos que no tienen trialidad cero, esto es
q¯q T
=
(-1)n q¯(x0)q(0)
.
singlete
n=-
x0=iNcn
(5.50)
Esta f´ormula genera como primera correcci´on un t´ermino bari´onico Nc e-NcM . El factor Nc es generado por el loop de quarks.
5.3.3. Conflicto con Teor´ia Quiral de Perturbaciones
Aparte del problema de la generacio´n de estados multi-quarks que no preservan trialidad, surge otra problema´tica cuando comparamos nuestros resultados con los de Teor´ia Quiral de Perturbaciones a temperatura finita. En el l´imite quiral, esto es para m 2T 4f, las correcciones t´ermica de orden ma´s bajo al condensado de quarks (por ejemplo, para Nf = 2), vienen dadas por
q¯q T
=
TQP
q¯q T =0
1
-
T2 8f2
-
T4 384f4
+
··
·
.
(5.51)
Puesto que f Nc, las correcciones de temperatura finita est´an suprimidas en Nc en relacio´n a la contribucio´n de temperatura cero. Este hecho contradice el resultado de
ec. (5.48), pues de ah´i se obtiene que todas las correcciones t´ermicas son del mismo orden
en un contaje en Nc. El resultado de TQP, ec. (5.51), se ha obtenido considerando loops pio´nicos, los cuales
son dominantes para T M. El problema reside en que incluso sin loops pio´nicos los
modelos de quarks quirales predicen una transici´on de fase quiral en torno a Tc 170 MeV, lo cual concuerda bien, aunque de manera injustificada, con los resultados en el ret´iculo.
5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Mode-
los de Quarks Quirales
A temperatura cero es posible preservar la invariancia gauge mediante el acoplamiento de los gluones con el modelo. Dentro del esp´iritu del modelo, estos grados de libertad deber´ian tratarse de un modo perturbativo, pues los quarks constituyentes llevan cierta informaci´on sobre efectos glu´onicos no perturbativos.
A temperatura finita la situacio´n es diferente pues, como hemos dicho ya, un tratamiento perturbativo de la componente cero del campo glu´onico romper´ia expl´icitamente la invariancia gauge. Por tanto, tiene sentido considerar aqu´i el loop de Polyakov gluo´nico y su acoplamiento con los modelos quirales. K. Fukushima [104] sugiere este acoplamiento en virtud de la analog´ia que existe entre el loop de Polyakov y el potencial qu´imico (ver
106
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
sec. 2.1). El tratamiento que vamos a considerar nosotros parte del uso del heat kernel a temperatura finita (cap´itulo 2). Nuestra aproximaci´on es similar a la de Fukushima, excepto por el hecho de que consideraremos un loop de Polyakov local (x) sujeto a fluctuaciones cua´nticas. Un tratamiento de campo medio no permitir´ia tener en cuenta estas fluctuaciones, y al final del cap´itulo veremos que ´estas pueden ser importantes para que los resultados del modelo se muestren compatibles con estudios recientes en el ret´iculo.
5.4.1. Acoplamiento m´inimo del loop de Polyakov
En los modelos de quarks quirales debemos considerar quarks con grados de libertad de sabor y de color. A partir de ahora consideraremos el operador de Dirac, ec. (5.19), como un operador no trivial en espacio de color. Lo podemos escribir de la siguiente forma:
D =D/V + A/f 5 + M U 5 ,
(5.52)
donde DµV = µ + Vµf + gVµcµ0 es la derivada covariante vector. Vµf y Afµ son matrices antiherm´iticas en espacio de sabor y la identidad en el espacio de color. Vµc es la identidad en espacio de sabor y matriz antiherm´itica en espacio de color. Los acoplamientos gauge de sabor dara´n lugar a loops de Polyakov con quiralidades right y left.2 Los acoplamientos
gauge de color dara´n lugar al loop de Polyakov con grados de libertad de color,
x0 +
c(x0, x) = T exp -g
dx0 V0c(x0, x) .
x0
(5.55)
c es una matriz en espacio de color, y la identidad en espacio de sabor. En esta tesis u´nicamente nos vamos a preocupar del loop de Polyakov de color, que denotaremos como lo venimos haciendo hasta ahora, , de modo que el loop de Polyakov de sabor lo consideraremos igual a la identidad.
Si nos fijamos en ec. (5.26), podemos hacer uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita (cap´itulo 2) para obtener el lagrangiano efectivo como un desarrollo en derivadas covariantes. El lagrangiano va a tener la forma
L(x) = tr[fn((x))On(x)] ,
n
(5.56)
2El loop de Polyakov quiral de sabor se define
x0+
f (x0, x) = T exp -
dx0 (V0f (x0, x) + 5Af0 (x0, x)) .
x0
(5.53)
f es una matriz en espacio de sabor, y la identidad en espacio de color. En t´erminos de campos right y left se escribe como f = RPR + LPL, donde
x0+
R,L(x0, x) = T exp -
dx0 (V0f (x0, x) ± Af0 (x0, x)) ,
x0
(5.54)
y
PR,L
=
1 2
(1
±
5).
Notar
que
la
simetr´ia
gauge
grande
en
espacio
de
sabor
a
temperatura
finita
precisa
del uso del loop de Polyakov quiral.
5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales
107
donde tr es la traza sobre todos los grados de libertad internos, n etiqueta todos los
operadores locales covariantes gauge On (esto es, que contienen derivadas covariantes), y fn((x)) son funciones dependientes de la temperatura y del loop de Polyakov. Estas funciones reemplazan los coeficientes num´ericos presentes en el caso de temperatura cero.
En estos c´alculos, el loop de Polyakov aparece m´inimamente acoplado a trav´es de las frecuencias de Matsubara fermi´onicas modificadas3
n = 2T (n + 1/2 + ) , = (2i)-1 log .
(5.57)
En nuestra notaci´on = ei2, donde (x) = igV0(x)/(2T ). El efecto de este cambio en
las frecuencias de Matsubara da lugar a la siguiente regla para pasar a las fo´rmulas con
T =0
F~(x; x)
(-(x))nF~(x, x0 + in; x, x0) .
(5.58)
n=-
F (x; x) es el propagador fermi´onico a temperatura finita que comienza y acaba en el mismo punto. En ec. (5.58) aparece el factor (-(x))n, en lugar del factor (-1)n que se obtiene de la regla est´andar, ec. (5.42), despu´es de usar la f´ormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y considerar la transformada de Fourier.
La interpretacio´n de ec. (5.58) se puede visualizar en fig. 5.1. En un loop de quarks a temperatura finita con un nu´mero arbitrario de campos externos y con una l´inea de Wilson no trivial, cada vez que los quarks dan una vuelta alrededor de la direccio´n temporal compatificada, estos adquieren una fase (-1) debido a la estad´istica de Fermi-Dirac, y un factor no abeliano de Aharonov-Bohm4 . La contribucio´n total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color.
5.4.2. Promedio sobre el grupo
En la secci´on 5.4.1 se ha considerado el acoplamiento m´inimo del loop de Polyakov con el modelo quark quiral, que consiste simplemente en hacer la sustitucio´n
0 0 + gV0c ,
(5.59)
en el operador de Dirac, ec. (5.19). El modelo quark quiral acoplado con el loop de Polyakov se obtiene considerando el acoplamiento m´inimo de ec. (5.59), y una integracio´n del campo glu´onico V0 de un modo que preserve invariancia gauge. Esto va a generar una funci´on de particio´n de la forma
Z = DU D e-G[]e-Q[U,] ,
(5.60)
3En nuestro tratamiento, n es el u´nico sitio donde aparece la dependencia expl´icita en los grados de libertad de color, de modo que se puede pensar en como el conjunto de sus autovalores.
4E´ sta es una fase de tipo el´ectrico, diferente a la fase magn´etica esta´ndar. No obstante, el nombre es
apropiado puesto que la fase el´ectrica fue discutida por primera vez en el art´iculo original AB.
108
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
(-) n
Figura 5.1: Diagrama t´ipico de un loop de quarks con una l´inea de Wilson no trivial. Para n vueltas alrededor de la direcci´on temporal compactificada U(1), surge un factor topolo´gico n adema´s del factor estad´istico de Fermi-Dirac (-1)n. Las l´ineas onduladas son campos externos. La contribucio´n total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color.
donde DU es la medida de Haar del grupo quiral de sabor SU(Nf )L×SU(Nf )R, y D la medida de Haar del grupo de color SU(Nc). G es la accio´n efectiva gluo´nica y Q corresponde a la accio´n efectiva de los quarks. Ec. (5.60) es una expresi´on gen´erica, va´lida tanto para el modelo NJL como para el modelo espectral, siempre y cuando se considere la correspondiente accio´n efectiva de los quarks: ec. (5.21) en el primer caso y ec. (5.41) para el segundo.
Si no se tuviera en cuenta la medida de Haar de color, y se considerara V0c = 0 y = 1, se obtendr´ia la forma original del modelo quark quiral, donde existe una relacio´n uno a uno entre el desarrollo en loops y el desarrollo en Nc grande, tanto a temperatura cero como a temperatura finita. De manera equivalente se podr´ia considerar una aproximaci´on de punto de silla y sus correcciones. En presencia del loop de Polyakov tal correspondencia no existe, de modo que consideraremos un desarrollo en loops de quarks, esto es, una aproximaci´on de punto de silla para el campo boso´nico U, y mantendremos la integracio´n en el loop de Polyakov (constante) . En el trabajo de [104] se hace uso de la aproximaci´on de punto de silla para .
La integracio´n del loop de Polyakov debe realizarse de acuerdo con la dina´mica de QCD. Esto implica un promedio sobre el loop de Polyakov local con cierto peso normalizado (; x) D. Aqu´i (; x) es la distribuci´on de probabilidad (independiente de la temperatura) de (x) en el grupo gauge. Para una funci´on general f (), se tiene5
1 Nc
trc
f
()
=
D
SU(Nc )
()
1 Nc
Nc j=1
f (eij )
=
-
d 2
^()f
(ei)
,
(5.61)
5f () se entiende como una funcio´n ordinaria f (z) evaluada en z = .
5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales
109
donde eij , j = 1, . . . , Nc son los valores propios de y
^() :=
D () 1
SU(Nc )
Nc
Nc j=1
2( - j) .
(5.62)
A temperatura suficientemente pequen~a, la distribuci´on del loop de Polyakov se en-
cuentra muy cercana a la medida de Haar de SU(Nc).6 En este caso la funci´on ^() es
simplemente
^()
=
1
-
2(-1)Nc Nc
cos
(Nc)
.
(5.63)
Introduciendo ec. (5.63) en ec. (5.61) se obtienen f´acilmente las siguientes fo´rmulas para el
promedio sobre la medida de Haar de SU(Nc) Nc ,
trc(-)n SU(Nc) = -01, ,
n=0 n = ±Nc . otro caso
(5.64)
5.4.3. Solucio´n de la problem´atica
Si aplicamos este formalismo al condensado de quarks, nuestro modelo conduce a7
qq
T
=
1
n=- Nc
trc(-)n
q(x0)q(0) |x0=in .
(5.65)
Si tenemos en cuenta ec. (5.64), observamos que en nuestro modelo el loop de Polyakov no s´olo permite eliminar los t´erminos que rompen trialidad, sino que las contribuciones t´ermicas est´an suprimidas en Nc en relacio´n al valor de temperatura cero, tal y como se espera de TQP. Esto resuelve la problema´tica que discutimos en la secci´on 5.3.
El condensado de quarks a temperatura finita, a un loop de quarks es
qq T =
qq
T =0
+
2M 2T 2Nc
K1(NcM/T )
+···
T pequen~o
qq T =0 + 4
MT 2Nc
3/2
e-NcM/T .
(5.66)
Los puntos indican efectos glu´onicos o del mar de quarks de orden superior. Notar que
debido a la supresio´n exponencial, las correcciones t´ermicas de o´rden ma´s bajo a nivel
de un loop de quarks comienzan s´olo a temperaturas cercanas a la transici´on de fase de
desconfinamiento. Hemos denominado a este efecto el enfriamiento de Polyakov [99, 100],
ya que es generado por el promedio de los loops de Polyakov sobre el grupo. Esto significa
que en la aproximaci´on quenched, no se debe de esperar ningu´n efecto t´ermico importante
sobre los observables de los quarks por debajo de la transici´on de fase, y el cambio ma´s
grande deber´ia de provenir de loops de bosones pseudoescalares a bajas temperaturas.
Esto es justo lo que se espera de TQP. Veremos ma´s adelante c´omo estas propiedades se
modifican en presencia del determinante fermi´onico.
6Esto se justificara´ en sec. 5.6.2. 7 La f´ormula (5.65) es la an´aloga a ec. (5.48), pero considerando la fase no abeliana y el promedio
sobre el grupo.
110
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita
La estructura de QCD a bajas energ´ias se puede describir muy bien en teor´ia quiral de perturbaciones. El desarrollo quiral corresponde a un desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos. Los campos pseudoescalares U son de orden O(p0), los campos vector Vµ, axial Aµ y cualquier derivada µ son de orden O(p). Los campos externos escalar S, pseudoescalar P y la matriz de masa de los quarks m0 son de orden O(p2).
Como se muestra en trabajos previos a temperatura cero [105, 106, 107, 108, 109], los modelos de quarks quirales permiten entender de un modo cuantitativo y microsc´opico la estructura del lagrangiano efectivo a bajas energ´ias que se deduce de TQP para los mesones pseudoescalares a nivel ´arbol. En concreto, proporcionan valores num´ericos para las contribuciones de orden ma´s bajo en Nc de las constantes de baja energ´ia.
En esta secci´on vamos a extender los resultados de temperatura cero a temperatura finita, y consideraremos la influencia del loop de Polyakov. Siguiendo el m´etodo desarrollado en el cap´itulo 2, y que ya aplicamos en el cap´itulo 3 para el c´alculo de la accio´n efectiva de QCD en el r´egimen de temperatura alta, se puede escribir la estructura del lagrangiano efectivo a baja energ´ia para los mesones pseudoescalares a temperatura finita a nivel a´rbol, mediante un desarrollo de tipo heat kernel para los modelos de quarks quirales a nivel de un loop. En TQP a temperatura finita se considera en general que las constantes de baja energ´ia son independientes de la temperatura. E´sta es una suposici´on bastante razonable, ya que la aplicabilidad de TQP se basa en la existencia de un gap de masa entre los bosones de Goldstone y el resto del espectro hadr´onico. Para mesones no extran~os el gap viene dado por la masa del meso´n , MV , de modo que es de esperar que la dependencia en temperatura de las constantes de baja energ´ia sea del orden de e-MV /T . En un modelo quark quiral, los mesones pseudoescalares son part´iculas compuestas de quarks constituyentes con una masa M, y los efectos t´erminos tambi´en deber´ian de influir en su estructura microsc´opica. El c´alculo que realizaremos en esta secci´on va a permitir analizar esto de una manera cuantitativa.
5.5.1. Estructura del lagrangiano
El c´alculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita en los modelos de quarks quirales se limita, desde un punta de vista t´ecnico, al c´alculo de trazas en espacio de Dirac y en espacio de sabor. En el ap´endice D se hace en detalle. Mostraremos aqu´i el resultado final.
El lagrangiano efectivo a baja energ´ia escrito en la notaci´on de Gasser-Leutwyler [27]
5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita
111
y en espacio eucl´ideo se escribe
Lq(0)
=
2Nf (4)2
trcJ-2(, M, )
,
(5.67)
Lq(2)
=
f2 4
trf
DµU DµU - (U + U )
,
(5.68)
Lq(4) = -L1(trf (DµU DµU ))2 - L2trf (DµU DU )trf (DµU DU ) -L3trf (DµU DµU D U DU ) - L3trf (D0U D0U DµU DµU )
+L4trf (DµU DµU )trf (U + U ) +L5trf (DµU DµU (U + U )) + L5trf (D0U D0U (U + U )) +L5trf (D0D0U + D0D0U ) - L6(trf (U + U ))2 - L7(trf (U - U ))2 +Ltrf (U D0D0U - U D0D0U )trf (U - U )
-L8trf (U U + U U )
-L9trf (FµRDµU DU + FµLDµU DU )
-L9trf (EiR(D0U DiU - DiU D0U ) + EiL(D0U DiU - DiU D0U )) -L9trf (D0EiRU DiU + D0EiLU DiU ) +L10trf (U FµL U F µR) +H1trf ((FµR )2 + (FµL )2) + H1trf ((EiR)2 + (EiL)2) - H2trf () .
(5.69)
trf es la traza en espacio de sabor. Las derivadas covariantes quirales son
DµU = DµLU - U DµR = µU + lµU - U rµ, FµR = [DµR, DR] = µr - rµ + [rµ, r], FµL = [DµL, DL] = µl - lµ + [lµ, l],
(5.70)
donde rµ = Vµ + Aµ, y lµ = Vµ - Aµ. . . . indica promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). La estructura de este lagrangiano resulta bastante interesante. Por una parte existen t´erminos que se pueden escribir como los del lagrangiano a temperatura cero, pero con acoplamientos efectivos dependientes de la temperatura. Adema´s de estos, existen nuevos t´erminos que rompen invariancia Lorentz. Curiosamente, en el lagrangiano aparecen menos t´erminos del segundo tipo de los que en un principio se podr´ia pensar en base a las simetr´ias conocidas. Todav´ia no entendemos del todo este hecho, que parece sugerir la existencia de alguna simetr´ia accidental. Si bien sospechamos que esta simetr´ia existe s´olo a un loop, ser´ia interesante encontrarla expl´icitamente.
5.5.2. LEC para el modelo de Nambu­Jona-Lasinio
Si bien ´esta es la estructura general que se ha encontrado para los modelos de quarks quirales, los valores de los coeficientes de baja energ´ia dependen del modelo en particular.
112
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
Mostramos aqu´i los valores de las constantes de baja energ´ia (LEC) obtenidas para el
modelo de Nambu­Jona-Lasinio. Para evitar complicaciones con el loop de Polyakov, hemos considerado el modelo NJL sin integracio´n de los campos de esp´in 1 (vector y axial).8
Lq(0)
=
2Nf (4)2
trcJ-2
,
f2
=
M2 42
trcJ0
,
f2B0
=
M 42
trcJ-1
,
L1
=
M4 24(4)2
trcJ2
,
L2 = 2L1 ,
L3
=
-8L1
+
1 2
L9
,
L3
=
-
M2 6(4)2
trcJ 1
,
L4 = 0 ,
L5
=
M 2B0
f2 4M 2
-
3L9
,
L5
=
1 2
L3
,
L5
=
1 2
L3
,
L6 = 0 ,
L7
=
1 8Nf
-
f2 2B0M
+
L9
,
L
=
-
1 4Nf
L3
,
L8
=
1 16B0
1 M
-
1 B0
f2
-
1 8
L9
,
L9
=
M2 3(4)2
trcJ1
,
L9 = -L3 ,
L9 = -L3 ,
L10
=
-
1 2
L9
,
(5.71)
H1
=
-
f2 24M
2
+
1 4
L9
,
H
1
=
-
1 6(4)2
trcJ 0
,
H2
=
-
f2 8B02
+
1 4
L9
,
donde las integrales Jl est´an definidas en ecs. (D.22)-(D.26). Los coeficientes de Gasser-
Leutwyler est´andar se pueden expresar en t´erminos de f2, B0, L1 y L9, o de manera equi-
valente, en t´erminos de las los t´erminos que rompen la
integrales trcJ-1 simetr´ia Lorentz,
, trcJ0 excepto
H, t1r,csJo1n
y trcJ2 . Notar proporcionales.
que
todos
Si el loop de Polyakov se considera igual a la unidad, las expresiones (5.71) siguen
siendo va´lidas, salvo por el hecho de que el promedio en el grupo y la traza de color deben
sustituirse por un factor Nc.
5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral
En este modelo se debe hacer un promedio sobre la masa constituyente de los quarks con una funci´on espectral () que actu´a como peso (ver sec. 5.2.2). Notar que M no s´olo aparece como argumento de las integrales Jl, sino que tambi´en aparece en forma de factores multiplicativos. Esto dara´ lugar a un nu´mero mayor de funciones independientes
8En el cap´itulo 6 se calcular´a la acci´on efectiva del modelo NJL generalizado a temperatura cero con integracio´n en estos campos.
5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita
113
en comparaci´on con el modelo NJL.
Lq(0)
=
2Nf (4)2
trcJ-2
,
f2
=
1 42
2trcJ0
,
f2B0
=
1 42
trcJ-1
,
L1
=
1 24(4)2
4trcJ2
,
L9
=
1 3(4)2
2trcJ1
,
L3
=
-
1 6(4)2
2trcJ 1
,
L5
=
1 2(4)2B0
(
trcJ0
-
3trcJ1 ) ,
L7
=
1 2(4)2Nf
-
1 2B0
trcJ0
+ 42L9
,
L8
=
1 4(4)2B0
trcJ0
-
f2 16B02
-
1 8
L9
,
H1
=
-
1 6(4)2
trcJ0
+
1 4
L9
,
H
1
=
-
1 6(4)2
trcJ 0
,
H2
=
1 2(4)2B0
1 B0
trcJ-1
-
trcJ0
-
f2 8B02
+
1 4
L9
.
(5.72)
Para simplificar la notaci´on, con . . . indicamos tanto el promedio sobre el loop de Polyakov
como el promedio espectral C d() . . . . El resto de coeficientes satisfacen las mismas relaciones geom´etricas que se obtuvieron para el modelo NJL. En ambos modelos se obtiene
la relacio´n
L7
=
-
1 Nf
f2 16B02
+ L8
.
(5.73)
Podemos calcular expl´icitamente las integrales haciendo uso del esquema de dominancia vectorial de la funci´on espectral () (ver sec. 7.4 y ref. [101]). Despu´es de calcular el promedio en el grupo SU(Nc), se obtiene
trcJ-2
trcJ-1 trcJ-1
trcJ0
=
-
Nc 2
4
-
2MV4 3x4V
48 + 24xV + 6x2V + x3V
e-xV /2 ,
=
Nc2
-
2MV2 3x2V
12 + 6xV + x2V
e-xV /2 ,
= 3 Nc - 2e-xS/2 ,
= -Nc(0 + 0) + 2E - 4 log(4) + 4 log(xV ) - 2(5/2)
-
x5V 1800
1F2
{
5 2
},
{
72 ,
7 2
},
xV 4
2
-
x2V 12
2F3
{1,
1},
{-
1 2
,
2,
2},
xV 4
2
,
114
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
trcJ0 2trcJ0 2trcJ1 3trcJ1 4trcJ2
trcJ 0 2trcJ 1
=
-Nc1
-
23 MS2
(2
+
xS )e-xS/2
,
=
-Nc2
-
MV2 6
(2
+
xV
)e-xV
/2
,
=
Nc0
-
1 6
12 + 6xV + x2V
e-xV /2 ,
=
-
3x2S 2MS2
e-xS
/2
,
=
Nc0
-
1 24
48 + 24xV + 6x2V + x3V
e-xV /2 ,
=
-
1 3
12 + 6xV + x2V
e-xV /2 ,
=
-
x2V 12
(2
+
xV
)e-xV
/2
,
(5.74)
con la notaci´on
xV := NcMV ,
xS := NcMS ,
(5.75)
donde MV es la masa del meso´n vectorial (masa del ), y MS es la masa del escalar. pFq[a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z] son las funciones hipergeom´etricas generalizadas [52].
5.6. Correcciones de orden superior
En las secciones 5.4 y 5.5 hemos considerado los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks. Esto corresponde a la aproximaci´on quenched dentro del modelo. Asimismo se ha hecho uso de que a temperaturas suficientemente pequen~as basta con considerar el promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). En esta secci´on discutiremos algunas consecuencias importantes que se obtienen al ir ma´s all´a de estas aproximaciones.
5.6.1. M´as all´a de un loop de quarks
El ir ma´s all´a de la aproximaci´on de un loop de quarks puede conducir a c´alculos bastante tediosos (ver refs. [110, 111] para c´alculos expl´icitos del modelo NJL est´andar sin loop de Polyakov). Aqu´i no nos vamos a preocupar de hacer un c´alculo expl´icito, no obstante se pueden deducir algunas consecuencias importantes basadas en ciertas reglas de contaje en Nc a temperatura finita.
Consideremos, por ejemplo, el diagrama a tres loops de la figura 5.2, que contribuye al condensado quiral en el modelo NJL en t´erminos de los propagadores de los quarks. La contribucio´n de este diagrama se escribe9
Fig.(2a) =
S(w(1)) S(w(1)) S(w(2)) S(w(3)) S(w(1) + w(3) - w(2)) .
w (1) ,w (2) ,w (3)
9Por simplicidad, escribimos u´nicamente las frecuencias de Matsubara.
5.6 Correcciones de orden superior
115
01 001101
01 001101
0011 00011101 01
a
0011
01 0101
01 001101
b
0011 001101
c
Figura 5.2: Diagrama t´ipico ma´s all´a de un loop para el operador del condensado de quarks qq. Las l´ineas de los quarks con momentos independientes pueden dar n vueltas alrededor del tiempo eucl´ideo compactificado, dando lugar al factor de Fermi-Polyakov (-)n. La conservaci´on de trialidad solamente permite que las l´ineas internas de quark-antiquark den una u´nica vuelta y en sentidos opuestos, lo cual genera una supresio´n exponencial e-2M para el diagrama a). Una supresio´n similar ocurre para el diagrama b) si las vueltas del quark-antiquark ocurren en cada una de las burbujas. El diagrama c) se corresponde con una suma de todos los estados intermedios con los mismos nu´meros cua´nticos, y puede interpretarse como la l´inea de un meso´n.
Haciendo uso de la f´ormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y yendo a espacio eucl´ideo se tiene
Fig.(2a)
=
n1 +n2 +n3
n1 ,n2 ,n3
d1d3 S(1) S(-1 - 3 + n1 + n3)
-
S(-3 + n2 + n3) S(3) S(3 - n3)
e . n1+n2+n3 -M (|n1|+|n2|+|n3|)
(5.76)
n1 ,n2 ,n3
La conservaci´on de trialidad para este diagrama implica, n1 + n2 + n3 = kNc, y el valor m´inimo del exponente se consigue con n1 = n2 = n3 = 0, que es la contribucio´n de temperatura cero. La primera correcci´on t´ermica a temperatura pequen~a viene dada por n1 = 0, n2 = -n3 = 1, de modo que el diagrama a 3 loops de fig.(2a) se encuentra suprimido en un factor e-2M , en comparaci´on con la supresio´n de un loop de quarks e-NcM . Una supresio´n t´ermica similar se obtiene si introducimos la suma est´andar sobre burbujas, que puede acoplarse a los nu´meros cua´nticos de los mesones transformando el argumento del exponente en 2M Mqq. Obviamente, esta contribucio´n resulta ma´s importante para el pio´n ma´s ligero. En realidad, el diagrama quark-mes´on de la fig.(2b) es similar al diagrama bosonizado de dos loops que se muestra en fig.(2c). Para este diagrama bosonizado los argumentos previos resultan ma´s simples, ya que el nu´mero de loops es igual al nu´mero de propagadores de quarks. El operador de polarizacio´n del pio´n, proporcional al propagador del pio´n, se puede tomar a temperatura cero, ya que la supresio´n ma´s importante viene de las l´ineas de quarks que no est´an acopladas a los nu´meros cua´nticos del pio´n.
116
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
Para un diagrama bosonizado con L loops de quarks, tenemos que considerar L generalizaciones de las correcciones a nivel de un loop de quarks, ec. (5.58). El an´alisis es ma´s simple en espacio de coordenadas. En lugar del nu´mero total de propagadores de quarks, consideramos la suma de Poisson de L propagadores. Esto se puede hacer mediante la f´ormula
dx4F (x4 + n + m) =
dx4F (x4 + n) .
n,m=- 0
n=- -
(5.77)
Esto significa que es posible eliminar tantas sumas de Poisson como integrales en coor-
denadas aparecen en las expresiones. Haciendo uso de L = I - (V - 1) y 4V = E + 2I tenemos10
L i=0
d4ziG2L
L i=1
(-)ni
S
(xi
,
ti
+
ini)
.
n1,...,nL
(5.78)
En realidad, esta regla no depende de la forma precisa de la interaccio´n de los quarks. A bajas temperaturas, cada l´inea de quark con un ´indice de Poisson independiente genera una supresio´n dada por una masa constituyente de quark. Por tanto, la contribucio´n a un observable se puede descomponer esquem´aticamente del siguiente modo
OT =
O n1...nL n1+...nL e-M (|n1|+···+|nL|) .
L n1,...,nL
La conservaci´on de trialidad de la medida z a este nivel conduce a
(5.79)
n1 + · · · + nL = kNc
(5.80)
con k = 0, 1, 2, . . . . El t´ermino dominante en el desarrollo de ec. (5.79) es aquel para el que
n1 = . . . = nL = 0 con un nu´mero arbitrario de loops de quarks L, y se corresponde con la contribucio´n de temperatura cero. Adema´s, se ve que para L = 1 u´nicamente se tienen
contribuciones de n1 = kNc, lo cual da lugar a correcciones e-NcM, que permiten reproducir los resultados de las secciones 5.4 y 5.5. A partir de la ec. (5.79) podemos ver c´omo se
organiza el desarrollo t´ermico para temperaturas bajas. Las contribuciones t´ermicas ma´s
importantes vienen de minimizar
L i=1
|ni|,
sujeto
al
requerimiento
de
conservaci´on
de
tria-
lidad, ec. (5.80). A temperatura finita y para Nc 3 se tiene que la primera correcci´on
t´ermica viene dada por L = 2 y n1 = -n2 = 1 con n3 = . . . = nL = 0, lo cual da el factor
e-2M y se corresponde con un estado meso´nico qq. Esta contribucio´n est´a suprimida por
un factor 1/Nc en relacio´n con la contribucio´n de temperatura cero. Para Nc = 3 el siguien-
te t´ermino en el desarrollo corresponder´ia a L 3 y n1 = n2 = n3 = 1, lo cual da lugar a una supresio´n t´ermica e-NcM . Para Nc 5 se tendr´ia L 4 con n1 = -n2 = n3 = n4 = 1
10L es el nu´mero de loops de quarks, V el nu´mero de v´ertices, I el nu´mero de l´ineas de quarks y E el nu´mero de patas externas.
5.6 Correcciones de orden superior
117
y n5 = . . . = nL = 0. Si consideramos el caso Nc = 3 se tiene11
Zq¯q
1 Nc
e-2M/T
,
Zqqq e-NcM/T ,
Zqqqq¯q
1 Nc
e-(2+Nc
)M/T
,
...
Z(q¯q)NM (qqq)NB
1 NcNM
e-(2NM +NBNc)M/T
.
(5.81) (5.82) (5.83) (5.84) (5.85)
Obviamente, para Nc = 3 la contribucio´n del loop meso´nico es ma´s dominante que la del loop bari´onico. Los argumentos previos se han hecho sin tener en cuenta el efecto de confinamiento de los quarks, de modo que en realidad deber´iamos considerar la masa f´isica del meso´n m, y en este caso se tendr´ia
OT = OT =0 +
m
Om
1 Nc
e-m/T
+
B
OB e-MB/T + · · · .
(5.86)
As´i es como funciona la dualidad quark-hadro´n en los modelos de quarks quirales a tempera-
tura finita. Como vemos, las contribuciones de los loops pio´nicos son las ma´s importantes,
incluso si se tiene en cuenta que est´an suprimidas en 1/Nc. La siguiente contribucio´n al observable total a temperatura finita viene dada por los estados meso´nicos sucesivos. En su
conjunto, esto es lo que se espera como consecuencia de la inclusio´n del loop de Polyakov
en los modelos de quarks quirales, teniendo en cuenta la proyeccio´n sobre el sector singlete
de color invariante gauge.
En
definitiva,
a
temperatura
finita
se
tiene
una
supresio´n
est´andar
1 Nc
e-2M/T
prove-
niente de loops meso´nicos y una supresio´n e-NcM/T de loops bari´onicos. Obviamente, las
contribuciones ma´s importantes para Nc grande o T pequen~o son las debidas a loops meso´nicos.
La discusio´n anterior est´a centrada en observables que contienen quarks. Para el valor
esperado del loop de Polyakov, por ejemplo, se tiene
O e n1...nL 1+n1+···+nL -M (|n1|+···+|nL|)
L n1,...,nL
(5.87)
y
1 + n1 + · · · + nL = kNc .
(5.88)
La contribucio´n t´ermica de orden ma´s bajo (no existe contribucio´n de temperatura cero) es n1 = -1, n2 = . . . = nL = 0, que se corresponde con un u´nico loop de antiquark que
11En el caso en que no se considerara la existencia del loop de Polyakov, se tendr´ia ZqNq (q¯q)NM
1 NcNM
e-(2NM +Nq)M/T
,
de
modo
que
las
contribuciones
de
orden
m´as
bajo
corresponder´ian
a
estados
de
un
quark.
118
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
apantalla la carga del loop de Polyakov test. Este t´ermino escala como e-M/T . Al contrario que para observables con quarks como el condensado quiral, este comportamiento no se ve afectado por loops pio´nicos. En sec. 5.6.4 obtendremos expresiones expl´icitas para estos observables en el modelo NJL.
5.6.2. Correcciones glu´onicas
Hasta ahora hemos considerado simplemente una integracio´n sobre la medida del grupo
gauge. Desafortunadamente, no conocemos ningu´n argumento general por el cual tenga
que existir una supresio´n exponencial de los grados de libertad gluo´nicos a temperaturas
bajas, y por tanto dejando la medida de Haar como u´nico vestigio de los gluones. No
obstante, los resultados basados en desarrollos con acoplamientos grandes [112, 113] y en
la aproximaci´on de gluones masivos a un loop [114, 115] proporcionan esta supresio´n, y de
hecho los resultados recientes en el ret´iculo confirman una sorprendente universalidad en
todas las representaciones de los grupos, y favorece el mecanismo dominante del promedio
simple sobre el grupo [94].
De manera ma´s espec´ifica, de los datos del ret´iculo [94] y de la medida del grupo se
encuentra que
|trc |2 = 1 ,
(5.89)
en la fase de confinamiento, o de manera equivalente trc = 0, para la representacio´n adjunta. Notar que en la aproximaci´on de campo medio [104] |trc |2 se anula, debido a la ausencia de fluctuaciones.
El potencial glu´onico a orden ma´s bajo que se deduce del desarrollo con acoplamientos
grandes viene dado por [112, 113]
G[] = Vglue[] · a3/T = -2(d - 1) e-a/T trc 2 ,
(5.90)
para Nc = 3 con la tensi´on de la cuerda = (425 MeV)2. A nivel de campo medio Vglue[] da lugar a una transici´on de fase de primer orden con el acoplamiento cr´itico 2(d-1)e-a/TD =
0,5153. Se puede fijar la temperatura de transici´on a su valor emp´irico TD = 270 MeV mediante la eleccio´n a-1 = 272 MeV [104]. La masa correspondiente es mG = a = 664 MeV.
A temperaturas pequen~as se puede desarrollar la exponencial en potencias de la accio´n
glu´onica
e-G[]
=
1
-
G[]
+
1 2
G[]2
+
·
·
·
,
(5.91)
lo que genera una supresio´n exponencial del tipo e-mG/T . Esto da lugar a la siguiente
f´ormula de masas para el argumento de Boltzmann en la exponencial
M = nNcMq + mMq¯q + lmG ,
(5.92)
que muestra claramente que las contribuciones t´ermicas de orden ma´s bajo a temperaturas bajas vienen dadas nuevamente por los loops t´ermicos pio´nicos, lo cual corresponde a tomar n = l = 0 y m = 1, pues NcMq mG Mqq = m. Notar que num´ericamente, incluso la contribucio´n de dos loops pio´nicos resultar´ia ma´s importante que las correcciones gluo´nicas.
5.6 Correcciones de orden superior
119
En una serie de trabajos recientes [114, 115] se ha obtenido la ecuaci´on de estado para un gas de gluones masivos con una masa dependiente de temperatura en presencia del loop de Polyakov, lo cual permite reproducir los datos del ret´iculo de manera bastante precisa por encima de la transici´on de fase. La densidad de energ´ia de vac´io se escribe
Vglue[] = T
d3k (2)3
trc
ln
1 - e-k
,
(5.93)
donde k = k2 + m2G, con mG la masa del glu´on. La dependencia en temperatura que se considera en estos trabajos es mG(T ) = T g(T ) 2, que en la transici´on de fase (T = TD) toma el valor mG(TD) = 1,2 - 1,3 TD. Si se toma un valor constante para la masa del gluo´n por debajo de la transici´on de fase, a bajas temperaturas se obtiene
Vglue[] = -T
1 n
|trc n|2 - 1
n=1
d3k (2)3
e-nk
,
(5.94)
donde se ha hecho uso de la identidad
trc n = |trc n|2 - 1 .
(5.95)
Haciendo uso de la representacio´n asint´otica de las funciones de Bessel, se obtiene una supresio´n similar a la que se encuentra en el l´imite de acoplamientos grandes.
5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov
Vamos a considerar aqu´i un tratamiento preliminar de las correcciones locales en el loop de Polyakov. Hasta ahora se ha considerado un campo constante en el espacio. De manera general, el loop de Polyakov depende tanto del tiempo eucl´ideo como de las coordenadas espaciales. En el gauge de Polyakov la dependencia en tiempo eucl´ideo es simple, pero au´n queda una dependencia en coordenadas que es desconocida. En tal caso, las reglas anteriores deben ser modificadas, ya que las inserciones del loop de Polyakov llevara´n un momento, y el resultado depende de su ordenamiento. Si seguimos considerando, como hasta ahora, que el loop de Polyakov es la u´nica fuente de color en el problema, nos vamos a encontrar con funciones de correlacio´n de loops de Polyakov. En la fase de confinamiento es de esperar una descomposici´on basada en la existencia de propiedades de agrupamiento para cada par de variables. Por ejemplo, se tiene
trc(x1, ) trc-1(x2, ) e-|x1-x2| .
(5.96)
Por tanto, valores muy diferentes en la coordenada espacial est´an suprimidos, de modo que tiene sentido considerar una aproximaci´on local dentro de la longitud de correlacio´n, y desarrollar las funciones de correlacio´n en gradientes dentro de esta regio´n. En una primera aproximaci´on, esto se corresponde con la sustitucio´n del volumen cuatridimensional por un dominio de correlacio´n, mediante la regla
V
=
1 T
d3x
-
1 T
d3x e-r/T
=
8T 2 3
.
(5.97)
120
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
En el lagrangiano quiral a bajas energ´ias, que se obtiene desarrollando la accio´n efectiva en derivadas de los campos meso´nicos, aparecen tambi´en gradientes del loop de Polyakov. Este hecho se comenta en ref. [100]. En realidad, puesto que estamos acoplando el loop de Polyakov de manera efectiva como un potencial qu´imico de color dependiente de x, nuestra aproximaci´on es similar a una generalizacio´n no abeliana de la aproximaci´on de densidad local en teor´ia de muchos cuerpos de f´isica nuclear y materia condensada, dentro del esp´iritu de la teor´ia del funcional de la densidad.
5.6.4. Resultados m´as all´a de la aproximacio´n quenched
En esta secci´on nos proponemos ir ma´s all´a de la aproximaci´on quenched en el c´alculo de algunos observables concretos, y para ello deberemos tener en cuenta la contribucio´n del determinante fermi´onico. El modelo quark quiral completo con acoplamiento del loop de Polyakov viene dado por ec. (5.60). La contribucio´n de los quarks a la funci´on de particio´n del modelo NJL se escribe como
ZQ[U, ] := e-Q[U,] = Det(D) exp
-
a2s 4
trf
d4x (M - m^0)2 ,
(5.98)
que se obtiene a partir de ecs. (5.22)-(5.23) donde se ha aplicado la ecuaci´on del gap, ec. (5.28). En la secci´on 5.5 se calcul´o del determinante fermi´onico en presencia de un loop de Polyakov (lentamente variable), como un desarrollo en momentos externos de los campos
Det(D) = e- d4x Lq(x) = exp - d4x (Lq(0)(x) + Lq(2)(x) + Lq(4)(x) + · · · ) . (5.99)
De acuerdo con la discusio´n de la secci´on 5.6.3, la aproximaci´on de loop de Polyakov lentamente variable tiene sentido en una regio´n donde existen correlaciones fuertes entre loops de Polyakov. Para nuestros prop´ositos, bastara´ con considerar aqu´i la contribucio´n de vac´io Lq(0). En el modelo de NJL esta contribucio´n se escribe
Lq(0)(x)
=
-
NcNf (4)2
ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2)
i
+
Nf 2
(M T )2
(-1)n
K2(nM/T n2
)
trcn(x) + trc-n(x)
,
n=1
= L(q0)(T = 0) + L(q0)((x), T ) ,
(5.100)
que se obtiene a partir de ec. (5.67) y ec. (D.25). El lagrangiano se ha escrito separando dos contribuciones: temperatura cero y temperatura finita. Esta u´ltima contiene el loop de Polyakov. Notar que en este punto au´n no hemos considerado la integracio´n en el grupo gauge SU(Nc), de modo que no escribimos los corchetes . . . como hicimos en la secci´on 5.5. En ec. (5.60) la integracio´n en DU la hemos realizado a nivel cl´asico, mediante el uso de las
5.6 Correcciones de orden superior
121
ecuaciones cl´asicas de movimiento del campo U, ec. (D.30), (para detalles, ver ap´endice D). La funci´on de particio´n se puede escribir
Z=
D e-G[] exp -
d4x
a2s 4
trf
(M
- m^ 0)2
+ L(q0)(T
=
0) + L(q0)((x), T )
.
El valor esperado del loop de Polyakov se escribe
L
=
1 Nc
trc
=
1 NcZ
D e-G[]e-Q[] trc(x) ,
(5.101)
donde no indicamos dependencia de Q en U , pues nos limitamos a considerar Lq(0) que no tiene dependencia en los campos meso´nicos. El c´alculo de ec. (5.101) puede hacerse
anal´iticamente en el l´imite de temperatura pequen~a. En este r´egimen pueden despreciarse las correcciones glu´onicas e-G[] (ver secci´on 5.6.2), de modo que en el promedio sobre el
grupo solamente contribuira´ la medida de Haar D. Cuando T es suficientemente pequen~o, se puede considerar el desarrollo del t´ermino L(q0)(, T ) en la exponencial de ec. (5.101). A primer orden en este desarrollo aparecen las siguientes funciones de correlacio´n entre loops de Polyakov12
d4x D trc(x) trc(y) = 0 ,
(5.105)
d4x
D trc(x) trc-1(y) =
d4x
e-|x-y|/T
=
8T 2 3
.
(5.106)
La primera expresi´on es cero por conservaci´on de trialidad. La segunda expresi´on constituye la regla que mencionamos en ec. (5.97), que permite sustituir el cuadrivolumen infinito
d4x, por un volumen efectivo que especifica un dominio de correlacio´n 8T 2/3. Con todo esto se llega finalmente al siguiente resultado en el modelo NJL
L(T )
T pequen~o
4Nf Nc3
2M 3
T
9
e-M/T
.
(5.107)
Notar que la trialidad no se preserva, debido a la presencia de quarks dina´micos, y la escala relevante es la masa constituyente de los quarks. Gracias a esta supresio´n exponencial,
12Si se considera un loop de Polyakov independiente de x, se tiene la siguiente f´ormula de integracio´n
sobre el grupo SU(Nc)
D
ij kl
=
1 Nc
ik
jl
,
(5.102)
que conduce trivialmente a
D trc trc-1 = 1 .
(5.103)
Al considerar correcciones locales, se tiene
D trc(x) trc-1(y) = e-|x-y|/T .
(5.104)
122
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
est´a justificado usar de manera efectiva el loop de Polyakov como un para´metro de orden para la simetr´ia del centro incluso en el caso unquenched. En realidad, nuestro an´alisis sugiere que un c´alculo del loop de Polyakov en QCD completo podr´ia constituir un m´etodo para extraer una masa constituyente de los quarks invariante gauge. En cualquier caso, ser´ia deseable disponer de datos en el ret´iculo del loop de Polyakov para temperaturas bajas, T 50 MeV, con objeto de hacer un an´alisis preciso.
Para el condensado de quarks, hacemos uso de
qq
T
=
-f2B0
=
-
M 42
trcJ-1
,
(5.108)
que obtuvimos en ec. (5.71). Al tener en cuenta la contribucio´n del determinante fermi´onico,
se tiene
qq
T
=
-
M 42
1 Z
D e-G[]e-Q[] trcJ-1(M, ) .
(5.109)
La expresi´on de J-1 viene dada en ec. (D.24). A partir de aqu´i, el procedimiento para hallar el comportamiento de qq T a baja temperatura es id´entico al caso del valor esperado del loop de Polyakov. En el r´egimen de T pequen~o, nuevamente e-G[] se puede despreciar, y podemos desarrollar el t´ermino L(q0)(, T ) que aparece en e-Q[]. Teniendo en cuenta las
integrales (5.105)-(5.106), se llega a
qq T T pequen~o
qq
T =0 +
8Nf 2
M3T 3
6
e-2M/T
.
(5.110)
En el modelo quark espectral se obtiene el resultado de ec. (5.110), con la sustitucio´n 2M MV (la masa del meso´n ), y un factor multiplicativo ligeramente diferente.
Como vemos, en el c´alculo unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es un poco menos efectivo que en el c´alculo quenched. Este mismo an´alisis se puede hacer para otros observables, por ejemplo las constantes de baja energ´ia del lagrangiano efectivo quiral tienen un comportamiento LTi - LTi =0 T pequen~o e-MV /T [100].
Finalmente, ser´ia necesario incluir ma´s loops de quarks, o equivalentemente excitaciones meso´nicas. Esto dar´ia exactamente el resultado de TQP con piones sin masa dominando en la regio´n de temperaturas pequen~as. Por tanto, vemos que cuando el loop de Polyakov se acopla de manera conveniente a los modelos de quarks quirales, se obtiene una explicaci´on natural de los resultados encontrados hace tiempo en modelos puramente hadro´nicos.
5.7. Implicaciones sobre la transici´on de fase de QCD
En la secci´on 5.6 se hizo un estudio anal´itico del comportamiento a baja temperatura del loop de Polyakov y del condensado quiral en QCD unquenched. Resultar´ia interesante estudiar el comportamiento que predice nuestro modelo para estos observables en la regio´n de la transici´on de fase, y para ello deberemos integrar num´ericamente las ecuaciones (5.101) y (5.109). A diferencia de nuestro tratamiento, en ref. [104] se hace un estudio en la aproximaci´on de campo medio, en el cual la probabilidad de encontrar un loop de
5.7 Implicaciones sobre la transici´on de fase de QCD
123
Polyakov dado es una funci´on delta. La integral en el grupo permite tener en cuenta una dispersio´n de esa probabilidad debido a efectos cua´nticos.
Para Nc = 3 el loop de Polyakov contiene dos variables independientes. En el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, se puede parametrizar como una matriz diagonal del siguiente modo
= diag(ei1 , ei2, e-i(1+2)) .
(5.111)
Con esta parametrizaci´on, podemos calcular la funci´on de partici´on como
Z=
D e-G[]e-Q[] =
-
d1 2
d2 2
G(1,
2)Q(1,
2)
,
(5.112)
donde
D e-G[]
=
d1 2
d2 2
G(1, 2) ,
e-Q[] = Q(1, 2) .
(5.113)
En Q[] no indicamos dependencia en los campos meso´nicos U, pues al igual que en sec. 5.6.4 nos limitaremos a considerar la contribucio´n de vac´io L(q0) del lagrangiano quiral,
ec. (5.100). Para una funci´on general f (), se tiene
trcf ()
=
1 Z
-
d1 2
d2 2
G(1, 2)Q(1, 2)(f (ei1)
+
f (ei2 )
+
f (e-i(1+2)))
=
1 Z
-
d1 2
^(1)f (ei1) ,
(5.114)
donde
^(1) = 3
-
d2 2
G(1,
2)Q(1,
2)
.
(5.115)
Por invariancia gauge, tanto la medida de Haar D, como las correcciones gluo´nicas e-G[],
las contribuciones fermi´onicas e-Q[], y trcf () son invariantes frente al intercambio de los autovalores del loop de Polyakov. Esto permite expresar trcf () como una integral en un u´nico para´metro, tal y como se expresa en ec. (5.114), con la funci´on peso adecuada,
ec. (5.115).
En nuestro tratamiento consideramos la integracio´n sobre el grupo SU(3) y una minimi-
zacio´n con respecto a M, lo cual se corresponde con ec. (5.28). Esto u´ltimo permite calcular
la dependencia en temperatura de la masa constituyente, y de ah´i obtener el condensado
quiral
qq
T
=
-
a2s 2
trf
(M
(T
)
- m^ 0) .
(5.116)
Puesto que la constante de acoplamiento de cuatro quarks as parametriza informaci´on sobre los gluones, deber´ia de tener una dependencia en . No obstante, as incorpora informaci´on sobre todos los grados de libertad glu´onicos, de modo que no deber´ia de verse muy afectado por la contribucio´n de , donde viene dado u´nicamente por la componente temporal de los gluones.
124
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
Parametros de orden
1 L
<qq>T/<qq>0 0.8
0.6
0.4 0.2
0 0
Estandar Gluodinamica Campo medio Nuestro modelo
50 100 150 200 250 300 350 400 450 T (MeV)
Figura 5.3: Dependencia en temperatura del condensado quiral q¯q en unidades relativas, y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc. El resultado est´andar de qq T se corresponde con el modelo NJL sin acoplamiento con el loop de Polyakov. Se compara tambi´en por una parte con la aproximaci´on de campo medio de ref. [104], donde el loop de Polyakov es cl´asico y est´a acoplado con los quarks, y por otra con nuestro modelo basado en la integracio´n sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se muestra asimismo el comportamiento de L en gluodina´mica dentro del esquema de desarrollo con acoplamientos grandes, ec. (5.90). Se ha considerado Nf = 2.
En fig. 5.3 se muestra el comportamiento del condensado quiral qq T y el valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc en diferentes tratamientos del modelo NJL. Se compara la predicci´on est´andar del modelo NJL, con el c´alculo en aproximaci´on de campo medio de ref. [104], que corresponde a minimizar la energ´ia de vac´io como funci´on de la masa constituyente M y del valor esperado del loop de Polyakov L. Comparamos asimismo con el resultado que obtenemos al considerar una integracio´n en el loop de Polyakov con correcciones locales. En la figura se muestra adema´s el comportamiento de L que se obtiene en gluodin´amica, con el modelo de ec. (5.90) en su tratamiento de campo medio, lo cual conduce a una transici´on de fase de primer orden en TD = 270 MeV. En nuestros c´alculos estamos considerando el modelo quark quiral con dos sabores Nf = 2, y para la masa desnuda de los quarks m^ 0 = diag(mu, md) consideramos el l´imite en que hay simetr´ia de isosp´in, mu = md mq. En los tres modelos hemos tomado mq = 5,5 MeV, y a2s = 76,2 · 10-3 GeV2. La integracio´n en momentos est´a regulada por un cut-off PV = 828 MeV con regularizacio´n de Pauli-Villars. Este valor es el que se necesita para reproducir el valor experimental de la constante de desintegracio´n d´ebil del pio´n f = 93,2 MeV, con la masa constituyente M = 300 MeV. Para la tensi´on de la cuerda consideramos su valor a temperatura cero = (425 MeV)2. Este para´metro aparece cuando se calculan funciones de correlacio´n de loops de Polyakov (por ejemplo, ec. (5.106)).
El efecto neto de la integracio´n sobre el grupo de color SU(3) consiste en un desplazamiento de la temperatura de transici´on quiral a valores mayores, respecto a las tempera-
5.7 Implicaciones sobre la transici´on de fase de QCD
125
L/T [GeV-1] <qq>/T [GeV2]
14
L/T
1
12
<qq>/T
10
0.8
8
0.6
6 0.4
4
0.2 2
0
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
T(MeV)
Figura 5.4: Dependencia en temperatura de q¯q /T y L/T , obtenida con el modelo NJL basado en la integracio´n sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2.
turas que se obtienen en los tratamientos est´andar y de campo medio. Por tanto, el modelo basado en la integracio´n sobre el grupo de color proporciona un enfriamiento efectivo, no s´olo en el r´egimen de temperaturas pequen~as (ver secciones 5.4.3 y 5.6.4), sino tambi´en en el r´egimen de la transici´on de fase. Como se ve en fig. 5.3, el acoplamiento del modelo quark quiral con gluodin´amica modifica la transici´on de fase de primer orden de gluodina´mica en una transici´on de fase de segundo orden. Un estudio de la susceptibilidad de los para´metros de orden quiral qq y de desconfinamiento L, permite ver que con nuestro modelo ambas transiciones de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simult´aneamente: T = TD = 256(1) MeV; (ver fig. 5.4).
En fig. 5.5 se compara el comportamiento del loop de Polyakov obtenido en nuestro modelo, con c´alculos en el ret´iculo para QCD unquenched (Nf = 2) en la zona de transici´on de fase. Estos datos se han calculado en un ret´iculo de taman~o 163 ×4, con mq/T = 0,4 [22]. Se muestra asimismo el comportamiento del condensado quiral. Hemos comprobado que una dependencia en temperatura de la tensi´on de la cuerda permite compatibilizar los resultados de nuestro modelo con los obtenidos en el ret´iculo. Esto conduce a un rango de incertidumbre en la tensi´on de la cuerda, = 0,181 ± 0,085 GeV2, que da cuenta en cierto sentido de la incertidumbre existente en el modelo. En fig. 5.5 la banda de error asociada a esta incertidumbre conduce a una temperatura de transici´on de T = TD = 255 ± 50 MeV. Si se ignoraran en el modelo las correcciones glu´onicas dadas por ec. (5.90), no existir´ia un efecto apreciable por debajo de la transici´on de fase, si bien ´esta aumentar´ia en 30 MeV, un valor que se encuentra dentro de nuestra estimacio´n del error.
Con objeto de comprender el mecanismo de rotura de la simetr´ia del centro en nuestro modelo, podemos estudiar c´omo evoluciona la distribuci´on ^(), ec. (5.115), a trav´es de la transici´on de fase, y observar expl´icitamente los efectos generados por las contribuciones fermi´onicas e-Q[]. En fig. 5.6 se muestra esta evoluci´on. Por debajo de la transici´on de
126
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
Parametros de orden
1
L
<qq>T/<qq>0 0.8
0.6
0.4
N=4, ref. [22] Nuestro modelo 0.2
0
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450
T (MeV)
Figura 5.5: Dependencia en temperatura del condensado quiral q¯q y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc, obtenido con el modelo NJL basado en la integracio´n sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2. Las bandas de error corresponden a una incertidumbre en la tensio´n de la cuerda = 0,181 ± 0,085 GeV2. Se compara con los datos del ret´iculo para QCD con 2 sabores, obtenidos en [22].
fase la funci´on de distribuci´on ^() presenta tres m´inimos en valores de equidistantes, tal y como exige la simetr´ia del centro Z(3). En este caso el determinante fermi´onico no produce una modificacio´n importante. Cuando la transici´on de fase tiene lugar, aparece una concentraci´on interesante de ´angulos en la regio´n cercana al origen = 0, debida a los quarks, lo que genera una fuerte rotura de la simetr´ia del centro. A medida que la temperatura aumenta, la distribuci´on del loop de Polyakov tiende a ser ma´s picuda en torno a = 0, y este pico domina la integral en . Notar que la distribucio´n ^G() en gluodin´amica no presenta rotura expl´icita de la simetr´ia del centro para ningu´n valor de T , de modo que el u´nico mecanismo posible en este caso es la rotura espont´anea.
Nuestro modelo permite calcular el valor esperado del loop de Polyakov en otras representaciones. En fig. 5.7 se muestra el comportamiento del valor esperado del loop de Polyakov en representacio´n adjunta, trc /(Nc2 - 1). Para ello hemos hecho uso de la identidad (5.95) con n = 1. De acuerdo con los datos del ret´iculo obtenidos con el modelo matricial de ref. [94], el valor esperado se anula por debajo de la transici´on de fase. Notar que este hecho no se cumple en el tratamiento de campo medio, para el cual se obtiene el valor -1/(Nc2 - 1) (de ec. (5.95)). El considerar la integracio´n sobre el grupo conduce a unos resultados acordes con lo que se espera de los estudios en el ret´iculo. En fig. 5.7 se muestra tambi´en el comportamiento del loop de Polyakov en representacio´n fundamental, y la fluctuacio´n total del loop de Polyakov, que definimos como
1 Nc
trc trc-1
-
trc
2
=
1 Nc
1 + trc - trc 2 .
(5.117)
5.8 Conclusiones
127
4.5
4
GG+Q
3.5
3
2.5
T = 200 MeV
2
1.5
1
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4.5
4
GG+Q
3.5
3
2.5
T = 255 MeV
2
1.5
1
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4.5
4
GG+Q
3.5
3
2.5
T = 300 MeV
2
1.5
1
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 5.6: Dependencia en temperatura de la distribuci´on del loop de Polyakov ^(), ec. (5.115). ^G corresponde a la distribuci´on en gluodin´amica (sin contribucio´n de quarks) procedente de la medida de Haar junto con el esquema del desarrollo en acoplamientos gran-
des a orden ma´s bajo, ec. (5.90), y ^G+Q incluye contribuciones de quarks de acuerdo con el modelo NJL. Se toma Nf = 2. Se consideran tres temperaturas: T = 200, 255, 300 MeV; por debajo de la transici´on de fase, en la transici´on y por encima, respectivamente.
da cuenta de manera conjunta de las fluctuaciones en la parte real e imaginaria de . Esta fluctuacio´n tiende a cero a temperaturas grandes, lo cual es compatible con el hecho de que la distribuci´on ^() se hace muy picuda en torno a = 0 en el r´egimen de T grande.
5.8. Conclusiones
En este cap´itulo hemos estudiado c´omo la introduccio´n del loop de Polyakov permite resolver los problemas que presentan los modelos de quarks quirales a temperatura finita en su tratamiento est´andar. Con objeto de preservar la invariancia gauge expl´icita a temperatura finita es necesario mantener de un modo no perturbativo ciertos grados de libertad glu´onicos. En la pra´ctica, y en gauges particulares tales como el gauge de Polyakov, esto se corresponde con tratar la componente cero del campo del glu´on como un potencial qu´imico dependiente del color en el propagador del quark. Esto da lugar a una fuente de color que va a generar todos los estados posibles de quarks, los cuales pueden no ser singletes de color (incluso a bajas temperaturas, en la fase de confinamiento de color). Para evitar este problema, es necesario proyectar sobre los estados f´isicos que son singletes de color, lo cual se consigue de un modo elegante haciendo la integral funcional sobre el campo V0c de un modo que se preserve la invariancia gauge.
De este an´alisis en la aproximaci´on quenched y a nivel de un loop de quarks, encontramos que existe una supresio´n de los efectos t´ermicos en los observables hadro´nicos por debajo de la transici´on de fase, que surge de la conservaci´on de la trialidad en una fase en que la simetr´ia quiral est´a espont´aneamente rota. A este efecto lo hemos denominado
128
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
1
Lfund
Ladj
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450
T (MeV)
Figura 5.7: Dependencia en temperatura del valor esperado del loop de Polyakov en representacio´n fundamental trc /Nc y en representacio´n adjunta trc /(Nc2-1), y fluctuacio´n total del loop de Polyakov . Resultados obtenidos en el modelo NJL con integracio´n en el grupo de color SU(3). Se considera Nf = 2.
enfriamiento de Polyakov de las excitaciones de los quarks. En particular, la transici´on de fase quiral no puede ocurrir antes que la transici´on de desconfinamiento del color. En esta situacio´n, el mayor cambio a bajas temperaturas en los observables tales como el condensado de quarks debe de provenir de los loops de pseudoescalares, y quiza´s a temperaturas intermedias de resonancias meso´nicas de orden mayor. Esto es precisamente lo que se espera de TPQ o de las aproximaciones unitarias con inclusi´on efectiva de estos loops en las resonancias.
Nuestros argumentos muestran tambi´en c´omo, debido al enfriamiento de Polyakov, los modelos de quarks quirales se muestran de acuerdo con las suposiciones teo´ricas de TQP a temperatura finita. Para ver c´omo se materializa esto en la pra´ctica hemos calculado el lagrangiano quiral a temperatura finita a nivel de un loop de quarks y a nivel a´rbol para los mesones. El lagrangiano resultante se puede descomponer en una parte con la misma estructura que a temperatura cero, pero con constantes de baja energ´ia dependientes de la temperatura, y otra parte con nuevos t´erminos que rompen la invariancia Lorentz, que surgen como consecuencia de que el ban~o t´ermico est´a en reposo. En cualquier caso, los efectos t´ermicos en las constantes de baja energ´ia a este nivel de aproximaci´on muestran el enfriamiento de Polyakov. En otras palabras, por debajo de la transici´on de fase cualquier dependencia en temperatura sobre las constantes de baja energ´ia a nivel a´rbol puede ser despreciada. E´sta es precisamente la suposici´on inicial de TQP.
En el cap´itulo hemos analizado algunas consecuencias que se obtienen al considerar el tratamiento de los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov, ma´s all´a de un loop de quarks. Como consecuencia de la integracio´n en el grupo gauge de color SU(Nc), encontramos que para observables que contienen quarks las contribuciones ma´s importantes a temperaturas pequen~as proceden de loops meso´nicos, con una supresio´n
5.8 Conclusiones
129
est´andar
a
bajas
temperaturas
de
1 Nc
e-2M/T
.
Los
loops
bari´onicos
producen
contribuciones
ma´s pequen~as e-NcM/T . Un an´alisis de las correcciones glu´onicas permite ver que ´estas
tienden a contribuir de manera apreciable u´nicamente por encima de la transici´on de fase.
Hemos estudiado c´omo se modifican los resultados al considerar la introduccio´n del
determinante de quarks en el c´alculo de observables como el condensado quiral y el va-
lor esperado del loop de Polyakov, y se ha hecho asimismo un tratamiento preliminar de
las correcciones locales en el loop de Polyakov. Este determinante conduce a una rotura expl´icita de la simetr´ia del centro, que es ma´s acentuada a temperaturas grandes. E´ste es el
mecanismo por el cual el modelo quark acoplado con loop de Polyakov genera la transici´on
de fase de desconfinamiento. Un an´alisis de los resultados muestra que ambas transiciones
de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simult´aneamente. En el tratamiento
unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es menos efectivo que en el caso
quenched. El c´alculo del valor esperado del loop de Polyakov en representacio´n adjunta es
un ejemplo de que el tratamiento del modelo quark con integracio´n en el grupo gauge de
color es ma´s adecuado que el tratamiento de campo medio de ref. [104].
130
Cap´itulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
Cap´itulo 6
Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
El tensor energ´ia-impulso (TEI) juega un papel muy importante en teor´ia cua´ntica de campos, pues surge como una corriente de Noether del grupo de Poincar´e. Es conservado en todas las teor´ias locales relativistas, incluso cuando no existen otras cargas conservadas. En QCD, el TEI da cuenta de la interaccio´n de los quarks y gluones con los gravitones.
Desde un punto de vista fenomenol´ogico, las colisiones profundamente inela´sticas proporcionan informaci´on relevante sobre la fracci´on de momento que llevan los quarks y los gluones dentro de un hadr´on a una escala dada [116]. Las determinaciones basadas en el intercambio de un gravito´n est´an fuera de lugar debido a que la constante de gravitacio´n resulta pequen~´isima en comparaci´on con los procesos d´ebiles y fuertes. El factor de forma gravitacional del pio´n se puede usar para determinar la anchura de desintegracio´n de un boso´n de Higgs ligero en dos piones [117]. En el pasado hubo algunos intentos de calcular el TEI en el ret´iculo [118], pero no se han encontrado resultados de inter´es pra´ctico para los elementos de matriz entre estados hadr´onicos con momentos diferentes.
En este cap´itulo vamos a estudiar la estructura del TEI en varios modelos de quarks quirales.1 En concreto trataremos el Modelo Quark Constituyente, el Modelo de Nambu­ Jona-Lasinio (NJL) [29] y el Modelo de Georgi-Manohar (GM) [120]. El cap´itulo est´a basado en la referencia [109].
6.1. Tensor Energ´ia-Impulso
El tensor energ´ia-impulso en cualquier teor´ia se puede calcular an~adiendo una m´etrica externa gµ(x) que se acople con los campos de materia de un modo completamente covariante. El TEI se obtiene de calcular la derivada funcional de la accio´n con respecto a
1Consideraremos gravedad de Einstein. Esto quiere decir que haremos uso de la conexi´on de Riemann, definida sin torsi´on y preservando la m´etrica. Una extensio´n a gravedad con torsi´on es posible [119].
131
132 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
gµ(x), en torno a la m´etrica plana µ,2
1 2
µ
(x)
=
S gµ (x)
gµ =µ
donde
S = d4x-g L(x) .
(6.1) (6.2)
A nivel cua´ntico el comportamiento a alta energ´ia de µ se puede mejorar si se reali-
zan ciertas correcciones transversales convenientemente elegidas. Al hacer esto se pone de manifiesto una anomal´ia de la traza que relaciona µµ con la divergencia de la corriente de dilataci´on, lo cual sen~ala la rotura an´omala de la invariancia de escala. Un valor esperado diferente de cero para 0|µµ|0 est´a relacionado con la existencia de un condensado gluo´nico, que genera identidades de Ward de escala [121].
En el desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos que se considera
en Teor´ia Quiral de Perturbaciones, los campos pseudoescalares U y la m´etrica gµ son orden O(p0). La estructura ma´s general de µ hasta correcciones de orden cuatro, es [122]
µ = µ(0) + µ(2) + µ(4) + · · ·
(6.3)
con
µ(0) = -µ L(0),
µ(2)
=
f2 2
DµU DU
- µ L(2),
µ(4) = -µ L(4) + 2L4 DµU DU U + U
+ L5 DµU DU + DU DµU U + U
- 2L11 µ2 - µ DU DU
- 2L13 µ2 - µ U + U
- L12 µ2 + µ - µ - µ
DUDU ,
(6.4) (6.5)
donde A = tr A indica la traza en espacio de sabor. El desarrollo quiral del lagrangiano presenta una estructura del tipo [122]
L = L(0) + L(2,g) + L(2,R) + L(4,g) + L(4,R) + · · · ,
(6.6)
donde el super´indice g indica contribuciones m´etricas (acoplamiento m´inimo con gravedad), y R indica contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann (o sus contracciones). Las contribuciones m´etricas se pueden obtener directamente del c´alculo del lagrangiano quiral efectivo en espatio-tiempo plano. Sin embargo, los t´erminos con L11-L13 son contribuciones genuinas de curvatura, pues no se pueden obtener del caso plano. Estos coeficientes de baja energ´ia surgen a nivel hadr´onico debido a efectos cua´nticos.
2Usaremos el convenio = diag(1, -1, -1, -1).
6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad
133
6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad
El acoplamiento de fermiones con gravedad es bien conocido [123], pero no en el contexto de modelos de quarks quirales. En esta secci´on haremos un estudio de este acoplamiento, de modo que no se introduzcan nuevos campos aparte de los del caso plano y la m´etrica. Usaremos el formalismo de t´etradas para espacio-tiempo curvo.3
6.2.1. Formalismo de t´etradas
Dado el tensor m´etrico gµ(x), introducimos una base local de vectores ortogonales
(t´etrada)
gµ(x) = eµA(x)eB(x)AB .
(6.7)
Las t´etradas satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad
µ = ABeµAeB = eµAeA ,
BA = gµ eAµ eB = eAµ eµB.
(6.8)
Bajo transformaciones generales de coordenadas xµ xµ(x) y de Lorentz xA ABxB, las t´etradas se transforman respectivamente como
eAµ
x xµ
eA
,
eAµ AB(x)eBµ .
(6.9)
Las t´etradas transforman tensores de coordenadas en tensores de Lorentz (que se transforman de manera covariante bajo transformaciones de Lorentz locales), por ejemplo
T AB = eAµ eB T µ .
(6.10)
Los tensores de Lorentz son invariantes bajo transformaciones de coordenadas xµ xµ. Para un tensor general, por ejemplo TA, los ´indices griegos se transforman de manera covariante bajo transformaciones de coordenadas mientras que los latinos lo hacen bajo
transformaciones de Lorentz, de modo que
TA
xµ x
x x
BA
(x)TµB
.
La derivada covariante se define como
(6.11)
dµTA = µTA - µTA + µTA + ABµTB ,
(6.12)
donde la conexio´n de Riemann viene dada por los s´imbolos de Christoffel
µ
=
1 2
g
{gµ
+
µg
-
gµ} ,
3Para convenios, ver ref. [124]
(6.13)
134 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
que son sim´etricos en los ´indices inferiores, µ = µ (no tiene torsio´n). La derivada covariante dµ se define con la conexio´n adecuada actuando sobre cada ´indice. Se tiene
dµeA = µeA - µeA + ABµeB = 0 .
(6.14)
Adema´s, la condicio´n dµgµ = 0, implica en particular
dµAB = ABµ + BAµ = 0,
(6.15)
lo cual impone la restricci´on de que la conexio´n de esp´in sea antisim´etrica ABµ = -BAµ. E´sta viene dada por
ABµ = eA µeB - µeB .
(6.16)
La derivada covariante dµ actu´a de manera diferente dependiendo del esp´in de los campos correspondientes. Para un campo de esp´in-0 U, esp´in-1/2 , esp´in-1 Aµ y esp´in-3/2 µ, las propiedades de transformaci´on son las siguientes
U(x) U(x),
(x) S((x))(x),
Aµ(x)
x xµ
A
(x),
µ(x)
x xµ
S
((x))
(x).
(6.17) (6.18) (6.19)
En el caso de transformaciones de Lorentz infinitesimales AB = BA + AB con AB = -BA,
se
tiene
S()
=
1
-
i 4
AB
AB
donde
AB
=
i 2
[A,
B
].
Para
un
campo
escalar
de
esp´in-0
se
tiene la definicio´n est´andar
dµU = µU .
(6.20)
Para un vector (esp´in-1), se tiene
A;µ := dµA = µA - µA , que satisface adema´s la propiedad4
(6.21)
[dµ, d] A = Rµ A .
(6.24)
4El tensor de curvatura de Riemann Rµ se define
- Rµ = µ - µ + µ - µ ,
(6.22)
y sus contracciones permiten definir el tensor de Ricci Rµ, y el de curvatura escalar R
Rµ = Rµ , R = gµ Rµ .
(6.23)
Notar el signo opuesto de nuestra definici´on para el tensor de Riemann en comparacio´n con ref. [122]. Aqu´i seguimos ref. [124].
6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad
135
En el caso de fermiones de Dirac (esp´in-1/2) la derivada covariante se define como
dµ = µ(x) - iµ(x) ,
(6.25)
donde µ es la conexio´n de Cartan de esp´in,
µ
=
1 4
AB
ABµ
.
(6.26)
Las matrices de Dirac A se encuentran en una representacio´n fija independiente de x, y satisfacen las siguientes reglas de anticonmutacio´n
AB + BA = 2AB.
(6.27)
Las matrices se pueden elegir y satisfacen
µ(x) = AeAµ (x)
(6.28)
µ(x) (x) + (x)µ(x) = 2gµ(x).
(6.29)
La derivada covariante de una matriz de Dirac (independiente de x) es
dµA = µA - i [µ, A] + ABµB = 0.
(6.30)
Teniedo en cuenta ec. (6.14) y (6.30) se obtiene la siguiente identidad para las matrices de Dirac dependientes de x
dµ(x) = 0 ,
(6.31)
lo cual quiere decir que para el operador de Dirac libre, el orden de colocacio´n es irrelevante d/ = µ(x)dµ = dµµ(x). Para un tensor de esp´in-3/2
;µ := dµ = µ - µ - iµ.
(6.32)
Si aplicamos las definiciones anteriores a dµ se obtienen las siguientes fo´rmulas, que ser´an de utilidad
[dµ, d]
=
i 4
Rµ
,
dµdµ
=
1-g
(µ - iµ)
-g
gµ
(
-
i )
,
(6.33) (6.34)
donde = eAeBAB es una matriz antisim´etrica dependiente de x. Los campos gauge pueden ser incluidos mediante la regla est´andar de sustitucio´n m´ini-
ma, lo cual da lugar a la derivada covariante de un fermi´on
µ = (dµ - iVµ) .
(6.35)
136 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
Con esta notaci´on, el operador de Dirac completo iD en presencia de campos externos de tipo vector, axial, escalar, pseudoescalar y gravitacionales se escribe5
iD = id/ - M U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) ,
(6.37)
donde la barra indica
V/ = µ(x)Vµ(x).
(6.38)
M es la masa constituyente de los quarks y hemos considerado la notacio´n U5 = U5. La derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas, de Lorentz, y quirales, actu´a sobre los campos pseudoescalares (esp´in-0), espinores de Dirac (esp´in-1/2) y espinores de Rarita-Schwinger (esp´in-3/2) de acuerdo con las f´ormulas siguientes
µU = DµU = µU - i[vµ, U ] - i{aµ, U },
µ = Dµ = µ - i(µ + vµ + 5aµ), µ = µ - i(µ + vµ + 5aµ) - µ ,
(6.39)
y se corresponden con sustituir la derivada parcial por la derivada covariante µ dµ,
dentro de la derivada covariante quiral Dµ. La notaci´on Dµ significa la operacio´n [Dµ, ], preservando la quiralidad del objeto (ver ec. (5.70)). Notar que con esta definicio´n, ni
el objeto DµD(= µ) ni DµDU son covariantes coordenados, ya que la segunda derivada no incluye la conexio´n de Riemann µ.
6.2.2. Operador de segundo orden
Cuando no existen fuentes gravitatorias, la contribucio´n de paridad normal a la accio´n efectiva se obtiene a partir del operador de segundo orden
D5D = D/ L2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PR + D/ R2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PL ,
(6.40)
donde D5 se define como en ec. (5.24),
D5[s, p, v, a, U ] = 5D[s, -p, v, -a, U ]5 .
(6.41)
D5 corresponde a rotar D a espacio eucl´ideo, tomar su herm´itico conjugado y volver a rotar
a
espacio
de
Minkowski.
En
la
expresi´on
(6.40),
PR,L
=
1 2
(1
±
5
),
las
derivadas
covariantes
5 La matriz pseudoescalar de Dirac en el caso curvo se define
5(x)
=
4!1-g µ µ(x) (x)(x)(x)
=
1 4!
ABC
D
AB
C
D
=
5.
(6.36)
6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad
137
quirales son
Dµ = µ - i(vµ + 5aµ) = DµRPR + DµLPL , DµR = µ - i(vµ + aµ) , DµL = µ - i(vµ - aµ) ,
(6.42)
y el t´ermino de masa
M = M U 5 + (s + i5p) + m^ 0 .
(6.43)
Los campos gravitatorios se acoplan mediante covariantizacio´n del operador de Dirac, esto
es con la sustitucio´n µ dµ = µ -µ· ·-iµ en ec. (6.42). Para fijar la notacio´n, definimos en ec. (6.39) la actuaci´on de la derivada covariante quiral sobre un espinor de Dirac
Dµ = µ - i(µ + vµ + 5aµ) .
(6.44)
Teniendo en cuenta que, puesto que un espinor es un escalar en coordenadas, se tiene
Dµ = µ ,
(6.45)
donde µ = dµ - i(vµ + 5aµ). Para el campo escalar en coordenadas / se puede aplicar el mismo razonamiento, lo cual conduce a
Dµ/ = µ/ .
(6.46)
Esto significa que podemos considerar D/ L,R = / L,R siempre y cuando actu´e sobre campos espinoriales del siguiente modo
D5D = / 2L + iM/ L - i/ RM + MM PR + / 2R + iM/ L - i/ RM + MM PL .
(6.47)
Si incluimos los campos gauge, se obtienen dos teor´ias tipo vector, una para campos left
VµL y otra para campos right VµR. Si suprimimos moment´aneamente las etiquetas left y right, se tiene
D/ 2 = / 2 =
µµ
-
1 2
µ
Fµ
+
1 4
R
,
(6.48)
donde hemos hecho uso de la identidad
[µ, ] = [Dµ, D]
=
[Dµ,
D ]
+
i 4
Rµ
.
(6.49)
En la segunda igualdad de ec. (6.49) se ha hecho uso de ec. (6.33). El laplaciano invariante coordenado y Lorentz para un espinor de Dirac viene dado por
µµ = 1-g Dµ
-gg
µ
D
,
(6.50)
138 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
donde se ha aplicado ec. (6.34). Con la notaci´on quiral de campos right y left, el operador de segundo orden se escribe
D5D
=
1-g
Dµ
-gg
µ
D
+ V,
(6.51)
con
V = VRPR + VLPL
VR
=
-
1 2
µ
FµR
+
1 4
R
-
iµµM
+
MM,
VL
=
-
1 2
µ
FµL
+
1 4
R
-
iµµM
+
MM
.
(6.52)
6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de
Gravedad
En esta secci´on aprovecharemos los resultados obtenidos en sec. 6.2 y estudiaremos el acoplamiento con gravedad de dos modelos quirales concretos, que tienen en comu´n la incorporacio´n de la rotura din´amica de la simetr´ia quiral a nivel de un loop: el modelo de Nambu­Jona-Lasinio (NJL) y el modelo de Georgi-Manohar.
En estos modelos, los quarks tienen una masa constituyente M 300 MeV. La principal diferencia entre ellos tiene que ver con la presencia o no de campos escalares dina´micos qq, respectivamente. Adema´s, mientras que el modelo NJL genera de manera dina´mica la rotura espont´anea de la simetr´ia quiral, el modelo GM comienza de por s´i en una fase de rotura de la simetr´ia quiral.
6.3.1. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio
El modelo de Nambu­Jona-Lasinio se introdujo en la secci´on 5.2.1. La accio´n del modelo en espacio-tiempo curvo de Minkowski con tensor m´etrico gµ(x) se escribe
SNJL =
d4
x -g
LNJL
,
(6.53)
donde g = det(gµ) y el lagrangiano viene dado por
LNJL
=
q(i/+
/
-m^ 0)q
+
1 2a2s
Nf2-1
((qaq)2
a=0
+
(qai5q)2)
-
1 2a2v
Nf2 -1
((qaµq)2
a=0
+
(qaµ5q)2)
.
(6.54)
6.3 Modelos de Quarks Quirales en presencia de
Gravedad
139
La derivada µ - iµ es covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y bajo transformaciones de Lorentz, e incluye la conexio´n de esp´in
µ(x)
=
i 8
[(x), ;µ(x)]
,
(6.55)
donde la derivada covariante ;µ = dµ se define de la manera usual, ec. (6.21). Haciendo uso del procedimiento est´andar de bosonizaci´on [102], como se vio en sec. 5.2.1, se introducen campos boso´nicos din´amicos internos auxiliares (S, P, V, A), de modo que despu´es de integrar formalmente los quarks se obtiene el funcional generador
ZNJL[g; s, p, v, a] = DSDP DV DA eiNJL[g;S,P ,V ,A] ,
(6.56)
con S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. La accio´n efectiva es
NJL[g; S, P , V , A] = q[D] + m[g; S, P, V, A] ,
(6.57)
donde las contribuciones de los quarks a un loop y de los mesones a nivel a´rbol se escriben respectivamente
q[D] = -iNcTr log(iD) ,
m[g; S, P, V, A] =
d4x-g
-
a2s 4
tr(S2
+
P
2)
+
a2v 4
tr(Vµ2
+
A2µ)
.
(6.58) (6.59)
El operador de Dirac viene dado por
iD = i/+ / -m^ 0 + V/ + A/ 5 - S - i5P .
(6.60)
Para que la integral funcional en los campos boso´nicos est´e bien definida en espacio de
Minkowski, es necesario usar la prescripci´on a2s a2s - i, a2v a2v - i. La contribucio´n
5-par de los quarks a la accio´n efectiva puede ser regularizada mediante el esquema de
Pauli-Villars
+q [D]
=
-i
Nc 2
Tr
ci log(D5D + 2i + i) .
(6.61)
Para ma´s detalles, ver sec. 5.2.1.
6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar
En presencia de gravedad, el lagrangiano del modelo de Georgi-Manohar [120] se escribe
LGM = q¯
i/
+
/
-
MU5
-
m^ 0
+
1 2
(1
-
gA)U 5i/U 5
q =: q¯iD q ,
(6.62)
donde gA es el acoplamiento axial de los quarks, que consideraremos diferente de uno, tal y como se sugiere en [120]. La accio´n efectiva de este modelo es
GM = -iNcTr log(iD) ,
(6.63)
140 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
y por comparaci´on directa con ec. (6.57) se puede ver que se corresponde con un modelo similar al NJL, sin t´ermino de masa m y con un operador de Dirac como ec. (6.60) con una eleccio´n espec´ifica de los campos din´amicos de esp´in 1
Vµ
=
1 4
(1
-
gA)
U µU - µU U
,
Aµ
=
1 4
(1
-
gA)
U µU + µU U
.
(6.64) (6.65)
En ec. (6.63) implementaremos la misma regularizacio´n de Pauli-Villars que en el modelo NJL.
6.4. C´alculo de la accio´n efectiva
En un desarrollo quiral de la accio´n, la m´etrica dependiente del espacio-tiempo es de orden cero y la derivada µ de orden uno. Esto implica en particular que Rµ, Rµ, y R son de orden 2. A nivel de un loop de quarks el desarrollo quiral se corresponde con un desarrollo en derivadas que debe de ser invariante bajo transformaciones gauge, de coordenadas y de Lorentz. Este desarrollo a baja energ´ia se puede obtener haciendo uso de la representacio´n de tiempo propio del logaritmo
i
ciTr log
D5D + 2i
= -Tr
d e-iD5D( ) , 0
(6.66)
donde ( ) = i cie-2i . El operador que est´a dentro del logaritmo es de tipo KleinGordon en espacio-tiempo curvo, y presenta cierta estructura espinorial, como se ve en
ec. (6.51). La forma de este operador es la adecuada para hacer un desarrollo del heat
kernel en espacio-tiempo curvo. Para el elemento de matriz diagonal se tiene
x|e-i D5 D|x
=
e-i M2 x|e-i (D5D-M2)|x
=
i (4i
)2
e-i
M
2
an(x) (i )n .(6.67)
n=0
Para el c´alculo hasta O(p4) es necesario llegar hasta a4 en el desarrollo del heat kernel. Las contribuciones pueden separarse entre aquellas que son de espacio-tiempo plano, y las correspondientes a curvatura generadas por efectos cua´nticos. Por el momento nos centraremos en el modelo NJL. Posteriormente particularizaremos las fo´rmulas para el modelo GM. Se obtiene lo siguiente [108]
a0 = 1,
a1
=
M2
-
V
+
1 6
R,
a2
=
1 180
Rµ
Rµ
-
1 180
Rµ
Rµ
+
1 12
F
µ
F
µ
+
1 30
2
R
-
1 6
2
V
+
1 2
M2
-
V
+
1 6
R
2
,
6.4 C´alculo de la accio´n efectiva
141
a3
=
1 6
M2
-
V
+
1 6
R
3
-
1 12
µV
µV
+
O(p6),
a4
=
1 24
V - M 2 4 + O(p6) .
La notaci´on que estamos utilizando es Fµ = i Dµ, D , 2V = µµV, donde
(6.68)
Dµ = µ - i(Vµ + 5Aµ) , µ = dµ - i(Vµ + 5Aµ) ,
(6.69)
y V viene dado por la misma expresi´on (6.52), con la adici´on de los campos boso´nicos
internos (S, P, V, A). Las integrales que aparecen en la accio´n son del tipo
I2l := M 2l
d ( )(i )le-iM2 . 0
(6.70)
Los valores particulares que necesitamos en nuestro desarrollo son
M 4I-4
=
-
1 2
ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2) ,
i
(6.71)
M 2I-2 =
ci(2i + M 2) log(2i + M 2) ,
i
(6.72)
I0 = - ci log(2i + M 2) ,
i
I2n = (n) ci
i
M2 2i + M 2
n
,
Re(n) > 0 .
(6.73) (6.74)
Despu´es del c´alculo de las trazas de Dirac, el orden O(p2) del lagrangiano efectivo en
el modelo NJL viene dado por
L(q2) =
Nc (4)2
M 2I0 µU µU
+ 2M 3I-2 mU + U m
+
M 6
2
I-2
R
,
mientras que para el orden O(p4) se tiene
L(q4)
=
Nc (4)2
-
1 6
I0
(F
R µ
)2
+
(F
L µ
)2
+ I0
7 720
Rµ
Rµ
-
1 144
R2
+
1 90
Rµ
Rµ
-
i 2
I2
F
R µ
µ
U
U
+
F
L µ
µ
U
U
+
1 12
I4
(µU U )2
-
1 6
I4
(µU µU )2
+
1 6
I2
µµU U
+ 2M 2I-2 mm - M 2I0 (mU + U m)2
- M I2 µU µU (mU + U m)
+ M I0 µU µm + µmµU
-
M 6
I0
R
Um
+ mU
-
1 12
I2R
µU µU
.
(6.75)
142 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
En estas f´ormulas
indica traza en espacio de sabor. La derivada covariante gauge y
covariante Lorentz, y los tensores de fuerza que contienen los campos externos e internos
(bosonizados) son
µU = µU - iVµLU + iU VµR,
F
r µ
=
µV
r
-
V
r µ
-
i[V
rµ,
V
r
],
(6.76)
con r = L, R y la combinaci´on aditiva de esp´in 0
m = (S + iP - MU) + 1 , 2B0
= 2B0(s + ip) .
(6.77)
La constante de reescalamiento B0 se elige de modo que L(2) quede en la forma est´andar de ec. (6.92). Notar que ec. (6.75) no est´a au´n lista para poder ser comparada con el resultado de [27, 122]. Para ello antes debemos eliminar todos los grados de libertad diferentes a los piones en la capa de masas. Procederemos en tres pasos: primero integraremos los grados de libertad vector y axial, despu´es eliminaremos los campos escalares y finalmente haremos uso de las ecuaciones cl´asicas de movimiento para los pseudoescalares. En el modelo de Georgi-Manohar u´nicamente ser´a necesario considerar el u´ltimo paso.
6.5. Ecuaciones de movimiento
6.5.1. Eliminaci´on de los acoplamientos vector y axial
En el modelo NJL, para eliminar los campos vector Vµ y axial Aµ en la aproximaci´on de campo medio es necesario minimizar el lagrangiano con respecto a esos campos. Al orden que estamos considerando el desarrollo quiral, ser´a suficiente con tener en cuenta aquellos t´erminos del lagrangiano que contienen mesones vectoriales con dos ´indices de Lorentz, esto es, el t´ermino de masa y el orden dos que surge del determinante de los quarks
L(A2,)V
=
Nc (4)2
M
2 I0
µU µU
+
a2v 4
VµV µ + AµAµ
.
Al minimizar, las ecuaciones de movimiento que se obtienen son similares a la eleccio´n concreta de los campos vector y axial en el modelo de Georgi-Manohar, ecs. (6.64)-(6.65),
V
R µ
=
vµR
+
i 2
(1
-
gA)U µU
,
V
L µ
=
vµL
+
i 2
(1
-
gA)U µU
,
(6.78)
con gA = 1 - 2f2/a2v. Aplicando estas ecuaciones de movimiento se obtienen fa´cilmente las siguientes relaciones
F
R µ
=
1 2
(1
+
gA)FµR
+
1 2
(1
-
gA)U FµL U
-
i 4
(1
-
gA2
)
µU U - U µU
,
(6.79)
6.5 Ecuaciones de movimiento
143
F
L µ
=
1 2
(1
-
gA)U FµR U
+
1 2
(1
+
gA)FµL
-
i 4
(1
-
gA2 )
µU U - U µU
,
µU = gAµU ,
2U = gA2U + igA(1 - gA)U µU µU .
(6.80) (6.81) (6.82)
6.5.2. Eliminaci´on de escalares
En el modelo NJL, la eliminaci´on de los campos escalares se hace de manera similar a
la de los campos vector y axial. Consideramos la rotaci´on quiral
S + iP = U U ,
(6.83)
donde = , y usando que = M + , donde es una fluctuacio´n alrededor del valor del vac´io, se tiene
m
=
U U
+
1 2B0
.
(6.84)
El t´ermino de masa se escribe
Lm
=
-
a2s 4
M 2 + 2M + 2
.
(6.85)
Haciendo uso de la ecuaci´on del gap (5.29), los t´erminos lineales en que no contienen campos externos se anulan. Como consecuencia, la parte del lagrangiano que contiene al campo escalar es
L(x)
=
-
Nc (4)2
4M 2I02
+
1 3
M
I0
R
+
M I0 U U
U 2U + 2U U
+
M2 B0
(2I0
-
I-2) U
U
(U
+
U
)
+
M B0
I2 U
U
µU
µ
U
.
(6.86)
Minimizando respecto de , la ecuaci´on cl´asica de movimiento que se obtiene es
U U
=
-
1 24M
R
+
1 4M
1
-
I2 I0
µU µU
-
1 4B0
1
-
I-2 2I0
(U + U ) .
(6.87)
S´olo queda sustituir esta ecuaci´on dentro del lagrangiano L para obtener la contribucio´n del lagrangiano efectivo proveniente de la integracio´n de los campos escalares.
144 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
6.5.3. Ecuaciones de movimiento cl´asicas para pseudoescalares
Las ecuaciones de movimiento relevantes para el campo no linear U se obtienen minimizando L(2). Surgen una serie de relaciones que son va´lidas incluso en presencia de
curvatura
2U 2U =
µU µU
2
-
1 4
U - U 2
+
1 12
U - U 2
(6.88)
y
2U + 2U
= 2 - 1 U + U 2 - 2
+
1 6
U
+ U
2.
U + U µU µU (6.89)
En el caso del grupo U(3) de sabor, se tiene que Det U = ei0/f , que no es necesariamente igual a la identidad, y los dos u´ltimos t´erminos U ± U 2 en ecs. (6.88) y (6.89) desaparecera´n.6
6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue
En el desarrollo quiral del lagrangiano efectivo en la forma de Gasser-Leutwyler-Donoghue de ec. (6.6), las contribuciones m´etricas son
L(2,g)
=
f2 4
µU µU + (U + U )
,
(6.92)
y
L(4,g) = L1 µU µU 2 + L2 µU U 2 + L3 µU µU 2 + L4 µU µU U + U + L5 µU µU (U + U ) + L6 U + U 2 + L7 U - U 2 + L8 (U )2 + (U )2 - iL9 FµL µU U + FµR µU U + L10 FµL U F µ RU + H1 (FµR )2 + (FµL )2 + H2 .
(6.93)
6Existe otra identidad integral que nos va a resultar muy u´til
d4
x -g
µ U µ U
=
d4
x -g
2U 2U + i FµR µU U + FµL µU U
- FµL U F µ RU
+
1 2
(FµR )2 + (FµL )2
+ Rµ µU U
.
(6.90)
En el u´ltimo t´ermino aparece el tensor de Ricci Rµ . Para llevar las f´ormulas a la forma de Gasser-Leutwyler usamos la siguiente identidad, v´alida en SU(3)
(µU U )2
=
-2 (µU µU )2
+
µU U
2
+
1 2
µU µU
2.
(6.91)
6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue
145
Las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral se pueden escribir en la forma propuesta en ref. [122], y vienen dadas por
L(2,R) = -H0R ,
(6.94)
y
L(4,R) = -L11R µU µU - L12Rµ µU U - L13R U + U + H3R2 + H4Rµ Rµ + H5Rµ Rµ .
(6.95)
Los t´erminos de curvatura son un reflejo de la naturaleza compuesta de los campos pseudoescalares, pues en los modelos quirales que estamos considerando estos t´erminos se corresponden con el acoplamiento de los campos gravitatorios externos a nivel de quarks. Un valor no nulo de H0 indica que existe una renormalizaci´on fuerte finita de la constante gravitatoria de Newton G, ya que el lagrangiano cl´asico de Einstein es L = -R/(16G).
Notar que la matriz pseudoescalar U es un escalar bajo transformaciones de Lorentz y de coordenadas. Por tanto, despu´es (y s´olo despu´es) de haber aplicado las identidades (6.88)-(6.91) se puede sustituir la derivada covariante en Lorentz y coordenadas por la
derivada covariante Dµ, esto es µU = DµU .
6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar
Por simplicidad, comenzaremos mostrando los resultados de los coeficientes de GasserLeutwyler-Donoghue para el modelo de Georgi-Manohar, pues en este caso no existe contribucio´n proveniente de campos escalares, esto es, de campos de esp´in cero y paridad positiva, y la u´nica contribucio´n procede del loop de quarks. Para este modelo, la constante de desintegracio´n d´ebil del pio´n es
f2
=
Nc 42
gA2 M
2I0
.
El factor de normalizacio´n para el campo es
(6.96)
B0
=
M gA2
I-2 I0
.
Con
M B0
=
M|
f2 q¯q
|
=
gA2
I0 I-2
el resultado que encontramos para los coeficientes de GLD es
(6.97) (6.98)
L1
=
Nc 48(4)2
(1 - gA2 )2I0 + 4gA2 (1 - gA2 )I2 + 2gA4 I4
,
L2 = 2L1 ,
L3
=
-
Nc 24(4)2
3(1 - gA2 )2I0 + 8gA4 I4 + 4gA2 (3 - 4gA2 )I2
,
L4 = 0 ,
146 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
L5
=
Nc 2(4)2
gA2
[I0
-
I2]
,
L6 = 0 ,
L7
=
-
Nc 24(4)2Nf
gA
[6I0
-
gAI2]
,
L8
=
-
Nc 24(4)2
6( - gA)I0 + gA2 I2
,
L9
=
Nc 6(4)2
(1 - gA2 )I0 + 2gA2 I2
,
L10
=
-
Nc 6(4)2
(1 - gA2 )I0 + gA2 I2
,
L11
=
Nc 12(4)2
gA2 I2
,
L12
=
-
Nc 6(4)2
gA2 I2
,
L13
=
Nc 12(4)2
I0
=
48M 2
f2 gA2
,
H0
=
-
NcNf 6(4)2
M 2I-2
=
-
Nf 24
f2
,
H1
=
Nc 12(4)2
-(1 + gA2 )I0 + gA2 I2
,
H2
=
Nc 12(4)2
62I-2 - 6( + gA)I0 + gA2 I2
,
(6.99)
H3
=
-
NcNf 144(4)2
I0
=
-
Nf 576M
2
f2 gA2
,
H4
=
NcNf 90(4)2
I0
,
H5
=
7NcNf 720(4)2
I0
.
Con los valores M = 300 MeV y gA = 0,75, el cutoff debe ajustarse para reproducir el valor emp´irico f = 93,2 MeV. Esto conduce a
= 1470 MeV , B0 = 4913 MeV , I-2 = 20,8 , I0 = 2,26 , I2 = 0,922 , I4 = 0,995 .
(6.100)
El modelo quark quiral constituyente (QC) se corresponde con la eleccio´n gA = 1 en los coeficientes anteriores. Si se considera el mismo valor para M, para este modelo se tiene
= 828 MeV , B0 = 1299 MeV , I-2 = 5,50 , I0 = 1,27 , I2 = 0,781 , I4 = 0,963 .
(6.101)
En la tabla 6.1 se muestran los valores num´ericos de los coeficientes de GLD.
6.6.2. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio
Los coeficientes de GLD en este modelo tendra´n dos contribuciones diferentes: una
proveniente del loop de quarks e integracio´n posterior de los campos de esp´in 1, y otra
proveniente de la integracio´n de los campos de esp´in 0. Para la primera contribucio´n se
tienen las mismas expresiones de ec. (6.99). La constante de desintegracio´n d´ebil del pio´n
es
f2
=
Nc 42
gAM
2I0
.
(6.102)
Notar que en este modelo f2 tiene una potencia en gA, mientras que en el modelo de GM la potencia es gA2 , ec. (6.96). La diferencia se debe a la ausencia del t´ermino de masa Lm en el modelo GM. Nuestra notaci´on ser´a la siguiente
B0
=
a2s M 2f2
=
M I-2 gA I0
,
gA
=
1
-
2
f2 a2v
.
(6.103)
6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue
147
Con las contribuciones de esp´in 0+ son
M B0
=
gA
I0 I-2
,
(6.104)
LS3
=
Nc 4(4)2
gA4 I0
[I0
-
I2]2
,
LS8
=
Nc 16(4)2
(gA
-
2)2I0
,
LS5
=
Nc 4(4)2
gA2 (gA
-
2) [I0
-
I2]
,
LS11
=
Nc 12(4
)2
gA2
[I0
-
I2]
,
LS13
=
Nc 24(4)2
(gA
-
2)I0
,
H2S = 2LS8 ,
H3S
=
NcNf 144(4)2
I0
=
Nf 576M 2
f2 gA
.
(6.105)
El resto de coeficientes LSi , HiS son cero. La suma de las dos contribuciones (loop de quaks y escalares) dara´ los coeficientes de GLD para este modelo. El resultado es el siguiente
L3
=
-
Nc 24(4)2
3(1 - 2gA2 - gA4 )I0 + 8gA4 I4 + 2gA2
2(3
-
gA2 )
-
3gA2
I2 I0
L5
=
Nc 4(4)2
gA3
[I0
-
I2]
,
L8
=
Nc 48(4)2
gA2
[3I0
-
2I2]
,
L11
=
Nc 12(4)2
gA2 I0
=
gAf2 48M 2
,
L13
=
Nc 24(4)2
gAI0
=
f2 96M 2
,
H2
=
Nc 24(4)2
122I-2 + 3gA(gA - 8)I0 + 2gA2 I2
,
H3 = 0 .
I2 , (6.106)
El resto de coeficientes: L1, L2, L4, L6, L7, L9, L10, L12, H0, H1, H4 y H5; coinciden con los del modelo de GM (f´ormulas (6.99)). Notar, no obstante, que las expresiones de f2 no coinciden en los dos modelos [ec. (6.96) y (6.102)].
Este modelo reproduce la relacio´n L3 = -6L1, siempre y cuando se desprecien los t´erminos O(NcgA4 ). Existen algunas diferencias con trabajos previos. Los valores L1, L2, L3, L4, L5, L6, L9, L10, H1 y H2 coinciden con ref. [106]. L8 difiere en dos potencias de gA en el t´ermino proporcional a I2. (Nuestros resultados reproducen los suyos para cada contribucio´n por separado: contribucio´n del loop de quarks y contribucio´n de esp´in cero.)
El valor de L7 es diferente de cero, si se considera la condicio´n Det(U) = 1 debido a que estamos considerando la simetr´ia de sabor SU(Nf ). Tanto en ref. [106] como en [107] este t´ermino no se obtiene, a pesar de que en estos trabajos se menciona expl´icitamente
que consideran el grupo de sabor SU(Nf ). En el grupo U(Nf ) s´i se obtiene que L7 = 0. Nuestros valores de L4, L5, L6, L8, L9 y L10 coinciden con los de [107]. En esta referencia
aparece un t´ermino err´oneo extra en L1. L3 se diferencia de ref. [107] en todos los factores excepto uno en I4. H1 y H2 no aparecen en esa referencia.
Los coeficientes L11, L12 y L13, as´i como H0,3-5, son nuevos y constituyen el resultado principal de este cap´itulo. L11-13 fueron obtenidos tambi´en hace algu´n tiempo en un
148 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
modelo quiral que incluye bosonizaci´on [125], y ma´s recientemente en el modelo quark espectral [108] (ver cap´itulo 7).
Los valores num´ericos de estos coeficientes, ec. (6.106), aparecen en la tabla 6.1 para dos casos diferentes: el modelo NJL SU(3) generalizado, y el caso en que no se considera la integracio´n de los campos de esp´in 1, esto es gA = 1. Para el primer caso se considera como valor razonable gA = 0,606. Con M = 300 MeV, se tiene
= 1344 MeV , B0 = 4015 MeV , I-2 = 17,0 , I0 = 2,10 , I2 = 0,907 , I4 = 0,993 .
(6.107)
Para el modelo NJL con gA = 1, los valores num´ericos de , B0, y I2n son id´enticos a los
del modelo quark constituyente QC, ec. (6.101). Las LEC's en el modelo NJL con gA = 1 y en el QC se diferencian debido a la contribucio´n de los escalares LS3,5,8,11,13 y H2S,3, que no est´an presentes en el caso QC.
6.6.3. Resultados
En la tabla 6.1 aparecen los resultados que hemos obtenido para los modelos de quarks quirales que se han tratado en este cap´itulo: Quark Constituyente, Nambu­Jona-Lasinio con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Se ha incluido tambi´en el resultado del c´alculo en el modelo Quark Espectral del cap´itulo 7. La primera columna se corresponde con el c´alculo de TQP a dos loops [126]. Se incluye tambi´en el resultado obtenido en el modelo basado en Nc grande con saturacio´n por una u´nica resonancia [127].
Los resultados para las constantes de baja energ´ia coinciden a grandes rasgos. Como regla, todos los modelos y ajustes dan el mismo signo para todos los coeficientes, con la excepci´on de H0 y H2 en el modelo Quark Espectral. Para los coeficientes de GasserLeutwyler est´andar L1-10 el mejor acuerdo global con el c´alculo de TQP a dos loops [126] es el proporcionado por el modelo NJL con mesones vectoriales, para el que la chi cuadrada reducida es 2/DOF = 2,2, (DOF = 10), si bien los modelos QC y GM proporcionan resultados de calidad similar: 2,5 y 3,6 respectivamente.
Para los coeficientes nuevos no existen en la literatura valores ampliamente aceptados. El acuerdo ma´s cercano con las estimaciones de Nc grande y saturacio´n de resonancias de [122] para L11-13 es el de NJL sin mesones vectoriales, para el que 2/DOF = 0,29, pero esto no es totalmente concluyente. Asimismo, es importante mencionar el notable acuerdo entre las predicciones del modelo Quark Espectral para estos tres coeficientes y aquellas provenientes del modelo quiral de bosonizaci´on de ref. [125], para el que se obtiene
L11 = 1,58 · 10-3 ,
L12 = -3,2 · 10-3 ,
L13 = 0,3 · 10-3 .
(6.108)
6.7. Conclusiones
En este cap´itulo hemos calculado las constantes de baja energ´ia del tensor energ´iaimpulso en varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, Nambu­Jona-Lasinio
6.7 Conclusiones
149
Cuadro 6.1: Constantes adimensionales de baja energ´ia y H0 comparadas con otros modelos
y con el valor que dan algunas referencias. Los valores mostrados para L1-13, H1-5 deben
ser multiplicados por 10-3. El valor de H0 debe multiplicarse por 103 MeV2.
TQP1 NJL
NJL QC GM
SQM2 Large Nc3
Dual2
(gA = 1)
(MDM)
Large Nc
L1
0.53 ± 0.25 0.77
L2
0.71 ± 0.27 1.54
L3 -2.72 ± 1.12 -4.02
0.76 0.76 0.78 1.52 1.52 1.56 -2.73 -3.62 -4.25
0.79 1.58 -3.17
0.9 1.8 -4.3
0.79 1.58 -3.17
L4
0
0
0
0
0
0
0
0
L5
0.91 ± 0.15 1.26
2.32 1.08 0.44
2.0 ± 0.1
2.1
3.17
L6
0
0
0
0
0
0
0
0
L7 -0.32 ± 0.15 -0.06 -0.26 -0.26 -0.03 -0.07 ± 0.01
-0.3
L8
0.62 ± 0.20 0.65
L9
5.93 ± 0.43 6.31
L10 -4.40 ± 0.704 -5.25
L11 1.85 ± 0.905 1.22
L12
-2.75 -1.06
L13
1.7 ± 0.805 1.01
H0
-14.6
H1
-4.01
0.89 4.95 -2.47 2.01 -2.47 1.01 -4.67 -2.78
0.46 4.95 -2.47 1.24 -2.47 0.47 -4.67 -2.78
0.04 6.41 -4.77 0.82 -1.64 0.22 -17.7 -4.76
0.08 ± 0.04 6.33
-3.17 1.58
-3,17 0.33 ± 0.01
1.09
0.8
7.1
-5.4 1.65 -2.75 1.15
1.18 6.33 -4.75
H2
1.46
1.45 0.59 0.49 -1.0 ± 0.2
H3
0
0 -0.50 -0.89
H4
1.33
0.80 0.80 1.43
H5
1.16
0.70 0.70 1.25
(1) C´alculo a dos loops de ref. [126].
(2) Ref. [108], cap´itulo 7.
(3) Ref. [127].
(4) Ref. [128].
(5) Ref. [122].
con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Algunas de estas constantes se obtienen directamente de los coeficientes est´andar de Gasser-Leutwyler, mientras que otras, L11-13 y H0,3-5, son nuevas y proceden de operadores que no est´an presentes en el lagrangiano quiral en espacio plano.
T´ecnicamente, el mejor modo de proceder es considerar QCD en un espacio-tiempo curvo, ya que nos permite trabajar con el lagrangiano a bajas energ´ias, en lugar de su variaci´on (el tensor energ´ia-impulso). Esto hace ma´s f´acil tanto el c´alculo como la imposici´on de las restricciones debidas a las simetr´ias. El lagrangiano quiral en espacio-tiempo curvo contiene dos tipos de contribuciones. Por una parte, aquellas que surgen de un acoplamiento m´inimo del lagrangiano en espacio plano con la m´etrica, L(g), y por otra aquellas contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann L(R). En el esp´iritu de no
150 Cap´itulo 6: Tensor Energ´ia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energ´ias
introducir nuevos campos diferentes a la m´etrica, hemos considerado u´nicamente la gravedad de Einstein. En el caso de que se considerara torsi´on o violaci´on de la metricidad, en principio podr´ian aparecer nuevos t´erminos. Al igual que ocurre con los acoplamientos gauge (por ejemplo, los momentos magn´eticos), los t´erminos gravitatorios L(R) no pueden fijarse a partir de la covariancia general del lagrangiano quiral, y para obtenerlos es necesario acoplar directamente gravedad con los quarks y los gluones de QCD antes de integrar los campos y obtener el lagrangiano de bajas energ´ias.
Hemos calculado en estos modelos de quarks quirales las constantes de baja energ´ia con un cierto grado de ´exito, y hemos aplicado la misma aproximaci´on para los t´erminos con curvatura L(R). El acuerdo entre todos los modelos es razonable. Una comparaci´on con los valores de TQP a dos loops [126] sugiere que NJL con mesones vectoriales es el que mejor funciona para los coeficientes est´andar. Para los nuevos coeficientes L11-13, el mejor acuerdo proviene de NJL sin mesones vectoriales, si bien el resultado no es concluyente.
Cap´itulo 7
Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
La estructura de QCD a bajas energ´ias en presencia de fuentes electrod´ebiles y gravitacionales se describe muy bien mediante Teor´ia Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27, 122]. En el sector meso´nico, la rotura espont´anea de la simetr´ia quiral es dominante a bajas energ´ias y el c´alculo sistem´atico de las correspondientes constantes de baja energ´ia (LEC's) ha sido llevado a cabo recientemente hasta una precisi´on de dos loops [126, 128] o mediante el uso de las ecuaciones de Roy [129]. Para los procesos fuertes y electrod´ebiles que involucran mesones pseudoescalares, la mayor parte de las LEC's est´an saturadas en t´erminos de resonancias de intercambio [127], que pueden ser justificadas en el l´imite de Nc grande en una cierta aproximaci´on de bajas energ´ias [130]. En el caso de procesos gravitacionales se pueden aplicar las mismas ideas [122]. Hoy en d´ia, TQP se usa como un test cualitativo y cuantitativo para cualquier modelo de la estructura de los hadrones a bajas energ´ias.
En este cap´itulo nos proponemos analizar, en el contexto de TQP con espacio-tiempo curvo, el modelo quark espectral propuesto recientemente en ref. [101]. En primer lugar se mostrara´ c´omo calcular la accio´n efectiva de este modelo a un loop de quarks, y algunas de sus propiedades. Posteriormente se hara´ un estudio de la parte an´omala de la accio´n efectiva, con la obtenci´on del t´ermino est´andar de Wess-Zumino-Witten. Se vera´ que la anomal´ia que se obtiene con este modelo coincide con la anomal´ia de QCD. Se aplicara´ el formalismo desarrollado en el cap´itulo 6 para el c´alculo de la contribucio´n no an´omala de la accio´n efectiva, y se obtendr´an las expresiones correspondientes para los coeficientes de baja energ´ia (LEC). Con el fin de considerar una realizacio´n expl´icita del modelo espectral, se considerar´a ´este dentro de un esquema de dominancia del meso´n vectorial, lo cual permitira´ encontrar valores concretos para las LEC's y comparar con resultados de otros modelos presentados en el cap´itulo 6. Finalmente se comparara´n las predicciones del modelo espectral para estas constantes con las obtenidas en la aproximaci´on de una u´nica resonancia (SRA) en el l´imite de Nc grande [122, 130], lo cual conducira´ a unas relaciones de dualidad entre los canales vector y escalar.
Este cap´itulo est´a basado en la referencia [108].
151
152
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
7.1. Accio´n Efectiva del Modelo Quark Espectral
En la secci´on 5.2.2 introdujimos el modelo quark espectral. La aproximaci´on es similar en esp´iritu al modelo de Efimov e Ivanov [131], propuesto hace algunos an~os, y se basa en la introduccio´n formal de la representacio´n de Lehmann generalizada para el propagador del quark. La accio´n efectiva que obedece las identidades de Ward-Takahashi mediante la t´ecnica de Delbourgo y West [103] corresponde en nuestro caso a una prescripcio´n de sustitucio´n m´inima. Esto conduce a un determinante fermi´onico de la forma1
SQM[U, s, p, v, a, g] = -iNc d()Tr log (iD) ,
C
donde el operador de Dirac viene dado por
(7.2)
iD = id/ - U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) = iD - U 5 .
(7.3)
Estamos trabajando en espacio-tiempo curvo de Minkowski. La derivada dµ es derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y transformaciones de Lorentz,
e incluye la conexio´n de esp´in. El tensor m´etrico gµ es la fuente externa que representa el acoplamiento con un campo gravitatorio. La matriz U5 = U5 es la matriz de sabor
que representa el octete de mesones pseudoescalares en la representacio´n no lineal. Este operador de Dirac transforma de manera covariante bajo transformaciones quirales locales.2
En lo sucesivo consideraremos el modelo con Nf = 3. Si se considera la matriz U en el sector U(3) de sabor, la anomal´ia U(1)A se puede tener
en cuenta an~adiendo el t´ermino habitual [26]
LA
=
-
f2 4
m21
-
i 2
log det U¯ - log det U¯
2
,
(7.4)
donde U = U¯ ei8/(3f), con det U¯ = 1. Para = 0 este t´ermino es invariante CP y SU(Nf )L×SU(Nf )R.
La accio´n efectiva del modelo tiene un aspecto similar a la del modelo NJL bosonizado (ver secci´on 6.3). La principal diferencia tiene que ver con la interpretacio´n del m´etodo de regularizacio´n. Por una parte, en los modelos NJL u´nicamente se puede regularizar sobre loops de quarks (l´ineas de quark cerradas). El hecho de que en el modelo quark espectral la "regularizacio´n" de Lehmann se produzca sobre l´ineas de quark abiertas tiene importantes consecuencias en cuanto a la consistencia de los c´alculos a energ´ias altas tanto en una interpretacio´n puramente hadr´onica como part´onica.
1 Para un operador bilocal A(x, x) (matrices en espacio de Dirac y de sabor) se tiene
TrA =
d4
x -g
tr
A(x, x)
,
(7.1)
donde tr indica traza de Dirac y traza en espacio de sabor. 2Para un estudio sobre el acoplamiento con gravedad de los modelos de quarks quirales, ver secciones 6.2
y 6.3.
7.2 Anomal´ias Quirales
153
Dado que el contorno de integracio´n para la variable espectral es en general complejo, resulta complicado pasar a espacio eucl´ideo y separar la accio´n en una parte real y otra imaginaria. En lugar de espacio eucl´ideo, podemos considerar el espacio de Minkowski e introducir, como hicimos en sec. 6.2.2, el operador auxiliar
- iD5 = 5 id/ - U 5 - m^ 0 + v/ - 5a/ - s + i5p 5 .
(7.5)
De este modo, la accio´n efectiva con paridad normal se escribe
+SQM
=
-
i 2
Nc
d()Tr log (D5D) .
C
(7.6)
7.2. Anomal´ias Quirales
Una de las ventajas ma´s importantes de la regularizacio´n espectral es que conduce a observables hadr´onicos finitos e independientes de la escala, lo cual es un requerimiento b´asico de todo procedimiento de regularizacio´n. No obstante, esto no significa o implica necesariamente que la accio´n efectiva total en presencia de campos externos sea finita, ya que incluso en el caso de que los campos pio´nicos sean cero, U = 1, existen procesos no hadr´onicos. En realidad, ocurre que la renormalizaci´on de la funci´on de onda del foto´n es proporcional a 0 [101], de modo que depende de la escala µ y por tanto diverge en ciertos esquemas de regularizacio´n (por ejemplo, en regularizacio´n dimensional). Esta dependencia en escala surge tambi´en en otros t´erminos no hadr´onicos de la accio´n efectiva.
En [101] se encuentra que las desintegraciones 0 2 y 3 se muestran de acuerdo con los valores correctos que se esperan de la anomal´ia quiral de QCD. Con ayuda de la accio´n efectiva, ec. (7.2), vamos a ver en esta secci´on que esto es cierto tambi´en para todos los procesos an´omalos. En primer lugar calcularemos la anomal´ia quiral, y mostraremos que en presencia de campos externos la anomal´ia no depende del campo pio´nico U, y por tanto coincide con la anomal´ia en QCD debido a las condiciones espectrales 1 = 2 = 3 = 4 = 0. Despu´es veremos c´omo surge en este contexto el t´ermino est´andar de Wess-Zumino-Witten [132, 133].
7.2.1. C´alculo de la anomal´ia quiral
Bajo transformaciones quirales locales (vector y axial) el operador de Dirac se transforma
D e+iV (x)-iA(x)5 D e-iV , (x)-iA(x)5
(7.7)
con
V (x) = aV (x)a ,
a
A(x) = aA(x)a .
a
(7.8)
154
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
Infinitesimalmente, la transformaci´on es
D = i[V , D] - i{A5, D} .
(7.9)
Si consideramos una transformaci´on quiral en la accio´n efectiva, ec. (7.2), sin ninguna regularizacio´n adicional, se tiene
S = -iNcTr d() DD-1 .
C
(7.10)
Teniendo en cuenta la propiedad c´iclica de la traza, se obtiene s´olo una contribucio´n procedente de la variaci´on axial
AS AA = d4x tr d() 2iA5 = 0 d4x tr 2iA5 ,
C
(7.11)
un resultado que es ambiguo incluso en presencia de regularizacio´n espectral, debido a la traza dimensional infinita [38]. Para evitar la ambigu¨edad es necesario introducir una regularizacio´n extra. Como es bien sabido, no existe una regularizacio´n que preserve la simetr´ia quiral, de modo que la anomal´ia es generada.
El c´alculo se puede hacer con m´etodos est´andares. Una regularizacio´n conveniente es la regularizacio´n [134], que permite calcular directamente la anomal´ia a partir del propio operador de Dirac (no su cuadrado), y no precisa de ninguna redefinici´on de la matriz 5. Esto conduce a
AS AA = Tr d() 2iA5 [iD]0
C
= d4x tr d() 2iA(x)5 x|D0|x ,
C
(7.12)
donde la potencia cero del operador de Dirac se entiende como una continuaci´on anal´itica que puede escribirse en t´erminos de coeficientes de Seeley-DeWitt para operadores de Dirac [134]:
x|D0|x
=
1 (4)2
1 2
D4
+
1 3
(D22µ
+
µD2µ
+
2µD2)
+
1 6
2µ2 + (µ )2 + µ2 µ
,
(7.13)
donde
µ
=
1 2
{µ,
D}.
La
combinaci´on
{µ, D}
es
un
operador
multiplicativo,
de
modo
que
equivale a una funci´on. El resultado para acoplamientos generales en cuatro dimensiones
ha sido obtenido de [134]. Una inspeccio´n directa muestra que, puesto que la dependencia
en viene dada por iD = iD - U5, el resultado se puede escribir como la suma de un
t´ermino independiente de ma´s un polinomio en
AA = d() (AA[s, p, v, a] + AA[s, p, v, a, , U ]) = 0AA[s, p, v, a] , (7.14)
C
7.2 Anomal´ias Quirales
155
donde el t´ermino polino´mico dependiente de se anula, por las condiciones espectrales (los momentos positivos son cero). Esto muestra que la anomal´ia del modelo quark espectral coincide con la anomal´ia de QCD despu´es de introducir una regularizacio´n adicional conveniente, independientemente de los detalles de la funci´on espectral. Esto es un punto importante, ya que si la accio´n efectiva [U, s, p, v, a] en ec. (7.2) fuera finita e invariante quiral, aparentemente no habr´ia razo´n para la existencia de anomal´ias.
7.2.2. T´ermino de Wess-Zumino-Witten
Mostraremos aqu´i d´onde y c´omo surgen estas divergencias. Por simplicidad, consideremos el l´imite quiral m^ 0 = 0, los campos externos los haremos cero y trabajaremos en espacio-tiempo plano, de modo que iD = i/. Conseguiremos una representacio´n conveniente si introducimos el campo
Ut5 = eit , 25/f
(7.15)
que permite interpolar entre el vac´io Ut5=0 = 1, y la matriz completa Ut5=1 = U 5. Podemos escribir la siguiente identidad trivial para la accio´n efectiva con sustracci´on del vac´io:
SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a]
=
-iNc
0
1
dt
d dt
d()Tr log
C
iD - Ut5
=
iNc
1
dt
0
d()Tr
C
dUt5 dt
iD
1 - Ut5
.
Puesto que estamos interesados en procesos con paridad anormal, es suficiente con identificar los t´erminos que contienen el tensor de Levi-Civit`a µ, que por invariancia Lorentz precisan de al menos cuatro derivadas. Teniendo en cuenta el hecho de que las derivadas actu´an sobre su derecha, se tiene
1
-SQ(4M) = -iNc dt d()
0
C
d4x
d4k
1
(2)4 [k2 - 2]5
×
Tr
-
5Ut
dUt dt
Uti/Ut
4
,
(7.16)
donde el super´indice (4) indica O(p4). Tras el c´alculo de las trazas e integrales, finalmente se obtiene
-SQ(4M)
=
0
Nc 482
1
dt
0
d4x µ
Ut
dUt dt
UtµUtUt
UtUt
Ut
Ut
Ut
,
que coincide con el t´ermino de Wess-Zumino-Witten (WZW) [132, 133], si usamos que 0 = 1. Los campos externos pueden ser incluidos mediante el uso de ec. (7.16), lo cual genera
el t´ermino de WZW en la forma de Bardeen. En realidad, la diferencia SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a] es finita y preserva invariancia gauge, pero rompe la simetr´ia quiral lo cual genera la anomal´ia de ec. (7.14).
156
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
7.3. Desarrollo quiral de la accio´n efectiva
A partir de la accio´n de ec. (7.2) podemos calcular el desarrollo en derivadas en el contexto de espacio-tiempo curvo (para los detalles, ver la secci´on 6.4). Teniendo en cuenta la f´ormula del desarrollo del heat kernel, ec. (6.67), los coeficientes que se obtienen son los mismos que se obtuvieron en el modelo NJL, ec. (6.68), con la salvedad de considerar la sustitucio´n M , y el hecho de que en el modelo espectral no se introducen campos internos auxiliares para bosonizar (los s´imbolos no tienen barra: V, µ, Fµ). Despu´es de usar las condiciones espectrales n = 0, n > 0, la contribucio´n de paridad normal para la accio´n efectiva se escribe
-
i 2
Tr
log
D5D
=
-
1 2
Nc (42)
d4x-g d()
C
×
tr
-14 2
log 2a0
+
2
log 2a1
-
log(2/µ2)a2
+
1 2
a3
+
1 4
a4
+
··
·
=
d4x-g L(0) + L(2) + L(4) + · · · .
(7.17)
Despu´es del c´alculo de las trazas de Dirac, para el orden O(p2) del lagrangiano efectivo se tiene
L(2)
=
Nc (4)2
()
C
- 2 log 2 µU µU
+
23 log 2 mU + U m
+
2
log
2
1 12
R
,
(7.18)
y para el orden O(p4)
L(4)
=
Nc (4)2
()
C
+
1 6
log 2
(FµR )2
+ (FµL )2
- log 2
7 720
Rµ
Rµ
-
1 144
R2
+
1 90
Rµ
Rµ
-
i 3
FµR µU U + FµL µU U
+
1 12
(µU U )2
-
1 6
(µU µU )2
+
1 6
µU µU
-
1 6
FµL U FµR U
+ log 22 2 mm + (mU + U m)2
-
1 2
µU µU (mU
+ Um)
- log 2 µU µm + µmµU
-
log
2
1 6
R
Um
+ mU
+
1 12
R
µU µU
.
(7.19)
En estas f´ormulas m s + ip = /2B0. Notar que los momentos que aparecen hasta este orden son 0 = 1, 1 = 0 y 2 = 0, as´i como los momentos logar´itmicos 0, 1 y 2. Tras aplicar las ecuaciones de movimiento cl´asicas del campo U, ecs. (6.88)-(6.89), la identidad
7.3 Desarrollo quiral de la accio´n efectiva
157
integral de ec. (6.90) y la identidad va´lida en SU(3), ec. (6.91), se llega a la forma est´andar del lagrangiano dada por ecs. (6.92)-(6.93) para las contribuciones m´etricas y ecs. (6.94)(6.95) para las contribuciones con curvatura. Los valores que se obtienen para la constante de desintegracio´n d´ebil del pio´n y el condensado de quarks en el l´imite quiral son
f2
=
-
4Nc (4)2
2
,
f2B0
=
- q¯q
=
4Nc (4)2
3
,
(7.20) (7.21)
y los coeficientes LEC's se escriben
L3
=
-2L2
=
-4L1
=
-
Nc (4)2
0 , 6
L4 = L6 = 0 ,
L5
=
-
Nc (4)2
1 2B0
,
L7
=
Nc (4)2
1 2Nf
1 2B0
+
0 12
,
L8
=
Nc (4)2
2 4B02
-
1 4B0
-
0 24
,
L9
=
-2L10
=
Nc (4)2
0 3
,
L12
=
-2L11
=
-
Nc (4)2
0 6
,
L13
=
-
Nc (4)2
1 12B0
=
1 6
L5
,
(7.22)
H0
=
-
f2 4
Nf 6
,
H1
=
Nc (4)2
0 6
,
H2
=
Nc (4)2
2 B02
+
1 2B0
+
0 12
,
H3
=
Nc (4)2
Nf
0 144
,
H4
=
-
Nc (4)2
Nf
0 90
,
H5
=
-
Nc (4)2
Nf
70 720
.
El valor para L7 se corresponde con el modelo SU(3) de sabor. Para el modelo U(3), se obtiene del c´alculo que L7 = 0, pero entonces el t´ermino de ec. (7.4) deber´ia ser an~adido, de modo que el valor de L7 se modificar´ia.
Como vemos, los coeficientes L1, L2, L3, L4, L6, L9, L10 son nu´meros puros, y coinciden con los que se esperan en el l´imite en que la regularizacio´n se elimina [105]. Esto tiene
que ver con el car´acter adimensional de las LEC's, y que involucran por tanto el momento cero 0 = 1. El hecho de que H1 sea proporcional a 0 se corresponde con una funci´on de onda del campo gauge dependiente de la escala, o divergente. Quiere esto decir que la
parte finita de H1 depende del esquema de regularizacio´n. A partir de los valores de f2 = 93,2 MeV y L5 = 2,1 · 10-3 [127], se obtiene
L7
=
- L5 2Nf
+
Nc 3842Nf
-0,09 · 10-3,
L8
=
L5 2
-
Nc 3842
-
f2 16B02
0,13
·
10-3,
H2
=
-L5
+
Nc 1922
-
f2 4B02
-1,02 · 10-3.
(7.23)
158
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
En cuanto a las contribuciones con curvatura, el valor no nulo de H0 conduce a una
correcci´on fuerte para la constante gravitatoria de Newton G. Esta correcci´on es proporcional al cociente entre la escala hadr´onica y la escala de Planck 2Nf f2G/3, lo cual es num´ericamente despreciable.
7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial
Hasta ahora todas nuestras consideraciones han sido hechas para una funci´on espectral general sujeta a una serie de propiedades que deben cumplir sus momentos y momentos logar´itmicos. Es deseable construir una forma expl´icita para esta funci´on pues esto conducir´a a importantes consecuencias fenomenol´ogicas del modelo. Con este fin, en ref. [101] se adopta la siguiente expresi´on para el factor de forma del pio´n
FV
(t)
=
MV2 MV2 +
t
,
(7.24)
donde MV indica la masa del meso´n . Esta forma corresponde al esquema de dominancia del mes´on vectorial, que reproduce muy bien los datos experimentalres recientes [135]. La expresi´on del factor de forma del pio´n que se deriva del modelo espectral depende de los momentos pares y negativos de (). Por comparaci´on con (7.24) se llega a la siguiente identificacio´n [101]
2-2n
=
22n+33/2f2 NcMV2n
n(n + 3/2) (n + 1)
,
n = 1, 2, 3, . . .
(7.25)
La condicio´n 0 = 1 conduce a
f2
=
NcMV2 242
,
(7.26)
que es una relacio´n que se obtiene a menudo en los modelos de quarks quirales cuando se
considera este esquema de dominancia. Esto proporciona una estimacio´n razonable de la
masa del meso´n , MV = 826 MeV para f = 93 MeV, y MV = 764 MeV para f = 86 MeV
en el l´imite quiral.
Notar que si en (7.25) hici´eramos una prolongaci´on an´alitica en el ´indice n, obtendr´iamos
para los momentos positivos 2n = 0, n = 2, 3, . . . debido a que la funci´on (n) presenta singularidades en enteros no positivos. Los momentos logar´itmicos de () se pueden eva-
luar f´acilmente mediante prolongaci´on anal´itica de los momentos n en el plano complejo de n [101],
n = que conduce a
C
d
log(2)n()
=
2
d dz
d z()
C
z=n
=
2
d dz
z
,
z=n
2n =
-
MV2 4
n
(n)(
5 2
-
(5/2)
n)
,
n = 1, 2, 3, . . .
(7.27) (7.28)
7.4 Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial
159
Los momentos contienen toda la informaci´on necesaria para c´alculos pra´cticos, sin embargo
resulta interesante escribir una f´ormula expl´icita para la funci´on espectral. El problema matema´tico consiste en invertir la f´ormula 2n = C d 2nV (), con los momentos dados por (7.25). La soluci´on del problema conduce a [101]
V () =
11
1
2i (1 - 42/MV2 )dV
,
(7.29)
con dV = 5/2. Esta funci´on presenta un polo simple en el origen, y cortes de rama que empiezan en = ±MV /2.
La funci´on espectral vector, V , corresponde a la parte par de la funci´on : V () = (() + (-)) /2. Para la parte impar, que denominaremos funci´on espectral escalar,
S() = (() - (-)) /2, debe suponerse una cierta forma funcional que sea adecuada, que satisfaga las condiciones espectrales impares 2n+1 = 0, n 0, y reproduzca el valor del momento logar´itmico 3 = -42 q¯q /Nc, (ec. (7.21)). En ref. [101] se sugiere una forma an´aloga a ec. (7.29),
S ()
=
1 16(dS - 1)(dS - 2)3 2i MS4(1 - 42/MS2)dS
.
(7.30)
Los datos del ret´iculo para la masa constituyente de los quarks favorece el valor dS = 5/2 [101].
En el modelo de dominancia vectorial (MDM), el propagador del quark de ec. (5.33) se escribe
S(p) =
C
d
V
()/p p2
+ -
S 2
()
=
/p
Z (p2 ) - M (p2)
,
(7.31)
donde el contorno de integracio´n C consta de dos partes. La primera comienza en + - i0 siguiendo el eje real positivo, rodea el polo +MV /2 haciendo una media circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, y vuelve a ++i0 siguiendo el mismo eje real positivo. La segunda parte del contorno comienza en - + i0 y sigue el eje real negativo hasta el polo -MV /2, lo rodea en sentido de las agujas del reloj, y vuelve a - - i0 siguiendo el mismo eje real negativo. Estas dos secciones est´an conectadas en el infinito con semic´irculos. Este contorno de integracio´n es el que se usa para V . Para S se considera el mismo contorno C, salvo que los polos est´an en ±MS/2.
En este modelo se obtienen los siguientes valores para los momentos logar´itmicos
1MD
=
82 q¯q NcMS2
=
-
5MQMS2 6MV2
,
2MD
=
-
42f2 Nc
=
-
MV2 6
,
3MD
=
-
42 q¯q Nc
=
5MQMS4 12MV2
,
(7.32)
160
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
donde MQ es la masa constituyente de los quarks, que viene dada por [101]
MQ
M (0)
=
-
48MV2 2 q¯q 5NcMS4
.
Haciendo uso de estos valores se tiene
L5
=
Nc 962
MV2 MS2
,
L7
=
Nc 322Nf
1 12
-
MV2 6MS2
,
L8
=
Nc 162
-
MV10 150MQ2 MS8
+
MV2 12MS2
-
1 24
.
(7.33)
(7.34) (7.35) (7.36)
En la tabla 6.1 del cap´itulo 6 se muestran lo resultados correspondientes al modelo quark
espectral en su realizacio´n MDM para las constantes L5,7,8, as´i como las predicciones para L1,2,3,4,6,9,10, que son comunes al esquema de [105]. Adema´s aparecen los coeficientes L11-13, correspondientes a las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral. Estos valores num´ericos se han obtenido considerando MV = 770 MeV, MS = 970(21) MeV y MQ = 303(24) MeV. 3
Para el modelo espectral en su versio´n SU(2) de sabor, en ausencia de correcciones de loops meso´nicos, se tiene4
¯l1
=
-¯l2
=
-
1 2
¯l5
=
-
1 4
¯l6
=
-Nc
,
¯l3
=
4Nc 3
+
16NcMV10 75MQ2 MS8
,
¯l4
=
2NcMV2 3MS2
.
Los radios cuadr´aticos medios vector y escalar del pio´n vienen dados por [25]
(7.37) (7.38) (7.39)
r2
V
=
1 162f2
¯l6
=
6 MV2
,
r2
S
=
3 82f2
¯l4
=
6 MS2
.
(7.40)
Las componentes escalar (esp´in-0) y tensorial (esp´in-2) de los factores de forma gravitacionales (0 y 2 respectivamente) [122], producen el mismo radio cuadr´atico medio
r2 G,0 =
r2
G,2
=
Nc 482f2
,
(7.41)
3Para una discusio´n sobre estos resultados y su comparacio´n con otros modelos, ver seccio´n 6.6.3. Estos
valores de MS y MQ se han obtenido en ref. [101] a partir de un ajuste con el modelo espectral de los datos para la masa constituyente de los quarks obtenidos en el ret´iculo [136].
4Hacemos uso de las relaciones dadas en ref. [27] para pasar de la forma del lagrangiano quiral en SU(3) a la forma en SU(2). Estas relaciones son ¯l1 = 1922(2L1 + L3), ¯l2 = 1922L2, ¯l3 = 2562(2L4 + L5 - 4L6 - 2L8), ¯l4 = 642(2L4 + L5), ¯l5 = -1922L10, ¯l6 = 1922L9, ¯l11 = 1922L11 , ¯l13 = 2562l13. La constante l12 no esta´ renormalizada por el loop pi´onico.
7.5 L´imite de Nc grande y Dualidad
161
independientemente de la realizacio´n particular del modelo espectral. Si saturamos los factores de forma con mesones escalares y tensoriales f0 y f2, para sus masas se tiene
Mf0 = Mf2 = 4f 3/Nc = 1105 - 1168 MeV ,
(7.42)
dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV, respectivamente. El valor experimental para el meso´n tensorial ma´s ligero es Mfe2xp = 1270 MeV. Tal y como se discute en [122], el factor de forma 0 (correspondiente a la traza del tensor energ´ia-impulso) se acopla con mesones escalares, mientras que 2 (correspondiente a la parte de µ sin traza) se acopla con mesones tensoriales (esp´in-2).
Hay que decir que el meso´n escalar de masa Mf0, que domina el tensor energ´ia-impulso, no necesariamente coincide con el meso´n escalar de masa MS, que domina el factor de forma escalar. En realidad se tiene Mf0 = 2MV , mientras que MS es una magnitud libre. Esto surge de manera natural en la aproximaci´on espectral, donde el factor de forma escalar FS en el l´imite quiral involucra los momentos impares, mientras que 0 involucra los pares. En particular, los radios cuadr´aticos medios son proporcionales a 1 y 0, respectivamente.
7.5. L´imite de Nc grande y Dualidad
En virtud del hecho de que nuestro resultado se ha obtenido en la aproximaci´on de un loop de quarks,5 no podemos esperar que el modelo d´e mejores resultados para las LEC's que la contribucio´n de orden ma´s bajo en un contaje en Nc, el cual est´a formado por un nu´mero infinito de intercambios de resonancias [130]. Por otra parte, el c´alculo de estas contribuciones en Nc grande requiere el uso de suposiciones adicionales, tales como la convergencia de una serie infinita de estados y, por otra parte, una estimacio´n de las contribuciones de las resonancias ma´s altas. En la pra´ctica, se puede trabajar en la aproximaci´on de una u´nica resonancia (SRA), lo cual conduce a una reduccio´n de los para´metros [122, 130]:
2LS1RA
=
LS2RA
=
1 4
LS9RA
=
-
1 3
LS10RA
=
f2 8MV2
,
LS5RA
=
8 3
LS8RA
=
f2 4MS2
,
LS3RA
=
-3LS2RA
+
1 2
LS5RA
,
2LS13RA
=
3LS11RA
+
LS12RA
=
f2 4Mf20
,
LS12RA
=
-
f2 2Mf22
,
(7.43) (7.44) (7.45) (7.46) (7.47)
donde f, MV y MS indican las contribuciones de orden ma´s bajo en Nc para estas magnitudes. En la obtenci´on de estas f´ormulas para L1 - L10, se han ajustado las contribuciones
5El modelo espectral no se ha desarrollado m´as all´a de un loop.
162
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
de los mesones pseudoescalares y axiales con objeto de reproducir las reglas de suma qui-
rales para las funciones de correlacio´n de dos puntos VV-AA y SS-PP, adema´s de exigir un comportamiento convergente a altas energ´ias para los factores de forma hadro´nicos.6 Obviamente, el imponer ma´s ligaduras a cortas distancias implica el uso de ma´s resonancias.
Los valores de L11,12,13 se han obtenido del intercambio de una u´nica resonancia escalar y tensorial [122]. Por una parte, es necesario considerar un meso´n tensorial con objeto de
proporcionar un valor no nulo para L12, y por otra parte, los mesones tensoriales contribuyen tambi´en a otras LEC's [137], lo cual no est´a tenido en cuenta en ecs. (7.43)-(7.47). Por tanto, con objeto de simplificar la discusio´n, en lo que sigue nos restringiremos a los
acoplamientos no gravitacionales L1 -L10. Notar que, si bien el poder predictivo es grande, se consigue en t´erminos de dos razones adimensionales f/MV y f/MS. Obviamente, en el l´imite quiral se espera que tanto MV como MS escalen como f. Por tanto, con objeto de preservar las reglas de contaje en Nc grande, se deber´ia tener que
MV = cV f/ Nc , MS = cSf/ Nc ,
(7.48)
donde cV y cS son coeficientes independientes de Nc. El hecho sorprendente es que en el
modelo quark espectral, las constantes de baja energ´ia dependen de las razonas adimensionales 1/B0 y 2/B02. En vista de esto, resulta tentador calcular los momentos logar´itmicos espectrales a partir de las reglas de Nc grande, de un modo que sea modelo-independiente.
En primer lugar vemos que las razones L1 : L2 : L9 en el modelo quark espectral coinciden con las de SRA. Los valores de L5 y L8 pueden ser usados para determinar 1 y 2 respectivamente, de modo que se tiene
1SRA
=
82 q¯q NcMS2
,
2SRA
=
-
42f2 Nc
=
-
MV2 6
,
(7.49) (7.50)
lo cual est´a de acuerdo con ecs. (7.34) y (7.26). Esto no es sorprendente, pues la f´isica
de SRA y del modelo quark espectral en su versio´n MDM es similar. La u´nica diferencia
es que de ecs. (7.49)-(7.50) no se puede deducir el valor de la masa constituyente de los
quarks MQ = M(0), que viene dada por el cociente MQ = -1/-2 (ecs. (5.35)-(5.36)). Para determinar MQ ser´ia necesario calcular los t´erminos de O(p6) en el lagrangiano quiral
y comparar con SRA en el l´imite Nc grande.
Por otra parte, no es posible hacer compatibles L8 o L10. El desacuerdo con los corres-
pondientes valores en Nc grande se debe a que el modelo espectral viola la regla de suma
SS-PP y la segunda regla de Weinberg VV-AA. Esta violaci´on tambi´en ocurre en otros
modelos de quarks [138, 139] (no ocurre en los modelos no locales; ver [140, 141]). En
efecto, en el modelo no existe intercambio de meso´n axial en L10 (1/4 de la contribucio´n
total) ni de meso´n pseudoescalar en L8 (1/4 de la contribucio´n total). Por otra parte, para el valor de f que se obtiene de ec. (7.26), las constantes L1, L2, L4, L5, L6, L9
6En
particular,
MP /MS
= MA/MV
= 2,
donde
MP
es
la
masa
del
pi´on
excitado.
7.5 L´imite de Nc grande y Dualidad
163
reproducen las identidades en Nc grande que aparecen en [127]. Este acuerdo se puede ver en la tabla 6.1 si se considera un factor de correcci´on 242f2/NcMV2 = 1,15. Se podr´ia forzar que L3 coincidiera con la estimacio´n de Nc grande tomando MV = MS. Esto concuerda con la observaci´on en la aproximaci´on unitaria quiral de ref. [142], de que en el l´imite de Nc grande, los mesones escalar y vector son degenerados.7 Por tanto, el intentar compatibilizar
el l´imite de Nc grande en la SRA con el modelo quark espectral produce una degeneraci´on de los mesones escalar y vector. Esta degeneraci´on fue sugerida en [143] en el contexto de
reglas de suma superconvergentes y han sido interpretadas ma´s recientemente en base a
simetr´ias que se restablecen [144].
Parece claro que cualquier modificacio´n en el modelo quark espectral afectara´ u´nicamen-
te a L8 y L10. Si se considera MS = MV = 2f 6/Nc para Nc grande en la aproximaci´on SRA, se obtienen las siguientes relaciones de dualidad
2L1
=
L2
=
-
1 2
L3
=
1 2
L5
=
2 3
L8
=
1 4
L9
=
-
1 3
L10
=
Nc 1922
.
Esto conduce a las relaciones de dualidad para las masas
(7.51)
MA = MP = 2MV = 2MS = 4
3 Nc
f
.
(7.52)
La nueva relacio´n MA = MP concuerda con el valor experimental dentro del error del 30 % que se espera de considerar el l´imite Nc grande. Haciendo uso de ec. (7.40) se obtiene
r2
1/2 S
=
r2
1/2 V
=
Nc 2f
.
(7.53)
Estas relaciones est´an sujetas a correcciones en m y en ´ordenes ma´s altos en Nc. Num´eri-
camente se tiene
r2
1/2 S
=
r2
1/2 V
=
0,58 - 0,62
fm ,
(7.54)
dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV. El valor del radio escalar es pro´ximo al que se obtiene de TQP hasta dos loops [145], 0,78 fm.
En el caso SU(2), el modelo de dualidad con Nc grande conduce a
-
¯l1
=
¯l2
=
3 2
¯l3
=
3 2
¯l4
=
1 3
¯l5
=
1 4
¯l6
=
Nc
.
(7.55)
Los valores recientes obtenidos a partir del an´alisis de la colisio´n a nivel de dos loops [145] y de factores de forma vector y escalar [146] a dos loops son
¯l1 = -0,4 ± 0,6 , ¯l4 = 4,4 ± 0,2 ,
¯l2 = 6,0 ± 1,3 , ¯l3 = 2,9 ± 2,4, ¯l5 = 13,0 ± 1,0 , ¯l6 = 16,0 ± 1,0 .
(7.56)
7Para Nc = 3, 10, 20, 40, en ref. [142] se obtiene MS/MV = 0,58, 0,84, 0,96, 0,98, respectivamente, con MS y MV las partes reales de los polos en la segunda hoja de Riemann.
164
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
Los coeficientes ¯l son ma´s susceptibles de poder compararse con TQP ya que los loops quirales generan un cambio constante c = log(µ2/m2), que es el mismo para todos ellos.
Por tanto, tiene sentido comparar diferencias donde los logaritmos se cancelan.
¯l2 - ¯l1 = 2Nc (Exp. 6,4 ± 1,4) ,
¯l3 - ¯l1 =
5Nc 3
(Exp. 3,3 ± 2,5) ,
¯l4 - ¯l1 =
5Nc 3
(Exp. 4,8 ± 0,6) ,
¯l5 - ¯l1 = 4Nc (Exp. 13,4 ± 1,2) ,
¯l6 - ¯l1 = 5Nc (Exp. 16,4 ± 1,2) .
(7.57)
El acuerdo es excelente dentro de las incertidumbres, y esto sugiere una precisio´n del orden de 1/Nc2 en lugar de la que cabr´ia esperar a priori 1/Nc.
El cambio constante de los loops pio´nicos se produce con una escala µ = 513±200 MeV,
lo cual es comparable con la masa del meso´n . Considerando las ecs. (7.43)-(7.45) corres-
pondientes a SRA, con los valores f´isicos f = 93,2 MeV, MS = 1000 MeV y MV = 770 MeV, tal y como se hace en [130], se tiene
¯l2 - ¯l1 = 8,3 , ¯l3 - ¯l1 = 6,2 , ¯l4 - ¯l1 = 6,2 , ¯l5 - ¯l1 = 15,2 , ¯l6 - ¯l1 = 18,7 . (7.58)
Se podr´ian obtener unos valores ma´s razonables considerando MS = 600 MeV, pero entonces la relacio´n SRA, MP = 2MS, predicir´ia un valor demasiado pequen~o para la masa del estado pio´nico excitado.
Esta discusio´n favorece fenomenol´ogicamente las relaciones de dualidad ec. (7.51) frente a las relaciones de SRA, ecs. (7.43)-(7.45), con para´metros f´isicos.
7.6. Conclusiones
En este cap´itulo se ha estudiado el desarrollo quiral en el modelo quark espectral propuesto recientemente, en presencia de fuerzas externas electrod´ebiles y gravitatorias. El modelo est´a basado en una representacio´n de Lehmann para el propagador del quark con una funci´on espectral no convencional, que es en general una funci´on compleja con cortes de rama. Se ha escrito la accio´n efectiva que reproduce las identidades de Ward-Takahashi, y gracias a una serie infinita de condiciones espectrales hemos obtenido la contribucio´n an´omala quiral a la accio´n. Esta contribucio´n aparece convenientemente normalizada sin necesidad de eliminar la regularizacio´n. Adema´s, la contribucio´n no an´omala se puede escribir en t´erminos de 13 constantes de baja energ´ia. Los valores num´ericos muestran un acuerdo razonable con los esperados fenomenol´ogicamente, si bien existen algunas discrepancias para L8 y L10. E´stas se podr´ian explicar de manera natural como fallos del modelo a la hora de reproducir las condiciones quirales a cortas distancias, y sugiere que ´este necesita ser mejorado. Por otra parte, si se intenta comparar las LEC's no-gravitacionales restantes con las predicciones de Nc grande en la aproximaci´on de una u´nica resonancia, tiene lugar
7.6 Conclusiones
165
una nueva reduccio´n de para´metros. En particular, el mejor acuerdo se encuentra para el
caso de mesones escalar y vector degenerados.
Se han estimado las LEC's gravitatorias L11, L12 y L13 en el contexto de los modelos de quarks quirales. Estas constantes dependen de las propiedades de curvatura de la m´etrica
en espacio-tiempo curvo. Este c´alculo permite la determinacio´n de algunos elementos de
matriz del tensor energ´ia-impulso. Nuestro an´alisis sugiere que el acoplamiento del meso´n
escalar con el condensado de quarks m0qq, y el meso´n escalar acoplado con la traza del tensor energ´ia-impulso µµ, no coinciden necesariamente. Estos dos operadores se comportan de manera diferente bajo simetr´ia quiral, ya que m0qq se anula en el l´imite quiral mientras que µµ no lo hace. Esto se materializa en el modelo quark espectral en el hecho de que estos dos mesones escalares dependen de momentos espectrales impares y pares, respectivamente. Por otra parte, se obtiene Mf0 = Mf2 = 2MV = 2MS = 4 3/Ncf, que constituye un resultado muy razonable si tenemos en cuenta la aproximaci´on de un loop de quarks en que
estamos trabajando. Se han discutido otras relaciones de dualidad quark-mes´on, lo cual ha
permitido una determinacio´n bastante precisa de las LEC's ya conocidas, y se muestran
de acuerdo con los valores conocidos a dos loops dentro de los errores experimentales.
166
Cap´itulo 7: Modelo Quark Espectral y Accio´n Efectiva Quiral
Cap´itulo 8
Conclusiones
8.1. Resumen y Conclusiones
En esta tesis se ha hecho un estudio detallado de algunos efectos de temperatura y de curvatura en QCD y en algunos modelos de quarks quirales. Las conclusiones y logros ma´s significativos de este trabajo han sido los siguientes:
Se ha construido un desarrollo del heat kernel invariante gauge orden por orden a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario, para espacio-tiempo plano. Se ha considerado un tratamiento general va´lido en cualquier gauge, y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no est´aticos. Para preservar la invariancia gauge a temperatura finita se ha hecho uso del loop de Polyakov, y se ha llegado hasta orden 6 en un contaje en dimensiones de masa.
Se ha aplicado el desarrollo del heat kernel para el c´alculo de la accio´n efectiva de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la regio´n de temperaturas grandes. Se ha considerado un loop de Polyakov no est´atico. Se ha estudiado la invariancia gauge del resultado, y en concreto la rotura expl´icita de la simetr´ia del centro por efecto de los fermiones.
Se ha obtenido la accio´n de la teor´ia efectiva dimensionalmente reducida de QCD, va´lida en el r´egimen de temperaturas grandes. Esto ha permitido obtener nuevos t´erminos de orden 6 no calculados en la literatura, tanto en el sector fermi´onico como en el glu´onico.
Se ha propuesto un modelo fenomenol´ogico que permite describir con gran ´exito los datos del ret´iculo tanto para el loop de Polyakov renormalizado como para la energ´ia libre de un quark pesado, en el r´egimen de temperaturas inmediatamente por encima de la transici´on de fase. Este modelo da cuenta de contribuciones no perturbativas provenientes de condensados glu´onicos, y se ha obtenido una predicci´on para el valor del condensado glu´onico de dimensi´on 2 en el r´egimen de temperaturas considerado,
167
168
Cap´itulo 8: Conclusiones
Tc T 6Tc. El resultado se muestra de acuerdo con otras predicciones existentes tanto a temperatura cero como a temperatura finita.
Se ha estudiado la analog´ia existente entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero. Esto ha permitido encontrar una relacio´n entre el condensado glu´onico de dimensi´on 2 y la tensi´on de la cuerda.
Se ha introducido el loop de Polyakov de color en los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks, siguiendo un esquema de acoplamiento m´inimo, y hemos visto que esto permite resolver algunas inconsistencias que presentaban estos modelos en su tratamiento est´andar a temperatura finita. En concreto, la integracio´n sobre el grupo gauge da lugar a una conservaci´on de trialidad, y el contaje en Nc se muestra de acuerdo con las predicciones de Teor´ia Quiral de Perturbaciones.
Se ha calculado el lagrangiano efectivo quiral a temperatura finita de los modelos Nambu­Jona-Lasinio y Quark Espectral a nivel de un loop de quarks y a nivel a´rbol para los mesones, en la aproximaci´on quenched, y se ha obtenido una predicci´on para las constantes de baja energ´ia de Teor´ia Quiral de Perturbaciones.
Se han analizado algunas correcciones de orden mayor para los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov. En concreto correcciones gluo´nicas, locales, y las provenientes de ir ma´s all´a de un loop de quarks. Se ha encontrado que los efectos t´ermicos est´an exponencialmente suprimidos a temperaturas pequen~as, y vienen dominados por loops meso´nicos. Adema´s, se ha analizado la influencia del determinante fermi´onico sobre algunos observables como el condensado de quarks y el valor esperado del loop de Polyakov, y se han estudiado sus implicaciones sobre las transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color.
Se ha estudiado el acoplamiento de los modelos de quarks quirales con gravedad, y se ha analizado la correspondiente estructura del tensor energ´ia-impulso a bajas energ´ias para cuatro modelos concretos: Quark Constituyente, Georgi-Manohar, Nambu­Jona-Lasinio y Quark Espectral. Se ha obtenido una predicci´on para los coeficientes de baja energ´ia correspondientes a los t´erminos no m´etricos con contribuciones de curvatura.
Se ha obtenido la contribucio´n an´omala quiral a la accio´n efectiva en el modelo quark espectral. Despu´es de introducir una regularizacio´n conveniente, el resultado no depende de los detalles de la funci´on espectral, de modo que coincide con la anomal´ia de QCD.
Se han comparado los resultados del modelo quark espectral para las constantes quirales de baja energ´ia, con las predicciones de Nc grande en la aproximaci´on de una u´nica resonancia. El mejor acuerdo se encuentra para el caso de mesones escalar y vector degenerados, dando lugar a unas relaciones de dualidad quark-mes´on, que han permitido una determinacio´n precisa de las constantes de baja energ´ia conocidas.
8.2 Anexo de art´iculos publicados
169
8.2. Anexo de art´iculos publicados
Esta tesis est´a basada en las siguientes publicaciones.
1. Revistas internacionales:
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The Polyakov loop and the heat kernel expansion at finite temperature, Phys. Lett. B563, 173-178 (2003), [arXiv:hep-th/0212237].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola, and L. L. Salcedo, Thermal heat kernel expansion and the one-loop effective action of QCD at finite temperature, Phys. Rev. D69, 116003 (2004), [arXiv:hep-ph/0312133].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola, L. L. Salcedo and W. Broniowski, Low energy chiral Lagrangian from the spectral quark model, Phys. Rev. D70, 034031 (2004), [arXiv:hep-ph/0403139].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Energy momentum tensor of chiral quark models at low energies, Phys. Rev. D72, 014001 (2005), [arXiv:hep-ph/0504271].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension two condensates and the Polyakov loop above the deconfinement phase transition, JHEP 0601, 073 (2006), [arXiv:hep-ph/0505215].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Power corrections in the quarkantiquark potential at finite temperature, Phys. Rev. D75, 105019 (2007), [arXiv:hep-ph/0702055].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature, Phys. Rev. D74, 065005 (2006), [arXiv:hep-ph/0412308].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral Lagrangian at finite temperature from the Polyakov-chiral quark model, Phys. Rev. D74, 114014 (2006), [arXiv:hep-ph/0607338].
2. Actas de congresos:
E. Meg´ias, One-loop effective action of QCD at high temperature using the heat kernel method. Actas de 9th Hadron Physics and 8th Relativistic Aspects of Nuclear Physics (HADRON-RANP 2004). AIP Conf. Proc. 739, 443-445 (2005), [arXiv:hep-ph/0407052].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at finite temperature in chiral quark models. Actas de la conferencia Mini-Workshop on Quark Dynamics: Bled 2004. Bled Workshops in Physics, Vol. 5, No. 1, Pa´g. 1-6 (2004), [arXiv:hep-ph/0410053].
170
Cap´itulo 8: Conclusiones
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral lagrangians at finite temperature and the Polyakov loop. Actas de 6th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 756, 436-438 (2005), [arXiv:hep-ph/0411293].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Non-perturbative contribution to the Polyakov loop above the deconfinement phase transition. Actas de 18th International Conference on Ultra-Relativistic Nucleus-Nucleus Collisions: Quark Matter 2005 (QM 2005). Romanian Reports in Physics, Vol. 58, No. 1, Pa´g. 81-85 (2006), [arXiv:hep-ph/0510114].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at low and high temperatures. Actas de 29th Johns Hopkins Workshop in Theoretical Physics. JHEP Proceedings of Science, PoS(JHW2005)025, (2006), [arXiv:hep-ph/0511353].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The quantum and local Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature. Actas de 7th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 892, 444-447 (2007), [arXiv:hep-ph/0610095].
E. Meg´ias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension-2 condensates and Polyakov chiral quark models. Actas de 4rd International Conference on Quarks and Nuclear Physics. The European Physical Journal A31, 553-556 (2007), [arXiv:hep-ph/0610163].
Ap´endice A Transformaciones Gauge
En este ap´endice explicaremos qu´e se entiende por transformaci´on gauge y discutiremos ciertas propiedades que cumple una transformaci´on gauge a temperatura finita. Estudiaremos la rotura de la simetr´ia del centro del grupo gauge al considerar una teor´ia con fermiones. Vamos a seguir en parte la referencia [147].
A.1. Definiciones
Consideremos un operador f (M, Dµ) construido con M y Dµ en sentido algebraico. Una configuraci´on gauge transformada (MU , AUµ ) es una de la forma
M U (x) = U -1(x)M (x)U (x) , AUµ (x) = U -1(x)µU (x) + U -1(x)Aµ(x)U (x) ,
(A.1)
donde la transformaci´on gauge U(x) es una funci´on que toma valores sobre matrices en
el espacio interno. Esta transformaci´on corresponde a una transformaci´on de semejanza de Dµ de la forma DµU = µ + AUµ (x) = U -1(x)DµU (x), donde U (x) se considera que es un operador multiplicativo en el espacio de Hilbert H de las funciones de onda. Debido a
que f (M, Dµ) est´a construido con M, Dµ y c-nu´meros, se sigue que f (M, Dµ) tambi´en se transforma bajo una transformaci´on de semejanza
f (M U , DµU ) = U -1f (M, Dµ)U .
(A.2)
U(x) pertenece a cierto grupo gauge G y el campo gauge Aµ(x) es un elemento del a´lgebra de Lie de G. La clase de matrices M(x) debe ser cerrada bajo transformaciones gauge. U(x) debe ser una funci´on continua del espacio-tiempo y a temperatura finita ha de ser peri´odica (salvo una posible fase global) como funci´on de x0. Notar que una transformaci´on gauge deja invariante el espectro de f (M, Dµ), por tratarse de una transformaci´on de semejanza.
171
172
Cap´itulo A: Transformaciones Gauge
A.2. Gauges estacionarios
En c´alculos expl´icitos suele ser usual fijar el gauge a trav´es de la condicio´n 0A0 = 0, que no implica p´erdida de generalidad ya que este gauge siempre existe.1 Esto quiere decir que para cada configuraci´on existe una transformaci´on gauge que la lleva a la configuracio´n estacionaria. Una vez fijado este gauge, queda au´n cierta libertad. Cuando se trabaja en el gauge estacionario, para comprobar la invariancia gauge es necesario encontrar el resto de transformaciones compatibles con este gauge y ver que todas ellas producen el mismo resultado. A continuaci´on vamos a determinar cua´l es la transformaci´on gauge ma´s general de este tipo.
Sean Aµ y Bµ dos configuraciones estacionarias y sea U una transformaci´on gauge que transforma Aµ en Bµ. Esto quiere decir
B0(x) = U -1(x)0U (x) + U -1(x)A0(x)U (x) .
(A.3)
Notar que el primer t´ermino cambia la magnitud de A0 y el segundo simplemente lo rota en el espacio interno. Podemos simplificar esta ecuaci´on si hacemos uso de la variable auxiliar V (x) = exp(x0A0(x))U(x), con lo que queda
B0(x) = V -1(x)0V (x) .
(A.4)
La soluci´on ma´s general de (A.4) va a estar formada por una transformaci´on gauge arbi-
traria independiente del tiempo y por una transformaci´on cuya dependencia temporal sea
lineal2
V (x) = U0(x)ex0B0(x) .
(A.5)
Un modo conveniente de escribir la transformaci´on es haciendo uso del cambio de variable
B0(x) = U0-1(x)(A0(x) + (x))U0(x) ,
(A.6)
con lo cual finalmente queda
U (x) = e-x0A0 e (x) x0(A0(x)+(x))U0(x) .
(A.7)
Ahora debemos imponer la condicio´n de que U(x) es funci´on peri´odica de x0, salvo una
posible fase global
U (x0 + , x) = eiU (x0, x) .
(A.8)
Aqu´i es una fase global escalar multiplicada por la matriz identidad. Esto conduce a la
restricci´on
e(A0(x)+(x)) = eieA0(x) ,
(A.9)
lo cual va a producir una discretizaci´on en la parte temporal de la transformaci´on gauge. De (A.9) se deduce que A0(x) y (x) deben conmutar con exp(A0(x)). Si el espectro de
1Este gauge es conocido en la literatura como 'gauge de Polyakov', aunque nosotros nos referiremos a
´el tambi´en como gauge estacionario. 2Una dependencia no lineal dar´ia lugar a una contribuci´on temporal en B0.
A.3 Particularizacio´n al grupo gauge SU(Nc)
173
la matriz unitaria exp(A0(x)) es no degenerado, ´esta puede ser diagonalizada en una base
que es esencialmente u´nica e independiente de x. En este caso A0(x) y (x) deben ser diagonales en la misma base y por tanto van a conmutar entre s´i. Esto da lugar a que la
condicio´n sobre sea
e(x) = ei ,
[A0(x), (x)] = 0 .
(A.10)
La primera condicio´n conduce a que los valores propios de (x) sean de la forma j = i( + 2nj)/, nj Z. Notar que por continuidad estos enteros deben ser independientes de x. Finalmente la transformaci´on gauge queda
U (x) = ex0(x)U0(x) ,
(A.11)
expresi´on va´lida cuando el espectro de exp(A0(x)) es no degenerado.
A.3. Particularizaci´on al grupo gauge SU(Nc)
A.3.1. Simetr´ia del centro del grupo gauge
Consideremos espec´ificamente el grupo gauge SU(Nc). En la ecuaci´on (A.8), tomando en cada miembro el determinante y teniendo en cuenta que Det(U) = 1, obtenemos que los valores permitidos de son cuando Det[exp(i)] = 1, esto es = 2n/Nc, n Z. Puesto que solamente est´an permitidos valores discretos para , esto implica que la matriz debe ser independiente de x, por continuidad. Como ejemplo, en SU(2) los valores propios de son de la forma j = inj/, nj Z. Para SU(Nc), con Nc > 2, es siempre posible elegir una representacio´n fundamental en la cual todos los generadores diagonales excepto uno tengan al menos un valor propio cero [por ejemplo, las matrices de Gell-Mann 3 y 8 para SU(3)]. La transformaci´on U se escribir´a
U (x) = exp(x0aa)U0(x) ,
(A.12)
donde a/2i son los generadores diagonales del grupo. Los t´erminos a correspondientes a cada uno de los generadores con un valor propio cero deben ser de la forma a = i2na/.
El otro generador Nc2-1 viene dado por
Nc2-1 = diag(1, 1, · · · , 1 - Nc) ,
(A.13)
donde es un factor de normalizacio´n. En este caso Nc2-1 = i2n/(Nc) dan lugar a transformaciones gauge permitidas. Esto quiere decir que adema´s de la simetr´ia gauge SU(Nc), exite una simetr´ia extra global Z(Nc), que es el centro del grupo gauge. Esta simetr´ia es generada por la accio´n de transformaciones gauge locales que son peri´odicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario de Z(Nc),
U (x0 + , x) = z U (x0, x) ,
z = ei2n/Nc ,
(A.14)
mo´dulo transformaciones gauge locales estrictamente peri´odicas.
174
Cap´itulo A: Transformaciones Gauge
A.3.2. Rotura expl´icita de la simetr´ia del centro
La situacio´n cambia si hay fermiones en la teor´ia. Puesto que los fermiones transforman como U, no hay factores U-1 que cancelen la fase global. Por tanto, con objeto de que las condiciones de contorno temporales para fermiones queden inalteradas bajo transformaciones gauge, s´olo est´an permitidas transformaciones que satisfagan (A.8) con = 0. Esto quiere decir que los fermiones rompen la simetr´ia del centro del grupo gauge que est´a presente en todas las teor´ias gauge puras. En consecuencia, la forma ma´s general de a para una teor´ia SU(Nc) con fermiones es a = i2na/.
La rotura de la simetr´ia del centro del grupo gauge se manifiesta en que algunos de los m´inimos absolutos degenerados del potencial efectivo de la teor´ia gauge pura dejan de serlo cuando la teor´ia incluye fermiones. No obstante, es posible probar que estos m´inimos seguir´an siendo puntos estacionarios del potencial efectivo completo con fermiones. En el gauge de Polyakov A0 es independiente del tiempo y diagonal. Una matriz diagonal arbitraria de su(Nc) se puede escribir siempre como una combinaci´on lineal de matrices que tengan al menos un cero en la diagonal y la matriz Nc2-1 dada en (A.13). U´ nicamente esta u´ltima matriz pondr´a de manifiesto el m´inimo que estamos buscando, por lo comentado anteriormente. El potencial efectivo de QCD que calculamos en el cap´itulo 3 se puede escribir como
L0,q(x)
=
-
(2)2 34
Nf
trB4
1 2
+
,
(x) = ei2 ,
-
1 2
<
<
1 2
,
(A.15)
para el sector fermi´onico y
L0,g (x)
=
22 34
trB4
()
,
(x) = ei2 , 0 < < 1
(A.16)
para el sector glu´onico. tr es traza en la representacio´n fundamental del grupo gauge y tr es
en la representacio´n adjunta. Los valores propios del loop de Polyakov en la representacio´n
fundamental son A = exp(i2A), A exp(i2(A - A )), A, A = 1, . . . , Nc.
= Si
1, . . . , Nc, y hacemos uso
en de
la la
representacio´n representacio´n
adjunta en serie
AA = de los
polinomios de Bernoulli [52]
B2(x)
=
(-1)-12(2)! (2)2
cos(2nx) n2
,
n=1
0 x 1 , n = 1, 2, . . .
(A.17)
y nos limitamos a considerar el potencial efectivo para Nc2-1 obtenemos
L0,q (x)
=
4Nf 24
(-1)n n4
{(Nc
-
1)
cos(2n)
+
cos((Nc
-
1)2n)}
,
n=1
L0,g (x)
=
-
2 2
4
1 n4
2(Nc - 1) cos(2nNc) + (Nc - 1)2
.
n=1
(A.18) (A.19)
A.3 Particularizacio´n al grupo gauge SU(Nc)
175
Los m´inimos de L0,g se encuentran en = m/Nc, con m entero. Si diferenciamos el lagrangiano L0,q respecto a se puede comprobar que estos m´inimos se corresponden exactamente con puntos estacionarios (m´inimos o ma´ximos) de la parte fermi´onica. En consecuencia, el
potencial efectivo total siempre va a tener puntos estacionarios en = m/Nc.
176
Cap´itulo A: Transformaciones Gauge
Ap´endice B
Integrales en tiempo propio con regularizaci´on dimensional
Para obtener el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop del cap´itulo 3 hemos necesitado calcular las trazas en espacio interno y las integrales en . En este ap´endice calcularemos la expresi´on gen´erica de la siguiente integral regulada dimensionalmente
I±,n() =
0
d
(4µ2 ) ±n (ei2)
,
, , R ,
n = 0, 1, 2, . . .
(B.1)
Las funciones n las definimos en su momento como
±n (; /2)
=
(4 )1/2
n/2Qne Q2 ,
p±0
Q
=
ip±0
-
1
log()
,
(B.2)
donde en la versio´n boso´nica sumamos sobre las frecuencias de Matsubara p+0 = 2n/,
y
en
la
versio´n
fermi´onica
sobre
p-0
=
2(n
+
1 2
)/
.
Centr´emonos
por
el
momento
en
la
versio´n boso´nica de la funci´on n. Vamos a tener
I+,n() = (4µ2)
4
2i
n
(k - )n
kZ
d
++(n-1)/2
e-(
2
)2 (k-
)2
,
0
Z. (B.3)
Debido a la sumatoria en k Z, la funci´on es peri´odica en con per´iodo 1. El caso Z
ser´a discutido ma´s tarde. La integral sobre se calcula y se obtiene
I+,n() = in(4µ2)
2
2(+)
(
+
+ (n +
(
1 2
)
1)/2)
kZ
(k |k
- -
)n |n
|k
-
1 |2(+)+1
.
(B.4)
177
178
Cap´itulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacio´n dimensional
Definamos = k0 + , donde 0 < < 1 y k0 Z. La suma sobre k la podemos dividir en una suma para k k0 y otra para k > k0
I+,n() = in(4µ2)
2(+) ( + + (n + 1)/2)
2
(
1 2
)
×
kk0
(k0
+
(-1)n - k)2(+)+1
+
k>k0
(k
-
k0
1 - )2(+)+1
. (B.5)
Si hacemos uso de la funci´on de Riemann generalizada [52]
(z,
q)
=
n=0
(n
1 +
q)z
[Re z > 1, q = 0, -1, -2, . . .] ,
(B.6)
llegamos a la siguiente expresi´on
I+,n() = (4)
µ 2 2 ( + + (n + 1)/2)
2
2
(
1 2
)
× (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) ,
(B.7)
donde = (mod 1), 0 < < 1.
Las versiones boso´nica y fermi´onica de las funciones n est´an relacionadas por -,
esto es +n () = -n (-). Por tanto I-,n se puede obtener a partir de las integrales I+,n con
el
cambio
+
1 2
,
I-,n() =
(4)
µ 2 2 ( + + (n + 1)/2)
2
2
(
1 2
)
×
(-i)n (1
+
2
+
2,
1 2
+
)
+
in (1
+
2
+
2,
1 2
-
)
, (B.8)
donde
=
(
+
1 2
)
(mod
1)
-
1 2
,
-
1 2
<
<
1 2
.
Notar
que
I±,2n ( )
=
(-1)n
( + (
+ +
n +
+
1 2
)
1 2
)
I±,0(
)
,
I±,2n+1 ( )
=
(-1)n
( + (
+ +
n +
+ 1) 1)
I±,1(
)
.
(B.9)
Estas funciones son peri´odicas en y bajo paridad se comportan
I±,n() = (-1)nI±,n(-) .
(B.10)
En el problema de la reduccio´n dimensional de la teor´ia de Yang-Mills u´nicamente se
suma sobre fluctuaciones cua´nticas no est´aticas (n = 0). Con objeto de preservar las propiedades de periodicidad y paridad de las funciones I+,n, definimos las integrales boso´nicas
179
sin el modo est´atico eliminando la frecuencia k = k0
cuando
>
1 2
.
Haciendo
esto
en
(B.5)
se
obtiene
cuando
<
1 2
y
la
frecuencia
k
=
k0 +1
I+,n() = (4)
µ 2
2
2
2 ( + + (n + 1)/2)
(
1 2
)
×
(-i)n(1 + 2 + 2, 1 + ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) , (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 2 - ) ,
(B.11)
0
1 2
<
<
1 2
1
, .
Estas funciones son finitas, incluso para valores enteros de . Consideremos ahora Z. En este caso el modo est´atico p+0 = 0 de las integrales I+,n()
con n = 0 no contribuye. Este modo va a contribuir solamente en I+,0 dando origen a divergencias infrarrojas o ultravioletas. En regularizacio´n dimensional la integral I+,0()|p0=0 con Z se define como cero ya que no tiene una escala natural. Esto conduce a la siguiente
prescripci´on
I+,n() = I+,n = (4)
µ 2 2 ( + + (n + 1)/2)
2
2
(
1 2
)
×
2(-1)n/2(1 + 2 + 2) , 0,
(n par) (n impar)
Z
.
(B.12)
180
Cap´itulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacio´n dimensional
Ap´endice C
Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)
En este ap´endice presentaremos el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop a temperatura alta calculado en el cap´itulo 3, para SU(2) en el sector de quarks y en el sector glu´onico, incluyendo todos los t´erminos hasta dimensi´on de masa 6. Los resultados vienen dados en el esquema MS, y hemos considerado expl´icitamente un cutoff infrarrojo. Las convenciones son las que aparecen en la secci´on 3.7.
L´arbol(x)
=
1 4g2(µ)
Fµ2
,
(C.1)
L0,g(x) =
2T 4 3
- 1 + 42(1 - )2 5
,
(C.2)
L2,g (x)
=
-
11 962
1 11
+
2
log
µ 4T
- () - (1 - ) Fµ2
-
11 962
T m
+
1 11
+ 2 log
µ 4T
+
E
-
1 2
()
-
1 2
(1
-
)
Fµ2
+
1 24
2
Ei2
-
1 482
T m
Ei2 ,
(C.3)
L3,g (x)
=
61 21602
1 4T
2
8
T m
3
+ 2(3) - () - (1 - ) (Fµ × F) · Fµ
-
1 482
1 4T
2
[() + (1 - )] F2µ
+
1 96
2
1 4T
2
16
T m
3
+ 4(3) - () - (1 - ) F2µ
181
182
Cap´itulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)
+
1 4802
1 4T
2
[() + (1 - )] Fµ2µ
-
1 9602
1 4T
2
16
T m
3
+ 4(3) - () - (1 - ) Fµ2µ
-
3 802
1 4T
2
[() + (1 - )] F02µ
+
3 1602
1 4T
2
-8
T m
3
+ 4(3) - () - (1 - ) F02µ
-
1 102
12 4T
T m
3
E02i
+
1 2402
1 4T
2
[() + (1 - )] Ei2i
-
1 4802
1 4T
2
-8
T m
3
+ 4(3) - () - (1 - ) Ei2i
+
1 2402
1 4T
2
[() + (1 - )] ijk(Ei × Ej) · Bk
(C.4)
+
1 2402
1 4T
2
8
T m
3
- 4(3) - () - (1 - ) ijk(Ei × Ej) · Bk ,
L0,q (x)
=
2 3
2
T
4Nf
2 15
-
1 4
(1
-
42)2
,
(C.5)
L2,q(x) =
Nf 962
2 log
µ 4T
-
(
1 2
+
)
-
(
1 2
-
)
Fµ2
-
Nf 482
Ei2
,
(C.6)
L3,q (x)
=
Nf 9602
1 4T
2
(
1 2
+
)
+
(
1 2
-
)
(C.7)
×
16 3
(Fµ
×
F)
·
Fµ
+
5 2
F2µ
-
Fµ2µ
-
2ijk(Ei
×
Ej )
·
Bk
+
3F02µ
-
2Ei2i
.
a × b es el producto vectorial de a y b, esto es
(a × b)i = ijkajbk .
(C.8)
Como vemos, las contribuciones de los quarks no distinguen entre componentes paralelas
y perpendiculares. Esto se debe a que en SU(2) una funci´on par en en la representacio´n
fundamental es necesariamente un c-nu´mero. Puesto que todas las funciones n() involucradas en los t´erminos de dimensi´on 6 son pares [n()+n(-1) = c·12×2], la dependencia en de las ecs. (3.30) y (3.32) sale fuera de la traza, de modo que A0 no ser´a una direccio´n
183
privilegiada en espacio de color. Este propiedad no se cumple en la representacio´n adjunta (sector glu´onico), ni tampoco en otros grupos SU(Nc) (por ejemplo, ec. (3.117)).
Las divergencias infrarrojas est´an sujetas a que sea entero, de modo que no existen en el sector fermi´onico, y se cancelan en las contribuciones gluo´nicas que u´nicamente involucran componentes paralelas.
184
Cap´itulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)
Ap´endice D
Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de Polyakov
En este ap´endice se explicara´ en detalle el c´alculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita presentado en la secci´on 5.5. El c´alculo se divide en tres partes. En primer lugar se construir´a el operador de Klein-Gordon a partir del operador de Dirac y su adjunto para la parte real de la accio´n efectiva. Haciendo uso de la representacio´n de Schwinger de tiempo propio, deberemos calcular el heat kernel para este operador. Para ello haremos uso de la t´ecnica desarrollada en el cap´itulo 2. Calcularemos las trazas en los grados de libertad internos (en nuestro caso, sabor). Finalmente, haremos uso de las ecuaciones de movimiento con objeto de tener en cuenta el hecho de que los campos pio´nicos est´an en la capa de masas.
D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo
El operador de Dirac que aparece en el determinante fermi´onico se comporta de manera covariante bajo transformaciones quirales. Esto implica que, en principio, habr´ia que considerar tanto el acoplamiento vector como el axial. Conseguiremos una gran simplificacio´n en nuestro tratamiento si hacemos uso de los convenios de ref. [148, 149], donde se muestra que es suficiente con llevar a cabo el c´alculo en el caso de un acoplamiento vector, y posteriormente reconstruir el resultado quiral total de un modo conveniente.
Consideremos el siguiente operador de Dirac con un acoplamiento tipo vector
D =D/ +h, h = m + z ,
(D.1)
donde h incluye el campo del pio´n m, que es orden O(p0), y el t´ermino de masa z que rompe 185
Cap´itulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de
186
Polyakov
expl´icitamente la simetr´ia quiral, y que tomamos O(p2). Nuestra notacio´n es la siguiente
hLR
=
MU
+
1 2B0
,
hRL
=
MU
+
1 2B0
.
La parte real de la accio´n efectiva es, formalmente
(D.2)
+q [v,
h]
=
-
1 2
Tr
log(DD)
=:
dx0
0
d3x Lq(x) ,
donde el operador de Klein-Gordon relevante viene dado por
(D.3)
DD
=
-Dµ2
-
1 2
µ
Fµ
-
µDµh
+
m2
+
h2
,
h2 = h2 - m2 = {m, z} + z2 .
(D.4)
El problema radica en hacer un desarrollo en derivadas covariantes para la accio´n efectiva.
Podemos
identificar
el
operador
de
masa
M (x)
=
-
1 2
µ
Fµ
-
µDµh
+
h2.
Haciendo
uso
de la representacio´n de Schwinger de tiempo propio, el lagrangiano efectivo en espacio
eucl´ideo se puede escribir como
Lq
=
1 2
d ( ) Tr e-DD = 1
0
2
0
d
(
)
e- M 2 (4 )2
ntr bTn .
n
(D.5)
En esta representacio´n haremos uso de la regularizacio´n de Pauli-Villars [107]
( ) =
cie- 2i .
(D.6)
i
Hasta O(p4) obtenemos las siguientes contribuciones para los coeficientes de Seeley-DeWitt
t´ermicos, despu´es de haber tomado la traza de Dirac
bT0 = 40() , bT1/2 = 0 ,
bT1 = -40()h2 = -40() {m, z} + z2 , bT3/2 = 0 ,
bT2
= 20()
(hµ)2
+
h4
-
1 3
Fµ2
-
2 3
2Ei2
= 20()
(mµ)2
+
{mµ,
zµ}
+
{m,
z}{m,
z}
-
1 3
Fµ2
-
2 3
2()Ei2
+
O(p6)
,
bT5/2
=
-
2 3
1{Ei,
(h2)i}
=
-
2 3
1{Ei
,
Di{m,
z}}
=
O(p5)
,
bT3
=
-
2 3
0()
mµ{mµ, {m, z}} + {m, z}mµmµ + {Fµ , mµm } - mµFµ m
+
1 2
(mµ
)2
+
1 3
2(m0µ)2
+
O(p5)
,
D.2 Trazas de sabor e identidades u´tiles
187
bT7/2 = O(p5) ,
bT4
=
1 6
0()(mµ
mµm
m
+
mµm m mµ
-
mµmmµm )
+
O(p5)
.
(D.7)
D.2. Trazas de sabor e identidades u´tiles
Para Nf = 3 sabores se tiene la siguiente identidad de SU(3)
tr(ABAB)
=
-2tr(A2B2)
+
1 2
tr(A2
)tr(B2)
+
(tr(AB))2
,
(D.8)
donde A y B son matrices herm´iticas 3 × 3 de traza cero. De aqu´i se tiene
trf (mµm mµm)
=
-2trf ((mµ)2(m)2)
+
1 2
trf
((mµ)2)trf
((m
)2)
+
(trf (mµm ))2
,
(D.9)
trf
(m0mµm0mµ)
=
-2trf ((m0)2(mµ)2)
+
1 2
trf
((m0)2)trf
((mµ)2)
+
(trf
(m0mµ))2
.
(D.10)
Otras identidades u´tiles son
trf ((mµ)2) = trf ((mµµ)2) - 2trf (Fµmµm ) + trf (mFµ mFµ ) - M 2trf (Fµ2 ) , (D.11)
trf ((m0µ)2) = trf (m00mµµ) - 2trf (Ei[m0, mi]) - 2trf (E0immi) ,
(D.12)
donde hemos hecho uso de la propiedad Xµ = Xµ + [Fµ, X]. Podemos aplicar las ecuaciones de movimiento, ec. (D.30), para obtener
trf (mµzµ)
=
1 2B0M 2
trf
(mµmµmx)
-
1 4B0M
trf
(mxmx)
+
M 4B0
trf (x2)
+
8M
1 Nf
B0
trf
([m,
x])trf
([m,
x])
,
(D.13)
trf (mµµm )
=
1 M2
trf (mµmµmm )
-
1 2
trf
(mxmx)
+
M 2
2
trf
(x2
)
+
1 4Nf
trf
([m,
x])trf
([m,
x])
,
(D.14)
trf (m00mµµ)
=
1 M2
trf (m0m0mµmµ)
-
M trf (m00x)
-
1 M
trf (m0m0mx)
+
1 2M Nf
trf
(m00m)trf
([m,
x])
.
(D.15)
donde se han introducido los campos normalizados x = 2B0z. La notacio´n es la siguiente:
xLR = ,
xRL = .
(D.16)
Cap´itulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de
188
Polyakov
Haciendo uso de (D.9)-(D.15) podemos calcular la traza en espacio de sabor de los coeficientes de Seeley-DeWitt. Esto conduce a
trf bT0 trf bT1 trf bT2 trf bT3
trf bT4
= 4Nf 0() ,
= -0()
4 B0
trf
(mx)
+
1 B02
trf
(x2)
,
=
20()trf
(mµmµ)
+
2 B0M 2
0()trf (mµmµmx)
+
1 B0
1 B0
-
1 M
0()trf (mxmx)
+
M B0
M B0
+
1
0()trf (x2)
-
2 3
0()trf (Fµ2)
-
2 3
2()trf
(Ei2)
+
1 2M Nf
B0
0()trf ([m,
x])trf ([m,
x])
,
=
-
4 3
0
()trf
(Fµ
mµm
)
-
1 3
0
()trf
(mFµ
mFµ
)
+
1 3
M
20
()trf
(Fµ
)
-
1 6
M
2
0()trf
(x2
)
+
1 6
0()trf
(mxmx)
-
2 B0
0()trf (mµmµmx)
-
1 3M
2()trf (m0m0mx)
-
M 3
2()trf (m00x)
-
2 3
2()trf
(Ei[m0,
mi])
-
2 3
2()trf (E0immi)
-
1 3M 2
0()trf (mµmµm m)
+
1 3M
2
2()trf (m0m0mµmµ)
-
1 12Nf
0()trf ([m,
x])trf
([m,
x])
+
1 6M Nf
2
()trf
(m00m)trf
([m,
x]))
,
=
-
1 12
0()trf
(mµmµ
)trf
(m
m
)
-
1 6
0()trf
(mµm
)trf
(mµ
m
)
+
2 3
0()trf
(mµ
mµ
m
m
)
.
(D.17)
D.3. Integrales en tiempo propio
Las integrales en tiempo propio b´asicas que definimos son
Jl(, M, ) := J l(, M, ) :=
0
d
( ) le-M20()
,
0
d
( ) le-M22()
,
(D.18) (D.19)
donde = ei2 es una matriz SU(Nc) en espacio de color. Haciendo uso de la fo´rmula de Poisson para la sumatoria, podemos escribir 0 y 2 del siguiente modo
0() =
e-
n2 2 4
(-)n
,
nZ
(D.20)
D.4 Ecuaciones cl´asicas de movimiento
189
2()
=
2 2
n2e-
n2 2 4
(-)n
.
nZ
(D.21)
La contribucio´n de temperatura cero viene dada por el t´ermino n = 0, y para ´el es necesario aplicar una regularizacio´n (aqu´i usamos Pauli-Villars). En los t´erminos n = 0 la regularizacio´n puede ser eliminada, pues el ban~o t´ermico actu´a de por s´i como un regulador ultravioleta. Esta aproximaci´on est´a justificada a temperaturas suficientemente pequen~as T PV. T´ipicamente PV 1 GeV de modo que incluso para T M 300 MeV la aproximaci´on es va´lida. El c´alculo de las integrales conduce a
Jl(, M, ) = 1Nc×Nc(l) ci(2i + M 2)-l
(D.22)
i
+2
2M
l
nlKl(nM )((-)n + (-)-n) ,
Re(l) > 0 ,
n=1
J0(, M, ) = -1Nc×Nc ci log(2i + M 2)
i
+2 K0(nM )((-)n + (-)-n) ,
(D.23)
n=1
J-1(, M, ) = 1Nc×Nc ci(2i + M 2) log(2i + M 2)
i
+
4M
K1(nM n
)
((-)n
+
(-)-n)
,
n=1
J-2(, M, )
=
-1Nc ×Nc
1 2
ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2)
i
+8
M
2
K2(nM n2
)
((-)n
+
(-)-n)
,
n=1
J l(, M, )
=
l+1 (2M )l-1
n=1
nl+1Kl-1(nM )((-)n
+
(-)-n) ,
l R.
(D.24)
(D.25) (D.26)
D.4. Ecuaciones cl´asicas de movimiento
A orden O(p2) el lagrangiano quiral se escribe
Lq(2) =
0
d
(
)
e- M 2 (4)2
trc0()
trf (mµmµ)
-
4
trf
(mz
)
=
1 (4)2
trcJ0(, M, )trf (mµmµ) - 4trcJ-1(, M, )trf (mz)
Cap´itulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de
190
Polyakov
=
M2 (4)2
trcJ0
(,
M
,
)
trf (DµU DµU )
-
2 M
trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, )
trf
(zRLU
+
zLRU )
=
M2 (4)2
trcJ0
(,
M
,
)trf
DµU DµU - (U + U )
,
(D.27)
donde la normalizacio´n del campo viene dada por el factor
= 2B0 zLR ,
= 2B0 zRL ,
B0
=
1 M
trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, )
.
(D.28)
y
f2 4
=
M2 (4)2
trcJ0(,
M,
)
.
(D.29)
Si minimizamos la accio´n a este orden, se obtienen las ecuaciones de movimiento de Euler-
Lagrange
mµµm
+
mµmµ
-
M 2
[m,
x]
+
M 2Nf
trf ([m,
x])
=
0
.
(D.30)
El u´ltimo t´ermino en ec. (D.30) viene de imponer la condicio´n Det(U) = 1, pues estamos considerando un grupo de sabor SU(Nf ).
D.5. Lagrangiano Efectivo
El lagrangiano efectivo se puede escribir como
Lq = Lq(0) + Lq(2) + Lq(4) + · · · .
(D.31)
Haciendo uso de la expresi´on del lagrangiano en ec. (D.5), los coeficientes de Seeley-DeWitt de ec. (D.17) y despu´es de calcular la integral en tiempo propio con regularizacio´n de PauliVillars, se obtiene
Lq(0)
=
2Nf (4)2
trcJ-2(,
M,
)
,
(D.32)
Lq(2)
=
f2 4
trf
DµU DµU - (U + U )
,
Lq(4) = -L1trf (uµuµ)trf (uu) - L2trf (uµu)trf (uµu) - L3trf (uµuµuu)
-L3trf (u0u0uµuµ) + 2L4trf (uµuµ)trf (xu) + 2L5trf (uµuµux)
+2L5trf (u0u0ux) + 2L5trf (u00x) - 2(L6 + L7)trf (ux)trf (ux)
-2(L6 - L7)trf (ux)trf (xu) + 2Ltrf (u00u)trf ([u, x]) - 2L8trf (uxux)
-2L9trf (Fµ uµu) - 2L9trf (Ei[u0, ui]) - 2L9trf (E0iuui)
+L10trf (uFµuFµ) + 2H1trf (Fµ2) + 2H1trf (Ei2) - H2trf (x2) ,
(D.33)
donde se ha usado la notaci´on m = Mu. Los coeficientes que aparecen en ec. (D.33) se han escrito de manera que se correspondan con la convencio´n de Gasser-Leutwyler.
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