arXiv:1701.00083v1 [hep-ph] 31 Dec 2016 Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD y Modelos de Quarks Quirales Eugenio MegŽias FernaŽndez Departamento de FŽisica AtoŽmica, Molecular y Nuclear Universidad de Granada · Abril 2006 · D. ENRIQUE RUIZ ARRIOLA, CatedraŽtico del Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear y D. LORENZO LUIS SALCEDO MORENO, Profesor titular del Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear, CERTIFICAN: Que la presente memoria de investigaciŽon, Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD y Modelos de Quarks Quirales, ha sido realizada bajo su direcciŽon en el Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada, por EUGENIO MEGŽIAS FERNAŽ NDEZ, y constituye su Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias FŽisicas por la Universidad de Granada. Y para que asŽi conste, en cumplimiento de la legislaciŽon vigente, presenta ante la Universidad de Granada la referida Tesis. En Granada, a 27 de abril de 2006. Fdo.: Enrique Ruiz Arriola Fdo.: Lorenzo Luis Salcedo Moreno Fdo.: Eugenio MegŽias FernŽandez 5 7 AGRADECIMIENTOS Deseo expresar mi maŽs sincero agradecimiento, en primer lugar a mis dos directores Enrique y Lorenzo Luis, pues se han involucrado por igual en la propuesta y el desarrollo de las diferentes lŽineas de investigaciŽon que constituyen esta tesis y han sabido aportarme la mejor ciencia que sabe hacer cada uno, que es mucha. Al Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear, por haberme dado la posibilidad de trabajar en Žel, lo que me ha permitido comprobar la enorme calidad cientŽifica y humana de sus miembros. A Wojciech Broniowski, por su admirable humanidad. Guardo un grato recuerdo de mi estancia en Cracovia, donde no sŽolo aprendŽi fŽisica. Estoy en deuda con Miguel Angel, mi profesor de fŽisica en secundaria, por haberme inculcado esa ilusiŽon por la fŽisica e iniciarme en el camino. Mis padres JosŽe Antonio y Aurora han sufrido maŽs directamente mis cambios de humor. Les renocozco su sacrificio, y los admiro por saber dominar los momentos difŽiciles y disfrutar de los momentos agradables. Finalmente doy las gracias a quien lea total o parcialmente esta tesis, y espero que pueda sacar de ella resultados importantes. Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la D.G.I. y fondos FEDER con proyecto FIS-2005-00810, la Junta de AndalucŽia con proyecto FM-225, EURIDICE con proyecto HPRN-CT-2002-00311 y el Ministerio de EducacioŽn y Ciencia mediante una beca de Postgrado para la FormacioŽn de Profesorado Universitario. Ha sido realizado al amparo del Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada. 8 ŽIndice general 1. IntroducciŽon 13 1.1. CromodinŽamica CuŽantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. SimetrŽia del centro y transiciŽon de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. TeorŽias quirales efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Heat kernel y accioŽn efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Desarrollo del Heat Kernel 21 2.1. Potencial macrocanoŽnico de un gas de partŽiculas libres relativistas . . . . . 21 2.2. MŽetodo de los SŽimbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . 31 2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3. AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta 41 3.1. Fundamentos de la TeorŽia de Yang-Mills a Temperatura Finita . . . . . . . 41 3.2. Sector fermiŽonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1. AccioŽn efectiva con representacioŽn de Schwinger . . . . . . . . . . . 44 3.2.2. Traza en espacio de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3. Sector gluŽonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1. MŽetodo del Campo de Fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.2. AccioŽn efectiva a un loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4. RenormalizacioŽn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5. Divergencias infrarrojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.6. TeorŽia efectiva dimensionalmente reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6.1. EliminacioŽn de los modos estŽaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.2. Desarrollo en A0 pequen~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.7. Resultados en SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 9 10 ŽINDICE GENERAL 3.7.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7.3. ComparaciŽon con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.8. Resultados en SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.8.3. ComparaciŽon con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4. Efectos no perturbativos por encima de la transicioŽn de fase 71 4.1. IntroduccioŽn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. Loop de Polyakov perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.1. Resultados perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.2. ReduccioŽn dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.3. Resultados perturbativos a Žordenes superiores . . . . . . . . . . . . 76 4.2.4. Ansatz gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3. Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . 79 4.4. ComparaciŽon con datos del retŽiculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4.1. Resultados en gluodinŽamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.2. Resultados unquenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.3. Otros resultados quenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.4. RelacioŽn con otras determinaciones del condensado . . . . . . . . . 88 4.5. EnergŽia libre de un quark pesado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energŽia libre . . . . . . . . . 89 4.5.2. ComparaciŽon con datos del retŽiculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5.3. AnalogŽia entre el loop de Polyakov y el potencial quark-antiquark a temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5. Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita 95 5.1. Transformaciones gauge grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.2. SimetrŽia del centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1.3. Rotura de la simetrŽia del centro por fermiones . . . . . . . . . . . . 97 5.2. Modelos de Quarks Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2.1. Modelo Quark de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2.2. Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3. ProblemŽatica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita . . . . 103 5.3.1. Tratamiento estŽandar a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3.2. GeneraciŽon de estados multi-quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.3. Conflicto con TeorŽia Quiral de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . 105 5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales . . 105 5.4.1. Acoplamiento mŽinimo del loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.2. Promedio sobre el grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 ŽINDICE GENERAL 11 5.4.3. SoluciŽon de la problemaŽtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5.1. Estructura del lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5.2. LEC para el modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.6. Correcciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.1. MŽas allŽa de un loop de quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.2. Correcciones gluŽonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 119 5.6.4. Resultados maŽs allŽa de la aproximaciŽon quenched . . . . . . . . . . 120 5.7. Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . 122 5.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6. Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias131 6.1. Tensor EnergŽia-Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.1. Formalismo de tŽetradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.2. Operador de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.1. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.4. CŽalculo de la accioŽn efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.5. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.5.1. EliminacioŽn de los acoplamientos vector y axial . . . . . . . . . . . 142 6.5.2. EliminacioŽn de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.5.3. Ecuaciones de movimiento clŽasicas para pseudoescalares . . . . . . 144 6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.6.2. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.6.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7. Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral 151 7.1. AccioŽn Efectiva del Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.2. AnomalŽias Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.2.1. CŽalculo de la anomalŽia quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.2.2. TŽermino de Wess-Zumino-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.3. Desarrollo quiral de la accioŽn efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial . . . . . . . . . . . . . 158 7.5. LŽimite de Nc grande y Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12 ŽINDICE GENERAL 8. Conclusiones 167 8.1. Resumen y Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.2. Anexo de artŽiculos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 A. Transformaciones Gauge 171 A.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 A.2. Gauges estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 A.3. ParticularizacioŽn al grupo gauge SU(Nc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A.3.1. SimetrŽia del centro del grupo gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A.3.2. Rotura explŽicita de la simetrŽia del centro . . . . . . . . . . . . . . . 174 B. Integrales en tiempo propio con regularizacioŽn dimensional 177 C. Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2) 181 D. Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de Polyakov 185 D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 D.2. Trazas de sabor e identidades uŽtiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 D.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 D.4. Ecuaciones clŽasicas de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 D.5. Lagrangiano Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 CapŽitulo 1 IntroducciŽon La extensiŽon de la TeorŽia de Campos de temperatura cero a temperaturas y densidades finitas es un paso natural que se produjo hace medio siglo [1, 2, 3, 4]. La TeorŽia de Campos a Temperatura y Densidad Finitas (TCTDF) [5, 6, 7], se desarrollŽo a partir de la TeorŽia Relativista de Muchos Cuerpos, y constituye una amalgama de TeorŽia de Campos y MecaŽnica EstadŽistica. Es aplicable en aquellos problemas de la fŽisica teoŽrica de partŽiculas que tienen caracterŽisticas de muchos cuerpos. A nivel teoŽrico se necesitan formulaciones apropiadas del problema tŽermico, para el cual se disponen de varios formalismos. Dos ejemplos son el formalismo de Tiempo Imaginario y el de Tiempo Real [8]. A pesar de la larga experiencia acumulada en este campo, muchos de los problemas planteados inicialmente auŽn siguen abiertos. Muchos son los logros de la TCTDF y se esperan muchos maŽs. Por una parte permite estudiar las teorŽias ya existentes maŽs allŽa del contexto en el que inicialmente fueron creadas. Esto significa explorar las propiedades de la materia en condiciones extremas, con altas temperaturas y densidades. Un ejemplo de esto es la teorŽia de QCD [9], que se creŽo como un intento de desarrollar una teorŽia fundamental de las interacciones fuertes. La TCTDF aplicada a QCD [10] predice que cuando la temperatura y las densidades aumentan, existe una transiciŽon a una fase en la que los quarks y gluones estŽan deconfinados (fase de desconfinamiento del color). TCTDF predice, por tanto, la existencia de un plasma de quarks y gluones que, de hecho, deberŽia existir en los primeros instantes del universo, de acuerdo con los modelos cosmoloŽgicos actuales. Esto tiene importantes consecuencias en el campo de la astrofŽisica, ya que la transiciŽon de fase podrŽia haber jugado un papel muy importante en la formacioŽn de materia oscura. Otro campo donde la TCTDF estŽa dando frutos importantes es en el contexto de las colisiones de iones pesados a muy alta energŽia. El hecho de que la transiciŽon de fase de QCD ocurra a temperaturas no excesivamente altas Tc 200 MeV hace que estas condiciones se puedan estudiar en el laboratorio. Existen estudios importantes de esta nueva fase de la materia en laboratorios actuales [BNL Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC)] [11] y es previsible que se continuŽen posteriormente en futuras instalaciones: Large Hadron Collider (LHC) en el CERN, y Schwerionen-Synchrotron (SIS 200) en el GSI. Finalmente, un tercer lugar donde pueden surgir tales condiciones extremas es en el interior de estrellas de neutrones, donde la densidad es superior a la densidad nuclear. 13 14 CapŽitulo 1: IntroduccioŽn Existen distintas tŽecnicas para estudiar el comportamiento de QCD en funciŽon de la temperatura y la densidad. Estas tŽecnicas se pueden agrupar en tres categorŽias diferentes: los mŽetodos perturbativos, los modelos efectivos de QCD en el retŽiculo y los mŽetodos semiclŽasicos (instantones) [10]. 1.1. CromodinŽamica CuŽantica La CromodinŽamica CuŽantica (QCD, Quantum Chromodynamics) fue desarrollada al comienzo de los an~os setenta y responde al intento de mucha gente de crear una teorŽia fundamental que dŽe cuenta de las interacciones fuertes [12, 13, 14]. Se trata de una teorŽia cuaŽntica de campos renormalizable. Sus campos fundamentales son espinores de Dirac que describen partŽiculas de espŽin 1/2, llamados quarks, y campos gauge correspondientes a partŽiculas de espŽin 1, llamados gluones. Al contrario que QED (Quantum Electrodynamics) que es una teorŽia abeliana, QCD es una teorŽia gauge no abeliana basada en el grupo gauge de color SU(Nc), de modo que constituye una generalizacioŽn de la teorŽia de QED para el electromagnetismo. Tanto los quarks como los gluones, que son las partŽiculas intermediarias de la interaccioŽn fuerte, llevan asociada una carga, llamada color. Como resultado los gluones pueden interaccionar consigo mismos y con los quarks. QCD viene descrita por el siguiente lagrangiano L = - 1 2g2 tr(F”2 ) + Nf qi(”D” + mi)qi , i=1 D” = ” + A” , F” = [D”, D] , (1.1) donde A” = Aa”Ta son los campos de los gluones, F” = F”aTa es el tensor Field Strength de SU(Nc), Ta son los generadores hermŽiticos de SU(Nc) y qi son campos de quarks de varios sabores. La teorŽia viene parametrizada por una uŽnica constante de acoplamiento g y por los paraŽmetros mi correspondientes a la masa desnuda de los quarks. La evidencia experimental indica que hay tres grados de libertad de color (Nc = 3), llamados tradicionalmente rojo, verde y azul, y seis sabores de quarks (Nf = 6). Los quarks de tipo up, down y strange son relativamente ligeros, mientras que charm, bottom y top son pesados. Gran parte del Žexito de la teorŽia reside en su habilidad para reproducir el comportamiento casi sin interaccioŽn de los quarks a muy cortas distancias [15]. Esta propiedad de la teorŽia, que se conoce como libertad asintŽotica, explica el escalamiento aproximado que se observa en las colisiones profundamente inelaŽsticas de leptones con hadrones [16, 17]. QCD tambiŽen parece consistente con mucha de la fenomenologŽia existente sobre las interacciones fuertes, como la simetrŽia quiral aproximada, la nociŽon de confinamiento de color o ciertos modelos de hadrones como el bag o el string. La teorŽia de QCD presenta varias simetrŽias. En primer lugar es invariante bajo el grupo de simetrŽia local SU(Nc), lo cual implica por ejemplo que la masa de los quarks es independiente de su color. Cuando la masa de los quarks es igual a cero, el lagrangiano de QCD (1.1) es invariante bajo el grupo de simetrŽia global SU(Nf )LŚSU(Nf )R, el cual 1.2 SimetrŽia del centro y transiciŽon de fase de QCD 15 se suele designar como grupo de simetrŽia quiral [18]. AdemaŽs existe una simetrŽia global U(1)B relacionada con la conservaciŽon del nuŽmero bariŽonico y una simetrŽia global axial U(1)A. Los generadores del Žalgebra quiral son conservados y serŽia de esperar que las partŽiculas formaran multipletes degenerados correspondientes a las representaciones irreducibles de este grupo. Pero no existe evidencia de que exista esta estructura de multipletes tan amplia, lo cual lleva a la idea de que la simetrŽia SU(Nf )L Ś SU(Nf )R estŽa espontŽaneamente rota. A temperatura cero, o en general a baja temperatura, el estado fundamental de la teorŽia rompe espontŽaneamente esta simetrŽia al grupo SU(Nf )V SU(Nf )L Ś SU(Nf )R -R-ES SU(Nf )V . (1.2) De acuerdo con el teorema de Goldstone esta rotura de la simetrŽia implica la existencia de Nf2 - 1 bosones de Goldstone pseudo-escalares sin masa. Para Nf = 2 estos son los tres piones +, - y 0, y para Nf = 3 tenemos, ademaŽs de los anteriores, los cuatro kaones K+, K-, K0 y KŻ 0, y el mesoŽn . La rotura de esta simetrŽia conduce ademaŽs a la aparicioŽn de condensados de quarks de la forma qq = 0. Podemos pensar en qq como en un paraŽmetro de orden que caracteriza la rotura de la simetrŽia quiral. Cuando la temperatura se incrementa por encima de un cierto valor Tc, la simetrŽia se recupera y el condensado de quarks se hace cero. 1.2. SimetrŽia del centro y transiciŽon de fase de QCD En gluodinŽamica pura, esto es en ausencia de fermiones, la teorŽia presenta una simetrŽia global extra asociada al centro Z(Nc) del grupo gauge de color SU(Nc). En el formalismo de tiempo imaginario, la simetrŽia Z(Nc) es generada por la accioŽn de transformaciones gauge locales que son periŽodicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario del centro U (1/T, x) = z U (0, x) , z = ei2n/Nc . (1.3) La transiciŽon a la fase de desconfinamiento puede verse como la rotura espontŽanea de la simetrŽia del centro a temperaturas suficientemente altas. Un paraŽmetro de orden natural para la simetrŽia Z(Nc) es el valor esperado del loop de Polyakov,1 que se define como L(T ) := P(x, T ) = 1 Nc trc T e- 1/T 0 dx0 A0 (x,x0 ) , (1.4) donde indica valor esperado en el vacŽio, trc es la traza en espacio de color (en representacioŽn fundamental), y T indica ordenacioŽn a lo largo del camino de integracioŽn. A0 es la componente temporal del campo gluŽonico (en tiempo euclŽideo). Bajo una transformaciŽon 1En esta memoria se haraŽ uso en ocasiones de una terminologŽia anglosajosa para algunas palabras, y se evitaraŽ su traduccioŽn con el fin de que el lector pueda identificar estos conceptos en la bibliografŽia. 'Loop de Polyakov' puede traducirse como 'bucle de Polyakov'. 16 CapŽitulo 1: IntroduccioŽn gauge con simetrŽia del centro, el loop de Polyakov transforma P zP, de modo que en la fase en que la teorŽia presenta la simetrŽia Z(Nc) (fase de confinamiento del color), el loop de Polyakov necesariamente vale cero. En la fase de desconfinamiento esta simetrŽia estaraŽ espontŽaneamente rota, y eso vendrŽa caracterizado por un valor no nulo para el loop de Polyakov. CŽalculos recientes muestran que en una teorŽia gluŽonica pura con Nc = 3 esta transiciŽon ocurre a una temperatura crŽitica Tc 270 MeV [19], y se trata de una transiciŽon de primer orden. FŽisicamente el promedio tŽermico del loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental determina la energŽia libre relativa al vacŽio de un uŽnico quark, e-Fq(x)/T = P(x, T ) , (1.5) y la funciŽon de correlacioŽn de dos loops de Polyakov conduce a la energŽia libre de un par quark-antiquark, e-FqŻq(x-y)/T = P(x, T )P(y, T ) . (1.6) La renormalizaciŽon del loop de Polyakov es un problema que hoy en dŽia estŽa abierto [20]. Recientemente se ha desarrollado un mŽetodo para renormalizar el loop de Polyakov en el retŽiculo [21, 22], y consiste bŽasicamente en el cŽalculo de la energŽia libre a partir de la funciŽon de correlacioŽn de dos loops de Polyakov, ec. (1.6). Los datos que se obtienen muestran un comportamiento que difiere claramente del predicho por teorŽia de perturbaciones [23] en la regioŽn cercana a la transiciŽon de fase, de modo que los efectos no perturbativos parecen ser dominantes en esta zona de temperaturas. Un punto importante es quŽe efectos produce la inclusiŽon de fermiones en una teorŽia gauge pura. En el caso de QCD, cuando se an~aden quarks en la representacioŽn fundamental, la simetrŽia del centro Z(Nc) se rompe explŽicitamente, y el loop de Polyakov no sirve, en principio, como paraŽmetro para caracterizar la transiciŽon de desconfinamiento. Una de las consecuencias es la modificacioŽn de las condiciones en que se produce la transiciŽon de fase. En concreto, los quarks tienden a suavizar la transiciŽon, de tal modo que en la teorŽia SU(3) se convierte en una transiciŽon de fase de segundo orden [22]. En cuanto a la simetrŽia quiral, Žesta se encuentra espontŽaneamente rota a baja temperatura, pero por encima de un cierto valor se recupera. El paraŽmetro de orden local en este caso es el condensado de quarks qq , que es diferente de cero a baja temperatura, donde la simetrŽia quiral estŽa rota, y cero por encima de la transiciŽon de fase quiral. Por tanto, desde un punto de vista teoŽrico la transiciŽon de fase de QCD consiste en realidad en dos transiciones de fase distintas, que podemos llamar transiciŽon de desconfinamiento de color y transiciŽon de restablecimiento de la simetrŽia quiral. Las simulaciones de QCD en el retŽiculo sugieren que, cuando se consideran fermiones sin masa, las dos transiciones tienen lugar a la misma temperatura, al menos en el caso de potencial quŽimico cero [24]. En este caso la temperatura de restablecimiento de la simetrŽia quiral es Tc 155 -205 MeV, donde el valor preciso depende del nuŽmero de sabores. Cuando se consideran masas fŽisicas para los quarks la situacioŽn no estŽa completamente clara. Para valores moderados de la masa, la transiciŽon quiral no tiene un paraŽmetro de orden bien definido, y no se produce una transiciŽon de fase pura sino uŽnicamente un cambio rŽapido (crossover). 1.3 TeorŽias quirales efectivas 17 Obviamente, es de esperar que todos estos fenoŽmenos de QCD a temperatura finita sean consistentes con invariancia gauge. La invariancia Lorentz se rompe explŽicitamente en cŽalculos a temperatura y densidad finitas, debido a que existe un sistema de referencia privilegiado, que es el ban~o tŽermico, y que se supone en reposo; no obstante, la invariancia gauge permanece como una simetrŽia exacta. En cŽalculos concretos en teorŽia de perturbaciones, la conservaciŽon de la invariancia gauge a temperatura cero se consigue con un nuŽmero finito de tŽerminos, sin embargo a temperatura finita es necesario considerar un nuŽmero infinito de tŽerminos, lo cual obligarŽia en un principio a hacer un tratamiento no perturbativo. 1.3. TeorŽias quirales efectivas Actualmente los grados de libertad hadrŽonicos se vienen tratando con teorŽias quirales efectivas en las cuales un ingrediente bŽasico son los bosones de Goldstone generados en la rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral de QCD [25, 26]. La aproximaciŽon por excelencia es la TeorŽia Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27]. Existen otras aproximaciones que se basan en la construccioŽn de modelos de quarks quirales como el modelo sigma [28] o el modelo de Nambu­Jona-Lasinio (NJL) [29, 30, 31]. La TQP se fundamenta en la construccioŽn de un lagrangiano efectivo invariante quiral como desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos y de la masa de los quarks. Este lagrangiano debe satisfacer ciertos requisitos de simetrŽia como invariancia gauge, invariancia Lorentz (a temperatura cero), paridad y conjugaciŽon de carga, y se escribe en tŽerminos de constantes de baja energŽia que se corresponden con funciones de Green de QCD. Los valores de estas constantes no pueden ser determinados a partir de argumentos de simetrŽia exclusivamente. Los modelos de quarks quirales aspiran, como TQP, a constituir una aproximaciŽon de la dinŽamica de QCD no perturbativa a baja energŽia. Estos modelos hacen uso explŽicito de grados de libertad de quarks. El modelo de Nambu­Jona-Lasinio ha sido muy utilizado en el pasado y auŽn se sigue utilizando. Las interacciones efectivas de cuatro fermiones del modelo NJL representan cierta aproximaciŽon a QCD. Sin embargo, desde un punto de vista teoŽrico auŽn no estŽa claro de quŽe modo estas interacciones de cuatro quarks surgen de QCD. En el caso de dos sabores uno de los mecanismos podrŽia ser las llamadas interacciones de 't Hooft, que consisten en la interaccioŽn de quarks a travŽes de los modos cero de instantones [32]. 1.4. Heat kernel y accioŽn efectiva La accioŽn efectiva, una extensiŽon a teorŽia cuaŽntica de campos del potencial termodinŽamico de mecaŽnica estadŽistica, juega un papel teoŽrico muy importante pues estŽa relacionada con cantidades de interŽes fŽisico. A un loop tiene la forma c Tr log(K), donde K es un operador diferencial que controla las fluctuaciones cuaŽnticas cuadrŽaticas sobre un fon- 18 CapŽitulo 1: IntroduccioŽn do clŽasico. Esta magnitud sufre algunas patologŽias matemaŽticas, tales como divergencias ultravioletas y multivaluaciŽon. Por ello resulta uŽtil expresar la acciŽon efectiva mediante la representacioŽn de tiempo propio de Schwinger2 - c Tr log(K) = c 0 d Tr e-K = c d 0 dDx tr x|e-K|x . (1.8) Al contrario que la accioŽn efectiva, el heat kernel (o maŽs concretamente su elemento de matriz) x|e-K|x es univaluado y finito en la regioŽn ultravioleta para valores positivos del paraŽmetro de tiempo propio . El heat kernel fue introducido por Schwinger [33] en teorŽia cuaŽntica de campos como una herramienta para regularizar divergencias ultravioletas de un modo que preserve invariancia gauge. El heat kernel y su desarrollo han sido aplicados tambiŽen en el estudio de densidades espectrales e Žindices de operadores de Dirac (D) [34, 35] en tŽerminos de operadores de KleinGordon (DD), para el cŽalculo de la funciŽon [36, 37] y anomalŽias de estos operadores [38], para definir la accioŽn efectiva de teorŽias gauge quirales [39], para el efecto Casimir [40], etc. El heat kernel se puede calcular perturbativamente haciendo un desarrollo en potencias del tiempo propio. En la presente memoria va a constituir una herramienta fundamental para el cŽalculo de las diferentes teorŽias efectivas que vamos a considerar. 1.5. Estructura de la tesis Esta tesis estŽa estructurada del siguiente modo: En el capŽitulo 2 se considera el heat kernel a temperatura cero, y se construye su generalizaciŽon a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario. Con objeto de conseguir un desarrollo que preserve la invariancia gauge orden por orden, haremos uso de una generalizacioŽn a temperatura finita del mŽetodo de los sŽimbolos [41], que permite calcular de un modo sencillo el desarrollo de una funciŽon en tŽerminos de operadores locales y covariantes gauge. Esto va a conducir a la definicioŽn del loop de Polyakov (sin traza), que es un objeto covariante gauge, y que aparece de manera natural en el desarrollo. El cŽalculo se hace para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios. En el capŽitulo 3 se considera la teorŽia gauge SU(Nc) de QCD, y se calcula su accioŽn efectiva a nivel de un loop en el rŽegimen de temperaturas grandes, haciendo uso del resultado del heat kernel del capŽitulo 2. Se calculan por separado el sector gluoŽnico y el 2La traza funcional de un operador A^ se define TrA^ dDx tr x|A^|x , (1.7) donde D es la dimensioŽn del espacio-tiempo y tr indica traza en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc). A lo largo de la tesis haremos uso de esta definiciŽon. 1.5 Estructura de la tesis 19 sector de quarks, y se hace un estudio de cŽomo los quarks rompen explŽicitamente la simetrŽia del centro Z(Nc). Esta rotura se va a manifestar en que algunos de los mŽinimos absolutos degenerados que presenta el potencial efectivo de la teorŽia como funciŽon del loop de Polyakov van a dejar de serlo, y se van a convertir en puntos estacionarios (mŽinimos o maŽximos locales). A temperaturas suficientemente grandes estŽa justificado considerar una teorŽia efectiva dimensionalmente reducida, pues lo modos de Matsubara no estŽaticos de los campos gauge se hacen muy pesados y desacoplan de la teorŽia. Dentro del problema de reduccioŽn dimensional obtendremos la estructura del lagrangiano dimensionalmente reducido. En el capŽitulo 4 se hace un estudio fundamentado de los datos del loop de Polyakov renormalizado en la fase de desconfinamiento de color, obtenidos en el retŽiculo. Se estudian las contribuciones no perturbativas existentes, en el marco de un modelo fenomenoloŽgico que las describe como generadas por condensados gluŽonicos invariantes BRST. En el capŽitulo 5 se aborda la problemaŽtica que presenta el tratamiento estŽandar de los modelos de quarks quirales a temperatura finita. Discutimos el acoplamiento del loop de Polyakov de color con los quarks, y calculamos el lagrangiano quiral efectivo a bajas energŽias, con una predicciŽon para las constantes de baja energŽia. Se estudian asimismo las implicaciones que tiene este modelo, sobre la transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color. El capŽitulo 6 estŽa dedicado a estudiar los efectos de curvatura sobre varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, Georgi-Manohar y Nambu­Jona-Lasinio. En concreto, se estudia el acoplamiento de la gravedad en estos modelos de un modo que evite la introduccioŽn de nuevos campos aparte de los del caso plano y la mŽetrica. Se estudia el tensor energŽia-impulso a bajas energŽias que se obtiene, con valores concretos para las constantes de baja energŽia estŽandar y una predicciŽon para las constantes asociadas a tŽerminos no mŽetricos con contribucioŽn de curvatura. En el capŽitulo 7 se hace un estudio de la estructura de la accioŽn efectiva del modelo quark espectral acoplado con gravedad. Por una parte se considera la contribucioŽn anŽomala, y por otra la parte no-anŽomala, con una predicciŽon para las constantes de baja energŽia. Se estudian los resultados del modelo en el esquema de dominancia vectorial, y se compara con el cŽalculo en el lŽimite de Nc grande en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia. Por uŽltimo, en el capŽitulo 8 se presentan las conclusiones de la memoria. 20 CapŽitulo 1: IntroduccioŽn CapŽitulo 2 Desarrollo del Heat Kernel El desarrollo del heat kernel1 [33, 39] se usa frecuentemente en el contexto de los mŽetodos de integrales de caminos para integrar grados de libertad externos de un modo no perturbativo. El resultado es un desarrollo en los campos que corresponden a aquellos grados de libertad que no han sido integrados. Esto quiere decir que el desarrollo del heat kernel proporciona una teorŽia de campos efectiva. Los tŽerminos del desarrollo se clasifican de acuerdo con su dimensiŽon. Nuestro objetivo en este capŽitulo consiste en disen~ar un mŽetodo que permita mantener la invariancia gauge a temperatura finita de forma manifiesta orden por orden en el desarrollo dimensional. Para ello aplicaremos una tŽecnica conocida como mŽetodo de los sŽimbolos, que fue desarrollado a temperatura cero [42] y extendido posteriormente a temperatura finita [41]. Hay que notar que el tratamiento es inevitablemente complejo pero necesario. Como motivaciŽon, estudiaremos el potencial macrocanoŽnico de un gas de partŽiculas libres relativistas, donde el loop de Polyakov se reduce a la fugacidad e”, con = 1/T la temperatura inversa y ” el potencial quŽimico. La idea consiste en respetar la propiedad de periodicidad de la exponencial bajo cambios periŽodicos del potencial quŽimico ” ”+i2T . Aunque este caso es trivial, ayudaraŽ a comprender mejor la idea subyacente del mŽetodo de los sŽimbolos. Este capŽitulo estŽa basado en las referencias [43, 44]. 2.1. Potencial macrocanŽonico de un gas de partŽiculas libres relativistas Como ilustracioŽn y motivaciŽon del heat kernel, consideraremos el caso de un gas de partŽiculas libres relativistas. Por claridad estudiaremos el caso bosoŽnico. La accioŽn euclŽidea 1Heat kernel puede traducirse como 'NuŽcleo de la ecuacioŽn del calor', pues constituye la soluciŽon a esta conocida ecuacioŽn. 21 22 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel para esta teorŽia se escribe SE [] = 1 2 dDx (x)(-D”2 + m2)(x) , (2.1) donde D = d + 1 es la dimensiŽon del espacio-tiempo. Consideramos las siguientes derivadas covariantes: D0 = 0 - i” , Di = i . (2.2) ” es un potencial quŽimico, y el loop de Polyakov correspondiente es = ei”. La funciŽon de particioŽn de esta teorŽia se calcula fŽacilmente Z = D e-SE[] = (det(-D”2 + m2))-1 . (2.3) Usaremos aquŽi el convenio Z = e-, donde es la accioŽn efectiva. El potencial macrocanoŽnico estŽa relacionado con la accioŽn efectiva a travŽes de = mc. AsŽi pues, la accioŽn efectiva se puede calcular a partir del heat kernel del siguiente modo = log det(-D”2 + m2) = Tr log(-D”2 + m2) = -Tr d 0 x|e- (-D”2 +m2)|x , (2.4) donde hemos hecho uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio. (-D”2 + m2) es un operador de tipo Klein-Gordon, que serŽa definido en ec. (2.16). Si hacemos uso de ec. (2.45), con la definicioŽn de la funciŽon 0 dada en ec. (2.46), sustraemos la parte de temperatura cero (que corresponde a considerar 0 1), y se realizan las integrales, finalmente llegamos al resultado estŽandar [6] =N ddxddk (2)d log 1 - e-(k-”) + log 1 - e-(k+”) . (2.5) N es el nuŽmero de especies y k = k2 + m2. El efecto de introducir otros campos externos puede ser tenido en cuenta mediante los sucesivos Žordenes del desarrollo del heat kernel (ec. (2.45) corresponde al primer orden). 2.2. MŽetodo de los SŽimbolos Consideremos un operador genŽerico f = f (M, D”) , (2.6) construido con M y D” en un sentido algebraico, esto es, es una combinaciŽon lineal (o serie) de productos de M y D” con coeficientes que son c-nuŽmeros. D” es la derivada covariante D” = ” + A”(x) , (2.7) 2.2 MŽetodo de los SŽimbolos 23 A”(x) es el campo gauge y M(x) denota una o varias funciones matriciales de x que representan otros campos externos diferentes de los campos gauge. El mŽetodo de los sŽimbo- los [41, 42] permite calcular de un modo sistemŽatico los elementos diagonales del ope- rador (2.6). Consideraremos la siguiente normalizacioŽn para los estados con posiciŽon y momento bien definidos x|p = eipx , p|p = (2)D(p - p) , (2.8) y la relacioŽn de completitud 1= dDp (2)D |p p| . (2.9) D es la dimensiŽon del espacio-tiempo. Denotaremos por |0 el estado de momento cero, el cual satisface x|0 = 1 , p”|0 = 0|p” = 0 , 0|0 = dDx . (2.10) En nuestra notaciŽon p” es real, dDp indica integracioŽn estŽandar en RD y (p - p) es la funciŽon delta correspondiente. p2 significa p”p”. Si consideramos el elemento diagonal x|f (M, D”)|x , se tiene x|f (M, D”)|x = = dDp (2)D x|f (M, D”)|p p|x dDp (2)D p|x x|eipxe-ipxf (M, D”)eipxe-ipx|p . (2.11) En la primera igualdad hemos introducido la relacioŽn de completitud (2.9). Teniendo en cuenta que el operador posiciŽon x es el generador de las traslaciones en momentos, tenemos las siguientes transformaciones de semejanza e-ipxD” eipx = D” + ip” , e-ipxM (x) eipx = M (x) , (2.12) o en general para f , construida en sentido algebraico con M y D”, e-ipxf (M, D”) eipx = f (M, D” + ip”) . (2.13) Basta considerar x|eipx = eipx x| y e-ipx|p = |0 en (2.11) para obtener la foŽrmula del mŽetodo de los sŽimbolos x|f (M, D”)|x = dDp (2)D x|f (M, D” + ip”)|0 . (2.14) Al elemento x|f (M, D” + ip”)|0 se le denomina sŽimbolo de f , y es en realidad una matriz, pues M y D” son operadores en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc ). El problema con (2.14) reside en que la covariancia gauge no se manifiesta de manera explŽicita cuando se usa una base en momentos. En efecto, |0 (o maŽs generalmente |p ) no es covariante 24 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel bajo transformaciones gauge locales. Por otra parte, el miembro derecho de la igualdad en ec. (2.14) es explŽicitamente invariante bajo transformaciones de tipo boost D” D” + a” , (2.15) donde a” son c-nuŽmeros constantes. Esto se debe a que el cambio en a” puede ser compensado mediante un cambio similar en la variable de integracioŽn p”. Esta propiedad es la condicioŽn necesaria y suficiente para que exista covariancia gauge, pues implica que en un desarrollo de f en los operadores, D” debe de aparecer sŽolo en el interior de conmutadores. 2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero En esta secciŽon aplicaremos el mŽetodo de los sŽimbolos para el cŽalculo del heat kernel. Consideramos el operador de Klein-Gordon2 K = M (x) - D”2 . (2.16) El heat kernel se define como el operador e-K. Nosotros estamos interesados en el cŽalculo del elemento de matriz con puntos coincidentes x|e-K|x . A se le denomina paraŽmetro de tiempo propio. Este objeto resulta en general difŽicil de calcular, y en la praŽctica interesa estudiar su comportamiento cuando es pequen~o. El heat kernel admite un desarrollo (asintŽotico) en serie de potencias de alrededor de = 0. Usando la notacioŽn estŽandar x|e- K|x = 1 (4 )D/2 an(x) n , n=0 (2.17) donde los coeficientes an(x) son conocidos como coeficientes de Seeley-DeWitt [45, 46, 47], y son operadores locales construidos con una combinaciŽon lineal de productos de M(x) y D”. Puesto que el heat kernel es covariante gauge, la expresiŽon (2.17) debe ser covariante gauge orden por orden. El heat kernel e-K no tiene dimensiones si asignamos dimensiones de masa -2, +1, +2 a , D” y M, respectivamente. Por tanto, el desarrollo en potencias de es equivalente a un contaje de las dimensiones de masa de los operadores locales. La aplicaciŽon de (2.14) conduce a x|e-(M-D”2 )|x = = dDp (2)D x|e- (M -(D”+ip”)2)|0 dDp (2)D e- p2 x|e- (M -D”2 -2ip”D”)|0 . (2.18) Notar que p” es un c-nuŽmero, de modo que conmuta con todos los operadores. En este punto consideramos el desarrollo de la exponencial. Hasta O(4) en dimensiones de masa 2En este capŽitulo haremos uso de una mŽetrica euclŽidea. 2.3 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero 25 de los operadores locales se tiene3 x|e-(M-D”2 )|x = dDp (2)D e- p2 x|0 + 1 + 2 + 3 + 4 + · · · |0 , (2.19) donde 0 = 1 , 1 = 2i p”D” , 2 = - (M - D”2) - 2 2p”pD”D , 3 = -i 2p” {D”, M } - {D”, D2} - i 4 3 3p”p p D”D D , 4 = 2 2 M 2 - {D”2, M } + D”4 - 3 3 p”p {M, D”D} + D”M D - {D2 , D”D} - D”D2 D + 2 3 4p”p ppD”D DD . (2.20) Se ha usado la notaciŽon estŽandar para el anticonmutador: {A, B} = AB + BA. En general, las integrales que aparecen son del tipo dDp (2)D e- p2 pi1 · · · pi2n 1 (4 )D/2 1 (2 )n i1 i2 ···i2n-1 i2n (2.21) = 1 (4 )D/2 1 (2 )n (i1i2 · · · i2n-1i2n + (permutaciones)) , donde i1i2···i2n es el producto sin normalizar y completamente simŽetrico de 2n deltas de Kronecker (es decir, (2n - 1)!! tŽerminos). La integral en ec. (2.21) con un nuŽmero impar de p's vale cero. Tras integrar en momentos, uŽnicamente sobreviven los tŽerminos con dimensiŽon de masa par x|e- (M-D”2 )|x = 1 (4 )D/2 x 1 - M + 2 1 2 M 2 - 2 3 {D”2 , M} - 1 6 D” M D” + D”4 + 1 6 (D”D )2 + 1 3 D” D2 D” +O(6) 0 . (2.22) Notar que el tŽermino 2 2p”pD”D ha cancelado el tŽermino D”2 en ec. (2.20), despuŽes de integrar en momentos. Notar que cada orden del desarrollo estŽa formado por un nuŽmero finito de tŽerminos. La invariancia del heat kernel bajo la transformaciŽon (2.15) implica que 3Como se verŽa mŽas adelante, el contaje en es equivalente al contaje en dimensiones de masa uŽnicamente despuŽes de integrar en momentos. 26 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel en ec. (2.22) solamente podraŽn aparecer tŽerminos con derivadas D” dentro de conmutadores. En efecto, el cambio D” D” + a” no tiene efecto cuando D” estŽa dentro de un conmutador, pero da cuenta de las contribucioŽn procedente de tŽerminos con D” fuera de conmutadores. Esto significa que los uŽnicos tŽerminos que sobreviven son los multiplicativos en el espacio de posiciones.4 Como ejemplo, se puede comprobar que {D”2, M } = [D”, [D”, M ]] + 2[D”, M ]D” + 2M D”2 . (2.24) Los tŽerminos 2[D”, M]D” y 2MD”2 no contribuiraŽn en el desarrollo. El resultado final que se obtiene hasta O(4) en dimensiones de masa es x|e- (M-D”2 )|x = 1 (4 )D/2 1 - M + 2 1 2 M 2 - 1 6 M”” + 1 12 F”2 + O( 3) . (2.25) Al pasar de ec. (2.22) a (2.25) hemos quitado x| |0 por la propiedad (2.23). En lo sucesivo utilizaremos la siguiente notaciŽon. El tensor de fuerza se define como F” = [D”, D], y del mismo modo el campo elŽectrico es Ei = F0i. AdemaŽs, la notaciŽon D” significa la operacioŽn [D”, ]. Por uŽltimo decir que usaremos una notaciŽon con subŽindices del tipo X”, lo que significa D”DDX = [D”, [D, [D, X]]]. Por ejemplo, M00 = D02M , F” = DF” . Los coeficientes de Seeley-DeWitt estŽan calculados en la literatura. Las expresiones explŽicitas para los coeficientes an(x) del desarrollo (2.17) hasta orden n = 3 son [39, 48] a0 = 1 , a1 = -M , a2 = 1 2 M 2 - 1 6 M”” + 1 12 F”2 , a3 = - 1 6 M 3 + 1 12 {M, M””} + 1 12 M”2 - 1 60 M”” - 1 60 [F”” , M ] - 1 30 {M, F”2 } - 1 60 F” M F” + 1 45 F”2 - 1 30 F” FF” + 1 180 F”2” + 1 60 {F” , F” } . (2.26) El desarrollo del heat kernel se usa frecuentemente para el cŽalculo de la accioŽn efectiva, y en este caso resulta necesario calcular la traza del heat kernel Tr e-(M-D”2 ). A temperatura cero los coeficientes con traza bn(x) se definen simplemente como Tr e- (M -D”2 ) = 1 (4 )D/2 n=0 dDx tr (bn(x)) n . (2.27) 4M (x) y [D”, D] son operadores multiplicativos, mientras que D”2 no lo es. Si h es un operador multiplicativo en espacio de posiciones, h^|x = h(x)|x , se tiene x|h^|0 = h(x) . (2.23) 2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita 27 Una propiedad importante es que el coeficiente an se puede obtener a partir de una variaciŽon en primer orden de bn+1. En efecto, por la propia definicioŽn del heat kernel se tiene que x|e-(M-D”2 )|x = - 1 Tr e-(M-D”2 ) . M(x) (2.28) Si hacemos uso del desarrollo en ambos miembros de la igualdad, a temperatura cero encontramos an(x) = - M (x) tr bn+1(x) . (2.29) Hay cierta libertad en la eleccioŽn de los coeficientes bn. Por supuesto, con tomar bn = an serŽia suficiente. No obstante, es conveniente explotar la propiedad cŽiclica de la traza y la integracioŽn por partes con el fin de obtener expresiones maŽs compactas. Haciendo uso de estas dos propiedades, a temperatura cero se encuentra la siguiente forma canoŽnica para los coeficientes b0 = 1 , b1 = -M , b2 = 1 2 M 2 + 1 12 F”2 , b3 = - 1 6 M 3 - 1 12 M”2 - 1 12 F” M F” - 1 60 F”2” + 1 90 F” F F” . (2.30) 2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita Es posible extender el mŽetodo de los sŽimbolos con objeto de realizar cŽalculos a temperatura finita [41]. En el formalismo de tiempo imaginario la coordenada temporal estŽa compactificada a un cŽirculo, de modo que el espacio-tiempo de D = d + 1 dimensiones tiene topologŽia Md+1 = S1 Ś Md. Las funciones de onda para bosones son periŽodicas en la direccioŽn temporal con perŽiodo , la inversa de la temperatura, y antiperiŽodicas para fermiones. Con objeto de que M y D” sean operadores bien definidos en el espacio de Hilbert de las funciones de onda con grados de libertad espacio-temporales e internos, M(x) y A”(x) deben ser funciones periŽodicas en x0. En este formalismo usaremos la siguiente normalizacioŽn x|p = eipx , La relacioŽn de completitud es p|p = p0p0(2)d(p - p ) . (2.31) 1 = 1 p0 ddp (2)d |p p| . (2.32) 28 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel La frecuencia toma los valores de Matsubara p0 = 2n/ para bosones y p0 = 2(n + 1 2 )/ para fermiones. El mŽetodo de los sŽimbolos se escribe en este formalismo5 x|f (M, D”)|x = 1 p0 ddp (2)d x|f (M, D” + ip”)|0 . (2.33) Notar que |0 es periŽodico en la direcciŽon temporal, de modo que la informaciŽon de si estamos trabajando con bosones o fermiones se encuentra ahora contenida en los valores que toma p0. 2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple La aplicaciŽon praŽctica del mŽetodo de los sŽimbolos a temperatura finita resulta bastante maŽs complicada que a temperatura cero. Con objeto de introducir los conceptos de manera gradual, vamos a considerar el heat kernel, y estudiaremos su desarrollo en un caso simple. Trataremos el caso en el que no exista potencial vector, el potencial escalar sea indenpendiente de x, y el tŽermino de masa sea un c-nuŽmero constante: A(x) = 0 , A0 = A0(x0) , M (x) = m2 , [m2, ] = 0 . (2.34) El resultado serŽa el tŽermino de orden cero de un desarrollo en conmutadores [D”, ] y [M, ] del caso general. La aplicaciŽon del mŽetodo de los sŽimbolos (2.33) conduce a x|e- K |x = 1 p0 ddp (2)d x|e- (m2+p 2-(D0+ip0)2)|0 = e- m2 1 (4 )d/2 x|e (D0+ip0)2 |0 . p0 (2.35) Notar que despuŽes de la transformaciŽon Dj j + ipj, el operador Dj = j puede hacerse cero pues actuaraŽ sobre |0 . La suma sobre frecuencias de Matsubara implica que el operador 1 e (D0+ip0)2 p0 es una funciŽon periŽodica de D0 con periodo i2/, y por tanto es una funciŽon univaluada de e-D0. En efecto, si hacemos uso de la fŽormula de Poisson para la sumatoria,6 se tiene 1 e (D0+ip0)2 = 1 (4 )1/2 (±)ke-kD0 e-k22/4 p0 kZ (2.37) 5La demostraciŽon de (2.33) es similar a la realizada en la sec. 2.2 para el caso de temperatura cero. 6La fŽormula de Poisson para la sumatoria es: F (n) = n=- m=- dxF (x)ei2xm . - (2.36) 2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita 29 (± para bosones y fermiones, respectivamente). En este momento estamos en condiciones de hacer uso de la siguiente identidad operatorial [41] e0 e-D0 = (x) , (2.38) donde (x) es la lŽinea de Wilson tŽermica o loop de Polyakov sin traza: x0+ (x) = T exp - A0(x0, x) dx0 x0 (2.39) [T indica ordenacioŽn temporal.] Si bien es esta secciŽon estamos tratando el caso simple de ec. (2.34), la definicioŽn (2.39) es vaŽlida para un potencial escalar general A0(x). El loop de Polyakov surge aquŽi como la diferencia de fase entre traslaciones temporales covariantes y no covariantes gauge alrededor del tiempo euclŽideo compactificado. FŽisicamente, el loop de Polyakov se puede interpretar como el propagador de partŽiculas pesadas en el fondo del campo gauge. La identidad (2.38) es trivial si uno elije un gauge en el cual A0 es independiente del tiempo (este gauge siempre existe), pues en este caso los operadores = e-A0, D0, A0 y 0 conmutan entre sŽi. Esta identidad es covariante gauge y es vaŽlida en cualquier gauge.7 Un punto importante es que el operador de traslaciŽon en tiempo euclŽideo, e0, no tiene otro efecto que producir el cambio x0 x0 + y esta operacioŽn es la identidad en el espacio de funciones periŽodicas en que estamos trabajando e0 = 1 , (2.40) (incluso en el caso fermiŽonico, ya que despuŽes de aplicar el mŽetodo de los sŽimbolos las derivadas actuŽan sobre los campos externos y no sobre las funciones de onda de las partŽiculas). Llegamos asŽi al resultado importante de que en este espacio e-D0 = (x) , (2.41) esto es, siempre y cuando el operador diferencial D0 aparezca de manera periŽodica (con perŽiodo 2i/), puede ser reemplazado por el operador multiplicativo -(1/) log[(x)]. La multivaluaciŽon del logaritmo no es efectiva debido a la dependencia periŽodica. Otro punto importante es que D0 (o cualquier funciŽon de D0) actuŽa como un operador covariante gauge sobre los campos externos F (x0, x), y por tanto transforma de acuerdo al grupo de transformaciones gauge locales en el punto (x0, x). En particular, el loop de Polyakov ec. (2.39), que es tambiŽen covariante gauge, comienza en el instante x0 y no en cero. Esta diferencia serŽia irrelevante para el loop de Polyakov con traza, pero no en el contexto de ahora. El uso de la regla (2.41) en ec. (2.37) conduce a 1 e (D0+ip0)2 = 1 (4 )1/2 (±)kke-k22/4 . p0 kZ (2.42) 7En el apŽendice A se hace un estudio detallado de las transformaciones gauge a temperatura finita. 30 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel En general se tiene f (ip0 + D0) = f (ip0 - 1 log()) , p0 p0 (2.43) siempre y cuando la sumatoria sea absolutamente convergente, de modo que la suma es una funciŽon periŽodica de D0. Por futura conveniencia introduciremos el operador Q, que se define como Q = ip0 + D0 = ip0 - 1 log() . (2.44) Hay que mencionar que la segunda igualdad se aplica en expresiones de la forma de ec. (2.43). Las dos definiciones de Q no son equivalentes en otros contextos (por ejemplo, en p0 f1(Q)Xf2(Q), a menos que [D0, X] = 0.) El heat kernel en ec. (2.35) se puede escribir como x|e- K |x = (4 1 )d/2 e- m2 1 e Q2 = (4 1 )(d+1)/2 e- m2 0 () . p0 (2.45) En la primera igualdad se ha hecho uso de que (x) es un operador multiplicativo, de modo que es aplicable la ec. (2.23). En la segunda igualdad se ha aplicado la definicioŽn de las funciones n(), que apareceraŽn con frecuencia en lo sucesivo: n(; /2) = (4 )1/2 1 n/2Qne Q2 , Q = ip0 - 1 log() . p0 (2.46) Notar que para cada funciŽon existe una versioŽn bosoŽnica y otra fermiŽonica, y las dos versiones estŽan relacionadas por el cambio -. Como se ha indicado, estas funciones dependen sŽolo de la combinaciŽon /2 y son funciones univaluadas de . En el lŽimite de temperatura cero la suma sobre p0 se transforma en una integral gaussiana 1 --- dp0 , p0 - (2) (2.47) y se tiene n(; 0) = (- 1 2 )n/2 (n - 1)!! (n par) , 0 (n impar) . (2.48) Como se puede ver en la expresiŽon (2.42), para un valor finito de las correcciones de pequen~o son de orden e-2/4 o menor, y por tanto estŽan exponencialmente suprimidas. La misma supresioŽn exponencial existe para las correcciones de temperatura pequen~a cuando se considera un valor finito de . Ya sea en el lŽimite de temperatura cero o de tiempo propio cero, uŽnicamente queda el modo k = 0. Como motivaciŽon del heat kernel, en la secciŽon 2.1 se calculŽo el potencial macrocanoŽnico de un gas de partŽiculas libres relativistas, que constituye una aplicaciŽon simple de los resultados obtenidos en esta secciŽon. En vista de ecs. (2.2) y (2.5), es importante subrayar la relacioŽn entre el potencial quŽimico ” y el loop de Polyakov. El potencial quŽimico se 2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita 31 acopla al potencial escalar A0(x) como una constante aditiva. Puesto que es constante, ” no contribuye a los operadores locales, ya que A0(x) sŽolo aparece a travŽes de la derivada covariante D0. Notar que si el loop de Polyakov no existiera en las foŽrmulas, ” no aparecerŽia en la funciŽon de particioŽn, lo cual obviamente constituye un resultado incorrecto. Asimismo hay que destacar que la dependencia periŽodica del heat kernel en log conduce al hecho bien conocido de que la funciŽon de particioŽn es periŽodica en ” con perŽiodo 2i (condicioŽn de consistencia debido a su acoplamiento con el operador de carga cuantizado). El loop de Polyakov aparece pues, como una generalizacioŽn del factor e” para campos gauge no abelianos y no constantes. 2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita En esta secciŽon consideraremos el desarrollo del heat kernel a temperatura finita en el caso totalmente general de campos gauge no abelianos A”(x) y tŽerminos de masa no triviales M(x). En primer lugar es necesario especificar el contaje del desarrollo. Como vimos en sec. 2.3, a temperatura cero el desarrollo se define en potencias de [despuŽes de extraer el factor geomŽetrico (4 )(d+1)/2]. Este contaje en es equivalente a un contaje en las dimensiones de masa de los operadores locales. A temperatura finita existe una magnitud dimensional adicional, , de modo que los dos contajes no van a ser equivalentes y es necesario especificar un desarrollo concreto. Como veremos maŽs adelante un desarrollo estricto del heat kernel en potencias de conducirŽia al mismo desarrollo asintŽotico que a temperatura cero. Con objeto de extraer correcciones de temperatura finita no triviales ordenaremos nuestro desarrollo de acuerdo con las dimensiones de masa de los operadores locales. Asignaremos dimensiones de masa 0, +1, +2 a , D” y M, respectivamente. Consideraremos ademaŽs un desarrollo en el cual el loop de Polyakov (x) aparezca a la izquierda en todos los tŽerminos, lo cual es una cuestiŽon de eleccioŽn (de manera equivalente, se podrŽia definir un desarrollo con (x) a la derecha). Esto es necesario pues el conmutador de con otros operadores genera conmutadores [D0, ] que tienen dimensiŽon 1 en nuestro contaje. Estas especificaciones son suficientes para definir de manera unŽivoca el desarrollo del heat kernel para un grupo gauge genŽerico, de tal modo que la invariancia gauge sea manifiesta orden por orden. El desarrollo asŽi definido, en el cual cada tŽermino contiene funciones arbitrarias del loop de Polyakov pero sŽolo un nuŽmero finito de derivadas covariantes (incluyendo derivadas temporales), constituye una extensiŽon natural del desarrollo estŽandar en derivadas covariantes a temperatura cero. Los tŽerminos estaraŽn ordenados en potencias de pero con coeficientes que dependen de /2 y : x|e- (M-D”2 )|x = 1 (4 )(d+1)/2 aTn (x) n . n (2.49) De la definicioŽn se deduce directamente que para una configuracioŽn general el tŽermino de 32 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel orden cero es precisamente aT0 (x) = 0((x); /2) , (2.50) que fue calculado en la subsecciŽon 2.4.1. Esto es debido a que cuando el caso particu- lar (2.34) es introducido en el desarrollo general, todos los tŽerminos de orden mayor, con una o maŽs [D”, ] o m2, se anulan. El mŽetodo que vamos a proponer para el cŽalculo del desarrollo del heat kernel a tem- peratura finita hace uso de los coeficientes de Seeley-DeWitt a temperatura cero. La idea consiste en aplicar la fŽormula del mŽetodo de los sŽimbolos (2.33) en la dimensiŽon temporal uŽnicamente, lo cual conduce a x|e-(M-D”2 )|x = 1 x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x , p0 Q = ip0 + D0 . (2.51) Se puede definir el operador de Klein-Gordon efectivo K = Y - Di2 , Y = M - Q2 , (2.52) donde Y juega el papel de un tŽermino de masa no abeliano. Podemos hacer uso del desa- rrollo del heat kernel a temperatura cero en d dimensiones (espaciales) con ese operador efectivo ya que el tŽermino de masa Y, a pesar de contener derivadas temporales (en Q), no contiene derivadas espaciales, de manera que actuŽa como un operador multiplicativo en el espacio de Hilbert espacial. La aplicaciŽon directa de este argumento darŽia lugar al desarrollo x0, x|e-(Y-Di2)|0, x = 1 (4 )d/2 an(Di, Y) n , n=0 (2.53) donde los coeficientes an(Di, Y) son polinomios de dimensiŽon 2n construidos a partir de Y y Di = [Di, ]. Los Žordenes maŽs bajos corresponden a la ec. (2.26), pero considerando la sustitucioŽn del tŽermino de masa M por el nuevo tŽermino de masa efectivo Y, y los Žindices sŽolo corren en la dimensiŽon espacial. Notamos que para reproducir el primer orden en ec. (2.49), aT0 (x) = 0((x)) eQ2, serŽia necesario obtener el desarrollo a todos los Žordenes en ec. (2.53), pues eQ2 no es un polinomio en Q. EŽsta es la razŽon por la cual ec. (2.53) introducida en ec. (2.51) no resulta uŽtil. La manera correcta de proceder serŽa extraer desde el principio la contribucioŽn eQ2, lo cual nos llevaraŽ a definir un nuevo conjunto de coeficientes polinŽomicos a~n x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x = 1 (4 )d/2 eQ2a~n(Q2, M, Di) n . n=0 (2.54) Consideremos la sustitucioŽn de Q2 por Q2 + donde un c-nuŽmero constante. Es claro que los coeficientes a~n no deben cambiar, y por tanto en a~n el operador Q2 debe aparecer sŽolo dentro de conmutadores de la forma [Q2, ]. Para calcular los coeficientes a~n debemos tener en cuenta la relacioŽn an(Di, Y) n = eQ2 a~n(Q2, M, Di) n . n=0 n=0 (2.55) 2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita 33 El mŽetodo consiste en partir del desarrollo de la izquierda de la ecuaciŽon (2.55) e ir movien- do los operadores Q2 hacia la izquierda haciendo uso de conmutadores [Q2, ] (por ejemplo MQ2 = Q2M - [Q2, M]). Al final se llega a una situacioŽn en la que existen dos clases de tŽerminos: (i) tŽerminos en que todos los operadores Q2 estŽan dentro de conmutadores y (ii) tŽerminos con factores Q2 no saturados a la izquierda (esto es, con Q2 fuera de conmutado- res). Los tŽerminos del tipo (i) se corresponden con el desarrollo n=0 a~n n. Los del tipo (ii) se pueden identificar con el miembro derecho de la ecuaciŽon cuando se realiza un desarrollo de la exponencial eQ2 y se consideran Žordenes mayores que el primero. Siguiendo esta tŽecnica, hasta a~2 se tiene a~0 = 1 , a~1 = -M , a~2 = 1 2 M 2 - 1 6 Mii + 1 12 Fi2j + 1 2 [Q2, M] + 1 6 (Q2)ii . (2.56) Una vez que hemos construido por este procedimiento los coeficientes a~n, el siguiente paso consiste en redefinir ec. (2.54) como un desarrollo en potencias de M, Di y D0. Para ello debemos expresar [Q2, ] que aparece en el desarrollo, en tŽerminos de [Q, ] = [D0, ] = D0. Se usa la siguiente propiedad: [Q2, X] = Q[Q, X] + [Q, X]Q = 2Q[Q, X] - [Q, [Q, X]] = 2QX0 - X00 . (2.57) Se trata de mover todos los Q's hacia la izquierda, de modo que apareceraŽn operadores D0. Al final los operadores Q fuera de conmutadores quedarŽan todos a la izquierda. Para a~2 se tiene: a~2 = 1 2 M 2 - 1 6 Mii + 1 12 Fi2j - 1 2 M00 + 1 3 Ei2 + 1 6 E0ii + Q M0 - 1 3 Eii . (2.58) Notar que en a~2 existen dos tipos de contribuciones: aquellos tŽerminos con una Q a la izquierda, y aquellos que no la tienen. En nuestro contaje, estos dos tipos pertenecen a Žordenes diferentes: dimensiŽon de masa tres y cuatro, respectivamente. Cuando a~2 es introducido en ec. (2.54) (queda multiplicado por el factor eQ2) y despuŽes en ec. (2.51) (suma sobre frecuencias de Matsubara), se obtienen las siguientes contribuciones a~2 0() 1 2 M 2 - 1 6 Mii + 1 12 Fi2j - 1 2 M00 + 1 3 Ei2 + 1 6 E0ii 2+1() M0 - 1 3 Eii 3/2 , (2.59) donde se ha hecho uso de la definicioŽn de n(), ec. (2.46). Como vemos cada coeficiente de heat kernel a temperatura cero ak en ec. (2.53) con dimensiŽon de masa 2k permite obtener un coeficiente correspondiente a~k. Este coeficiente va a dar contribucioŽn, en general, a varios coeficientes de heat kernel aTn (con dimensiŽon de masa 2n). Las diferentes contribuciones se deben a que pueden existir ciertos factores de Q a la izquierda de cada tŽermino que no actuŽan como D0, de modo que son adimensionales. Por tanto para un valor de k dado, los valores de n permitidos deben satisfacer n k, y la 34 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel igualdad corresponde a tŽerminos que tienen todos los Q's dentro de conmutadores. Podemos encontrar una cota inferior para n si vemos que el nuŽmero maŽximo de [Q2, ]'s en a~k(k 0) es k - 1, y por tanto Žeste va a ser el nuŽmero maŽximo de Q's fuera de conmutadores que queden a la izquierda. Esto conduce a la condicioŽn k 2n - 1. AdemaŽs notemos que un factor Q va a dar lugar a un coeficiente () en aTn . En suma, para el cŽalculo de los coeficientes de heat kernel tŽermicos vamos a tener el siguiente esquema a0 a~0 0aT0 a1 a~1 0aT1 a2 a~2 0aT2 + 1aT3/2 a3 a~3 0aT3 + 1aT5/2 + 2aT2 a4 a~4 0aT4 + 1aT7/2 + 2aT3 + 3aT5/2 a5 a~5 0aT5 + 1aT9/2 + 2aT4 + 3aT7/2 + 4aT3 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ak a~k 0aTk + 1aT(2k-1)/2 + · · · + k-1aT(k+1)/2 (2.60) Esta mezcla de tŽerminos no ocurre a temperatura cero, no obstante no puede ser evitada a temperatura finita. Vemos que a Q no se le podrŽia asignar dimensiŽon de masa 1 ya que la suma sobre las frecuencias de Matsubara p0 no converge para un polinomio en Q. Si p0 se cuenta con dimensiŽon cero pero D0 siempre con dimensiŽon 1 la invariancia gauge se perderŽia. En suma, el hecho de considerar adimensional y D0 con dimensiŽon 1 es un pequen~o precio que hay que pagar para tener un desarrollo covariante gauge orden por orden. Del esquema anterior se deduce que para calcular los coeficientes de heat kernel tŽermicos completos hasta aT3 debemos buscar contribuciones hasta a5. Como regla general, para aTn van a existir contribuciones de ak, n k 2n - 1, excepto para aT0 el cual sŽolo recibe la contribucioŽn trivial de a0. En particular aT3 , aparte de la contribucioŽn que reciba de a3, sŽolo requiere tŽerminos Yn, con n = 2, 3, 4 en a4(Di, Y) y n = 4, 5 en a5(Di, Y). Haciendo uso de este mŽetodo se han calculado los coeficientes de heat kernel tŽermicos hasta dimensiŽon de masa 6. Los resultados son los siguientes: aT0 = 0 , aT1/2 = 0 , aT1 = -0M , aT3/2 = 1 M0 - 1 3 Eii , aT2 = 0 aT2 =0 + 1 6 2(Ei2 + E0ii - 2M00) , aT5/2 = 1 3 (21 + 3) M000 + 1 6 1M0ii - 1 3 1 (2M0M + M M0) + 1 6 1 ({Mi, Ei} + {M, Eii}) - 1 3 1 + 1 5 3 E00ii - 1 30 1Eiijj (2.61) 2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita 35 - 5 6 1 + 2 5 3 E0iEi - 1 2 1 + 4 15 3 EiE0i + 1 30 1[Ej , Fiij ] -1 1 10 F0ij Fij + 1 15 Fij F0ij , aT3 = 0 aT3 =0 - 1 4 2 - 1 10 4 M0000 - 1 60 2 3M00ii - 15M00M - 5M M00 - 15M02 +4{M, Ei2} + 2EiM Ei + 4M E0ii + 6E0iiM + 4MiE0i + 6E0iMi +7M0Eii + 3EiiM0 + 6M0iEi + 4EiM0i + 3 20 2 - 1 15 4 E000ii + 1 60 2E0iijj + 1 2 2 - 1 5 4 E00iEi + 7 30 2 - 1 10 4 EiE00i + 19 30 2 - 4 15 4 E02i + 1 180 2 2{Ei, Ejji} + 4{Ei, Eijj} + 5Ei2i + 4Ei2j + 4F0iij Ej - 2Ej F0iij - 2E0ij Fij -[Eij , F0ij] - 4E0iFjji + 2FjjiE0i + 2EiFijEj + 2{EiEj , Fij} + 7F00ij Fij +3Fij F00ij + 8F02ij . En estas fŽormulas aTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aperecen en ec. (2.26). Por conveniencia hemos introducido las funciones auxiliares 2 = 0 + 22 , 4 = 0 - 4 3 4 , ...... , 2n = 0 - (-2)n (2n - 1)!! 2n , (2.62) que se anulan en el lŽimite /2 = 0. Con nuestro criterio para calcular el desarrollo del heat kernel a temperatura finita conseguimos ordenar las derivadas de manera que las espaciales son las que actuŽan primero y las temporales son las maŽs externas. Esta eleccioŽn es oŽptima de cara a calcular la traza de los coeficientes Tr aTn (x), pues por la propiedad D0 = 0, los tŽerminos de la forma nX0 no contribuyen en la traza, como puede verse despuŽes de integrar por partes. 2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel En ec. (2.27) se definieron los coeficientes de heat kernel con traza a temperatura cero. A temperatura finita podemos definir de manera similar los coeficientes con traza bTn (x) Tr e- (M -D”2 ) = 1 (4 )(d+1)/2 n=0 dx0 0 ddx tr(bTn (x)) n , (2.63) donde bTn presenta una estructura maŽs simple que aTn . Vamos a elegir una forma canoŽnica para estos coeficientes en la cual las funciones de estŽen situadas a la izquierda de los operadores locales covariantes gauge. AdemaŽs de la integracioŽn por partes y propiedad 36 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel cŽiclica de la traza, deberemos trabajar con conmutadores del tipo [X, f ()] (en particular D”f () ). Veamos cuales son las reglas de conmutacioŽn. Consideremos dos operadores cualesquiera X e Y , y f una funciŽon genŽerica. Entonces el conmutador [X, f (Y )] admite el siguiente desarrollo en conmutadores [X, f (Y )] = -f (Y )[Y, X] + 1 2 f (Y )[Y, [Y, X ]] - 1 3! f (3)(Y )[Y, [Y, [Y, X ]]] + · · · = n=1 (-1)n n! f (n)(Y )DYn (X ) , (2.64) donde DY = [Y, ]. Para probar esto es suficiente con probar que se cumple para funciones del tipo f (Y ) = eY , donde es un c-nuŽmero, ya que el caso general se obtiene por descomposiciŽon de Fourier. En este caso, el miembro derecho de (2.64) es (-1)n n! neY DYn (X ) = eY e-DY - 1 X = eY e-Y XeY - X = [X, eY ] , (2.65) n=1 que coincide con el miembro izquierdo. En esta demostraciŽon hemos hecho uso de la identidad eDY X = eY Xe-Y , que es bien conocida. Particularicemos al caso en que f sea una funciŽon de (por ejemplo n()). Con f (n) vamos a denotar su derivada n-Žesima con respecto a la variable - log()/. Entonces de estas fŽormulas se obtiene [X, f] = -f X0 + 1 2 f X00 - 1 3! f (3)X000 + · · · . En el caso de operadores X = D” tendremos (2.66) D0f = 0 , Dif = -f Ei + 1 2 f E0i - 1 3! f (3)E00i + · · · . (2.67) (2.68) La propiedad (2.67) se podrŽia deducir directamente de D0 = [D0, ] = 0. Estas foŽrmulas implican que a temperatura finita, al contrario que a temperatura cero, la propiedad cŽiclica de la traza mezcla tŽerminos de Žordenes diferentes. Esto es debido a que D0 tiene dimensiones de masa, mientras que es adimensional. AsŽi, por ejemplo 0() es de dimensiŽon cero y Di es de dimensiŽon uno, mientras que Di0() contiene tŽerminos de todos los oŽrdenes, comenzando con dimensiŽon 2. Para aplicar estas reglas de conmutacioŽn a aTn vamos a necesitar ademaŽs la relacioŽn n = (nn-1 + 2n+1) , (2.69) que se deduce fŽacilmente a partir de la definicioŽn de n en ec. (2.46). 2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita 37 La integracioŽn por partes, la propiedad cŽiclica de la traza y estas reglas de conmutacioŽn nos van a permitir escribir expresiones maŽs compactas para los coeficientes aTn , vaŽlidas bajo traza. Hasta dimensiŽon de masa 6 obtenemos bT0 = bT1/2 = bT1 = bT3/2 = bT2 = bT5/2 = bT3 = 0 , 0, -0M , 0, 0bT2 =0 - 1 6 2 Ei2 , - 1 6 1{Mi , Ei} , 0bT3 =0 + 1 6 2 1 2 M02 + EiM Ei + 1 10 Ei2i + 1 10 F02ij - 1 5 EiFij Ej - 1 6 2 - 1 10 4 E02i . (2.70) Escritos de esta forma, se ve explŽicitamente que en el lŽimite de temperatura cero se recupera la simetrŽia Lorentz. En estas fŽormulas bTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aparecen en ec. (2.30). El heat kernel es simŽetrico frente a la transposiciŽon de operadores ABC · · · · · · CBA, y los bTn han sido elegidos de manera que esta simetrŽia se manifieste en cada orden. Como hemos dicho, la integracioŽn por partes y la propiedad cŽiclica de la traza hace que exista cierta ambigušedad en la expresiŽon de los coeficientes bn tanto a temperatura cero como a temperatura finita. No obstante a temperatura finita la ambigušedad es mayor ya que estas dos propiedades mezclan oŽrdenes diferentes. El desarrollo a temperatura finita lo podemos expresar en la forma Tr e- (M -D”2 ) = 1 (4 )(d+1)/2 BnT n , n=0 BnT = Tr bTn (x) . (2.71) A temperatura cero el desarrollo se define como un desarrollo en potencias del paraŽmetro , de modo que BnT =0 no es ambiguo, la ambigušedad sŽolo existe en bTn=0(x). Sin embargo a temperatura finita el desarrollo no estŽa sujeto a un paraŽmetro, sino que lo hemos definido como un desarrollo en conmutadores, de modo que existe ambigušedad no sŽolo en bTn (x) sino tambiŽen en BnT . En general la eleccioŽn concreta de bTn va a afectar la forma de los Žordenes superiores bTn+1/2, bTn+1, . . . . Por supuesto, la ambigušedad en BnT no afecta la suma de la serie, sino que uŽnicamente se trata de una reorganizaciŽon de Žesta. Como ejemplo, consideremos que en bT2 =0 an~adimos el tŽermino M””. Nada cambia a temperatura cero, pues ese tŽermino es un conmutador puro. No obstante, a temperatura finita ese tŽermino conducirŽia a la contribucioŽn 0M”” que no es un conmutador puro, y por tanto va a modificar el funcional B2T . De hecho 0M””, que es formalmente de dimensiŽon 4, se puede 38 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel expresar como una suma de tŽerminos de dimensiŽon 5 y mayores, si hacemos uso de la integracioŽn por partes y de las reglas de conmutacioŽn (2.66)-(2.68). El criterio bŽasico que hemos seguido para elegir los coeficientes bTn ha consistido en llevarlos de manera recursiva a una forma compacta, comenzando por los de orden inferior. Por ejemplo, bajo traza aT3/2 se puede llevar a una suma de tŽerminos de dimensiŽon 4 o mayor, despuŽes de integrar por partes y aplicar las reglas de conmutacioŽn. Haciendo esto conseguimos bT3/2 = 0. El siguiente paso consistiraŽ en llevar aT2 (modificado con la contribucioŽn que recibe de Tr aT3/2) a la forma maŽs compacta posible, lo cual en principio producirŽia contribuciones a aT5/2, y asŽi sucesivamente. Por supuesto, Žesta no es la uŽnica posibilidad ya que llevar bTn a la forma maŽs simple posible va a implicar en general una mayor complicaciŽon en los Žordenes superiores. Por ejemplo, se puede ver que es posible ordenar el desarrollo de modo que todos los coeficientes bTn de orden semi-impar se anulen. AsŽi, podrŽiamos eliminar bT5/2 con el coste de complicar bT2 . El anŽalogo de ec. (2.29) a temperatura finita va a verse modificado por el hecho de que la variaciŽon de bTk contribuye no sŽolo a aTk-1, sino en general a todos los oŽrdenes superiores, debido a la propiedad de conmutacioŽn (2.66). Por tanto podemos escribir aTn (x) - M (x) BkT k-n-1 , 1kn+1 (2.72) donde el sŽimbolo indica que uŽnicamente debemos considerar los tŽerminos de dimensiŽon 2n en el miembro derecho de la ecuaciŽon. Notar que k puede tomar valores tanto enteros como semi-impares. Hemos comprobado nuestros resultados verificando que esta relacioŽn se cumple para todos los coeficientes. 2.5. Conclusiones En este capŽitulo hemos construido el desarrollo del heat kernel en el contexto de teorŽia cuaŽntica de campos a temperatura finita para espacio-tiempo plano. El desarrollo se ha hecho para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios. Se ha puesto un Ženfasis especial en el papel que juega el loop de Polyakov sin traza (o linea de Wilson tŽermica) para mantener la invariancia gauge explŽicita. Esto constituye un problema altamente no trivial, ya que para preservar la invariancia gauge a temperatura finita orden por orden se necesitan infinitos oŽrdenes en teorŽia de perturbaciones. Cuando se elige que el ban~o tŽermico estŽe en reposo, el loop de Polyakov es generado por la componente temporal del campo gauge, y Žeste se puede considerar como una generalizacioŽn del potencial quŽimico para campos gauge no constantes y no abelianos, mediante el factor e”. De hecho, hemos aportado argumentos que apoyan esta interpretacioŽn: si el loop de Polyakov no fuera tenido en cuenta, el nuŽmero de partŽiculas no podrŽia ser fijado, lo cual estŽa en contradicciŽon con lo que se espera de los requisitos de la termodinaŽmica. 2.5 Conclusiones 39 En espacios tiempos curvos, ademaŽs del loop de Polyakov de la conexioŽn gauge A”, existe un loop de Polyakov asociado con la conexioŽn de transporte paralelo ”, con importantes repercusiones en teorŽia de campos en presencia de campos gravitatorios. Un ingrediente importante de nuestra tŽecnica de cŽalculo es que, con objeto de garantizar la invariancia gauge explŽicita, una cierta combinaciŽon del loop de Polyakov y la temperatura debe tratarse como variable independiente, - log()/. Esto puede hacerse sin necesidad de fijar el gauge. 40 CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel CapŽitulo 3 AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta En este capŽitulo nos proponemos encontrar un lagrangiano efectivo de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la regioŽn de altas temperaturas. En el cŽalculo de los determinantes funcionales haremos uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita que hemos obtenido en el capŽitulo 2. Esto nos permitiraŽ calcular el lagrangiano efectivo como un desarrollo en operadores, y aquŽi obtendremos los Žordenes maŽs bajos en este desarrollo. Existen en la literatura otros mŽetodos equivalentes como el cŽalculo de diagramas de Feynman a un loop con un nuŽmero arbitrario de patas externas [49]. No obstante suelen ser tŽecnicamente maŽs complicados y no dan cuenta automaŽticamente de invariancia gauge con respecto al campo externo. Comenzaremos este capŽitulo repasando algunos elementos bŽasicos de la teorŽia de YangMills a temperatura finita, para posteriormente entrar de lleno en el cŽalculo detallado de la accioŽn de QCD a temperatura alta manteniendo la invariancia gauge de manera explŽicita. El capŽitulo estŽa basado en la referencia [44]. 3.1. Fundamentos de la TeorŽia de Yang-Mills a Temperatura Finita En esta secciŽon vamos a explicar los fundamentos de la teorŽia de Yang-Mills a temperatura finita. Partiremos del hamiltoniano cuaŽntico del sistema y deduciremos la funciŽon de particioŽn. En una teorŽia de Yang-Mills el hamiltoniano cuaŽntico es H = - 1 g2 d3x tr (0Ai)2 + Bi2 , (3.1) donde Bi es el campo magnŽetico, Bi = 1 2 ijk Fjk . El espacio de Hilbert estŽa formado por los estados {|Ai(x) }. Podemos escribir e-H como lŽimN e-H N , /N , y haciendo 41 42 CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta uso de la relacioŽn de completitud repetidamente se llega a Ai(x)|e-H |Ai(x) = DAi(x0, x) exp 1 g2 dx0 0 d3x tr[(0Ai)2 + Bi2] , (3.2) donde la integral funcional se toma sobre trayectorias en las que las configuraciones inicial y final estŽan fijas: Ai(, x) = Ai(x) y Ai(0, x) = Ai(x). La traza de e-H en el espacio de Hilbert completo es ZYM = Tr e-H = DAi(x) Ai(x)|e-H |Ai(x) (3.3) = DA(i0)(x) Ai(,x)=A(i0) DAi(x0, x) exp Ai (0,x)=A(i0) 1 g2 dx0 0 d3x tr (0Ai)2 + Bi2 . Se trata de una integral funcional sobre campos gauge periŽodicos Ai(0, x) = Ai(, x). No obstante, en una teorŽia gauge hay que sumar, no sobre todos los estados posibles, sino sobre los estados fŽisicos solamente, esto es, los que satisfacen la ley de Gauss D · E(x)|fis = 0 x , (3.4) donde Ei(x) = 0Ai(x). Esta relacioŽn expresa la conservaciŽon del flujo elŽectrico. Para satisfacer (3.4) basta con que se verifique exp d3x tr[D(x) · E(x)] |fis = |fis , (3.5) para todo (x) con soporte compacto. (U) = exp( D · E) es un operador unitario que da lugar a las transformaciones gauge independientes del tiempo U = e. Esto significa que imponer la ley de Gauss es equivalente a exigir que los estados fŽisicos sean invariantes frente a transformaciones gauge cuyos generadores se anulen en el infinito. Estos estados pueden ser seleccionados introduciendo el proyector P = ()=0 D (e) dentro de la integral funcional ZYM = Tr P e-H = D(x)DAi(x) AUi (x)|e-H|Ai(x) ()=0 = D(x) DAi(x0, x) exp ()=0 Ai(,x)=AUi (0,x) 1 g2 dx0 0 (3.6) d3x tr (0Ai)2 + Bi2 , donde hemos considerado Ai|(U) = AUi |. Se trata de una integral funcional sobre campos periŽodicos salvo transformaciŽon gauge. Con objeto de derivar una expresiŽon que sea estrictamente periŽodica introducimos el proyector P maŽs de una vez, lo cual es factible ya que P y H conmutan ZYM = lŽim Tr P e-H N N = D(x0, x)DAi(x0, x) exp 1 g2 dx0 0 (3.7) d3x tr (0Ai - Di)2 + Bi2 . 3.2 Sector fermiŽonico 43 Definiendo el campo A0(x0, x) = (x0, x), que se anula en x infinito, llegamos a ZYM = DA”(x0, x) exp A”(,x)=A”(0,x) 1 2g2 dx0 0 d3x tr F”2 =: La ecuaciŽon de movimiento e identidades de Bianchi vienen dadas por DA”(x)e-SYEM . (3.8) D”F” = 0 , DF” + D”F + D F” = 0 . (3.9) En las integrales funcionales existe una condicioŽn de periodicidad temporal en el intervalo [0, ] para los campos gauge, que son bosoŽnicos. AdemaŽs es necesario integrar sobre todos los valores en los extremos del intervalo. Si se consideran quarks en la teorŽia, estos deberaŽn satisfacer condiciones de antiperiodicidad, por ser campos fermiŽonicos. La funciŽon de particioŽn euclŽidea de QCD sin renormalizar se escribe ZQCD = DA”(x0, x) A” ( ,x)=A” (0,x) donde la accioŽn euclŽidea es Nf Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SE) , q(,x)=-q(0,x) =1 (3.10) SE = - 1 2g 2 dx0 0 d3x tr(F”2 ) + dx0 0 Nf d3x q(D/ +m)q . =1 (3.11) D” = ” + A” es la derivada covariante y A” es una matriz antihermŽitica de dimensiŽon Nc, en la representacioŽn fundamental del Žalgebra de Lie del grupo gauge SU(Nc). Nf es el nuŽmero de sabores diferentes de quarks, y m es la masa desnuda de los quarks. En el tratamiento que haremos para calcular la accioŽn efectiva a un loop, las fluctuaciones cuaŽnticas de los campos gauge no van a modificar el sector de los quarks. La contribucioŽn de este sector constituiraŽ una correcciŽon a la funciŽon de particioŽn de YangMills, de modo que podremos hacer uso de la siguiente factorizacioŽn ZQCD = ZqZYM , (3.12) donde Zq y ZYM corresponden a la funciŽon de particioŽn del sector fermiŽonico y gluoŽnico respectivamente. Esto se justificaraŽ en la secciŽon 3.3. Calcularemos cada una de estas contribuciones por separado. 3.2. Sector fermiŽonico La contribucioŽn de los quarks es maŽs simple que la gluŽonica, de modo que la trataremos en primer lugar para asŽi conseguir una mayor claridad en el desarrollo. Los resultados de esta secciŽon serŽan vaŽlidos para cualquier grupo gauge. En la secciŽon 3.3 se particularizarŽan las fŽormulas para grupos gauge concretos. Consideraremos el caso particular de quarks sin masa (m = 0). 44 CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta La funciŽon de particioŽn sin renormalizar es Nf Zq[A] = Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SqE) , q(,x)=-q(0,x) =1 con la accioŽn euclŽidea SqE = dx0 0 Nf d3x q D/ q . =1 La integral funcional de los campos de los quarks conduce a (3.13) (3.14) Zq[A] = Det(D/ )Nf , (3.15) y la accioŽn efectiva euclŽidea es1 dqesn[A] = -Nf log Det(D/ ) = -Nf Tr log(D/ ) . (3.16) Esta expresiŽon es formal debido a la presencia de divergencias ultravioletas. UŽ nicamente despuŽes de regularizar y renormalizar estas divergencias se obtiene una accioŽn efectiva finita y bien definida. Existe un gran nuŽmero de mŽetodos diferentes para obtener una versioŽn renormalizada, pero un resultado estŽandar de teorŽia cuaŽntica de campos perturbativa es que diferentes definiciones de pueden diferir a lo sumo en tŽerminos que son polinomios locales de dimensiŽon canoŽnica d + 1 (donde d + 1 es la dimensiŽon del espacio-tiempo), construidos con los campos externos y sus derivadas [18, 50]. Esto es debido a que todos los diagramas de Feynman son convergentes maŽs allŽa de d + 1 derivadas en los campos o en los momentos externos [51]. En la praŽctica vamos a tener que cualquier mŽetodo consistente con la expresiŽon formal de la accioŽn efectiva puede ser usado, puesto que todos ellos van a dar la misma contribucioŽn finita ultravioleta. 3.2.1. AcciŽon efectiva con representaciŽon de Schwinger De acuerdo con el tratamiento usual, elevaremos al cuadrado el operador de Dirac con objeto de obtener un operador de Klein-Gordon. Haciendo uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio podemos escribir la contribucioŽn del sector fermiŽonico a la accioŽn efectiva de QCD a un loop como q [A] = - Nf 2 Tr log(D/2) = Nf 2 0 d Tre D/2 =: dx0 0 d3x Lq(x) , (3.17) Lq (x) = Nf 2 d ”2 0 (4 )D/2 ntr(bTn,q(x)) . n (3.18) Usamos regularizacioŽn dimensional para regular las divergencias ultravioletas en = 0, con el convenio D = 4 - 2. El factor ”2 restablece la dimensiŽon 4 en masa del lagrangiano 1Nuestro convenio para la acciŽon efectiva es Z = e-. 3.2 Sector fermiŽonico 45 efectivo. La traza de Dirac estŽa incluida en bTn,q y tr se refiere a traza en el espacio de color. Para aplicar nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita al cŽalculo de la accioŽn efectiva uŽnicamente debemos identificar el operador de Klein-Gordon correspondiente. Usa- remos el siguiente convenio para las matrices ”: ” = ” , {”, } = 2” , trDirac(1) = 4 . (3.19) Se puede escribir - D/2= -D”2 - 1 2 ” F” , (3.20) donde se ha usado ” = ” + ”. El operador de ec. (3.20) es de tipo Klein-Gordon, y podemos identificar el tŽermino de masa como M (x) = - 1 2 ” F” . 3.2.2. Traza en espacio de Dirac El siguiente paso es hacer uso de los coeficientes de heat kernel (2.70) y calcular la traza en el espacio de Dirac. La traza en este espacio muestra que bT1 y bT5/2 no van a contribuir, lo cual es extensible a todos los tŽerminos del heat kernel con una uŽnica M. Usamos las siguientes propiedades trDirac(”1 ”2 · · · ) ”2n+1 = 0 , trDirac(”) = 4” , trDirac(”) = 4(” - ” + ” ) . (3.21) Existe otra propiedad que permite invertir el orden de las matrices ” dentro de la traza trDirac(” · · · ) = trDirac(· · · ”) . (3.22) Hasta dimensiŽon de masa 6 tenemos bT0,q = 40 , bT2,q = - 2 3 0F”2 + 2Ei2 , (3.23) bT3,q = 0 32 45 F” F F” + 1 6 F2” - 1 15 F”2” + 2 1 15 Ei2i - 1 10 F02ij - 2 15 EiFij Ej + 2 5 4 - 2 E02i . Las funciones n corresponden a su versioŽn fermiŽonica, esto es, la suma es sobre las fre- cuencias de Matsubara p0 = 2(n + 1 2 )/ . Los tŽerminos que rompen simetrŽia Lorentz se han separado explŽicitamente. 46 CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta 3.2.3. Integrales en tiempo propio Como hemos indicado, vamos a hacer uso de la regularizacioŽn dimensional en la integral sobre , ec. (3.18). Las integrales van a ser del tipo I±,n() := 0 d (4”2 ) ±n () , || = 1 , (3.24) donde ±n se refiere a la versioŽn bosoŽnica o fermiŽonica, respectivamente. En el sector fermiŽonico es el loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental. A nivel praŽctico en realidad va a indicar cada uno de los autovalores del loop de Polyakov. En el apŽendice B se calculan estas integrales y se discuten algunas de sus propiedades. Para el sector de los quarks nos va a interesar la versioŽn fermiŽonica de las integrales, y hasta dimensiŽon 6 en masa necesitamos sŽolo valores pares de n: I-,2n(ei2) = (-1)n(4) ” 2 2 2 ( + n + + 1 2 ) 2 ( 1 2 ) Ś (1 + 2 + 2, 1 2 + ) + (1 + 2 + 2, 1 2 - ) , - 1 2 < < 1 2 , (3.25) donde hemos hecho uso de la notaciŽon = ei2. (z) es la funciŽon Gamma de Euler y (z, q) la funciŽon de Riemann generalizada [52]. En general las integrales I±,n() van a ser funciones univaluadas en , esto es, periŽodicas en con perŽiodo 1. La foŽrmula (3.25) se ha de escrito de manera este intervalo debe que sea directamente aplicable en el considerarse una extensiŽon periŽodica intervalo - 1 2 de la funciŽon. A 1,15 Tc. N a b g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF 4 aNLO 2.99(12) (0,86(2))2 1.87 4 -0.31(6) 2.19(13) (0,73(3))2 0.25 Cuadro 4.4: Resultado del ajuste con ec. (4.27) de los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22]. Se han incluido datos por encima de 1,15 Tc. En la primera fila se ha tomado b como paraŽmetro libre, y se considera para a el valor perturbativo a NLO, ec. (4.30). En la segunda fila se toman a y b como paraŽmetros libres. Hemos usado Tc/MS = 0,77(9), con Tc = 202(4) MeV [92] y MS = 261(31) MeV [93]. En el ajuste hemos considerado el mismo peso para todos los puntos, y el valor de 2 corresponde a un error representativo de ±0,05 en 2 log(L(T )) (similar al caso quenched). Al igual que en el caso quenched, el valor de a es consistente con el valor perturbativo 4.4 ComparaciŽon con datos del retŽiculo 85 a temperatura grande aNLO = -0,35(2) (T = 6 Tc) . (4.34) La pŽerdida del patrŽon lineal para temperaturas por debajo de 1,15 Tc no se explica convenientemente si consideramos nuevos condensados de dimensiŽon mayor. En efecto, hemos sido incapaces de extraer de los datos un condensado de dimensiŽon 4. En la tabla 4.5 se muestra el resultado del ajuste para T > 1,0 Tc al considerar en ec. (4.32) el tŽermino extra c(Tc/T )4. N a b c 2/DOF 4 aNLO 2.44(21) 1.07(19) 12.8 Cuadro 4.5: Ajuste de los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22], con ec. (4.27) y un tŽermino extra c(Tc/T )4. Se han incluido datos por encima de 1,0 Tc. El ajuste no es bueno, y la gran correlacioŽn que encontramos entre b y c hace que no se pueda extraer informaciŽon fiable de este nuevo paraŽmetro. 4.4.3. Otros resultados quenched Recientemente ha aparecido en la literatura un mŽetodo alternativo para renormalizar el loop de Polyakov en el retŽiculo. En ref. [94] los autores consideran loops de Polyakov aislados en gluodinŽamica pura, y hacen una renormalizaciŽon multiplicativa mediante la extraccioŽn de la autoenergŽia del quark. Si PR(x) denota el loop de Polyakov renormalizado en una representacioŽn irreducible arbitraria R en el punto x, se tiene3 PR(x) =1 ZR P desn (x) , ZR = exp - mdRiv T , (4.35) donde se ha dividido por una constante de renormalizaciŽon apropiada ZR. Pden(x) indica el operador loop de Polyakov desnudo. EŽste es un tipo estŽandar de renormalizaciŽon de masa, si bien aquŽi se debe tener en cuenta que, puesto que la lŽinea de Wilson es un operador no local, la constante de renormalizaciŽon dependeraŽ de la longitud del camino: en general, para un camino de longitud se tiene ZR = exp(-mdRiv). El problema principal reside en cŽomo determinar las masas divergentes de un modo no perturbativo. En un espacio-tiempo de cuatro dimensiones la masa divergente para un quark test mdRiv es lineal con el cutoff ultravioleta, el cual es proporcional al inverso del espaciado del retŽiculo, a, esto es: mdRiv 1 a . (4.36) 3En nuestra notacioŽn PR(x) = 1 Nc Tr R (x) . 86 CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase -2log(L) 2.5 2 Nf=0, Nf=0, NRe=f.8[9, 3R]ef.[21] 1.5 1 0.5 0 a + b(Tc/T)2 -0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (Tc/T)2 Figura 4.4: Logaritmo de loop de Polyakov renormalizado en gluodinaŽmica (Nc = 3) frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transiciŽon de fase. Los datos del retŽiculo son de refs. [21] y [94]. Los ajustes usan ec. (4.27) con a y b como paraŽmetros libres para [21], y ec. (4.39) con a como paraŽmetro libre para [94]. Los autores consideran diferentes retŽiculos, todos a la misma temperatura fŽisica T , pero con diferentes valores del espaciado a. Puesto que el nuŽmero de puntos en la direccioŽn temporal N = 1/(aT ) es diferente en estos retŽiculos, obtienen la masa divergente amdRiv mediante comparaciŽon de los valores del loop de Polyakov desnudo en los diversos retŽiculos. Siguiendo este mŽetodo, los autores de [94] calculan el loop de Polyakov renormalizado en varias representaciones de SU(3). Nuestro interŽes se centra en la representacioŽn fundamental, y cuando comparamos con los datos de [21] encontramos que ambos resultados difieren cualitativamente, principalmente para temperaturas por encima de 1,3 Tc. En la figura 4.4 se muestran los dos conjuntos de datos. El origen de la discrepancia entre ambos resultados no estŽa del todo claro, aunque los autores de [94] no excluyen la posibilidad de que se deba a efectos del espaciado finito del retŽiculo, que no hayan sido tenidos en cuenta de manera conveniente. Existen varias razones para pensar que los resultados de [21] son maŽs fiables. Por una parte este mŽetodo resulta tŽecnicamente maŽs simple y susceptible de ser comprobado. Los autores pueden comprobar que a cortas distancias los dos loops de Polyakov reproducen de una manera muy precisa el potencial quark-antiquark a temperatura cero como funciŽon de r para todas las temperaturas. El contacto entre el potencial a temperatura cero y el correspondiente a temperatura finita es casi total hasta una separacioŽn r(T ), relacionada con la masa de Debye, lo cual permite una determinacioŽn muy precisa del contratŽermino C(T ) de ec. (4.29). AdemaŽs, el cŽalculo estŽa hecho para dos taman~os diferentes del retŽiculo, N = 4 y N = 8 (tambiŽen N = 16 en [95]), y los resultados muestran una dependencia muy pequen~a en el cutoff, lo cual significa que el lŽimite del continuo ha sido alcanzado. El mŽetodo de ref. [94] es tŽecnicamente maŽs complicado, pues necesita comparar taman~os 4.4 ComparaciŽon con datos del retŽiculo 87 diferentes del retŽiculo a la misma temperatura fŽisica T . La extraccioŽn del contratŽermino es asimismo maŽs compleja, pues el anŽalogo de C(T ) en ec. (4.29) se escribe como una serie en potencias de T con coeficientes que deben de ser ajustados con los datos del loop de Polyakov desnudo. Por otra parte, desde el punto de vista del modelo que proponemos en nuestro trabajo, esperamos que las correcciones no perturbativas sean despreciables a las temperaturas maŽs altas de los dos datos del retŽiculo, pero uŽnicamente [21] parece ser consistente con teorŽia de perturbaciones [23] a esas temperaturas. El mŽetodo de [94] renormaliza el logaritmo del loop de Polyakov siguiendo este esquema4 - log Ldesn(T ) = f divN + f ren + f latN-1 , (4.37) donde Ldesn(T ) = 1 Nc Tr desn(x) , L(T ) = 1 Nc Tr R(x) = e-fren . (4.38) Podemos especular con esta fŽormula suponiendo que los tŽerminos que dependen del cutoff no han sido extraŽidos completamente en los datos, o bien que despuŽes de haber sido extraŽidos permanezcan tŽerminos del mismo tipo a los extraŽidos. En concreto, consideraremos el siguiente patrŽon de ajuste - 2 log L = a + b Tc T 2 + a-1 Tc T + a + a1 T Tc . (4.39) En la tabla 4.6 se muestran los resultados del ajuste de los datos del retŽiculo (figura 8 de ref. [94]) para el loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental, en el rŽegimen 1,3 Tc < T < 3,5 Tc. a a a + a b a-1 a1 2/DOF aNLO 1.8 ± 1.8 - 1.4 ± 2.6 -1.0±3.8 -0.29±0.26 0.0349 - - 1.6 ± 1.8 1.3 ± 2.6 -1.4 ± 3.8 -0.28 ± 0.26 0.0350 Cuadro 4.6: Resultado del ajuste con ec. (4.39) de los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinaŽmica [94]. En la primera fila se ha tomado para a el valor aNLO de ec. (4.30), y en la segunda se ha considerado a como paraŽmetro libre. Un hecho alentador es que el valor del condensado parece ser compatible con el obtenido en la secciŽon 4.4.1 a partir de los datos de ref. [21]. No obstante, esta especulacioŽn no es totalmente concluyente y serŽia deseable un acuerdo entre los resultados de ambos grupos antes de sacar nuevas consecuencias. 4Nos vamos a limitar a analizar los datos correspondientes al loop de Polyakov en representaciŽon fundamental. En sec. 5.7 se discute el comportamiento del loop de Polyakov adjunto obtenido en el contexto de modelos de quarks quirales a temperatura finita. 88 CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase 4.4.4. RelaciŽon con otras determinaciones del condensado Si bien nuestra determinacioŽn del condensado se ha hecho en el gauge estŽatico y a temperatura finita, resulta tentador comparar con condensados a temperatura cero g2 A2”,a , calculados en la literatura en quenched QCD y en el gauge de Landau. En la tabla 4.7 se muestran algunos valores de este condensado obtenidos recientemente por diferentes procedimientos. El acuerdo entre ellos es aceptable. Referencia Del propagador del gluŽon [77] Del vŽertice simŽetrico de tres gluones [77] De la cola del propagador del quark [78] De la cola del propagador del quark [79] g2 A2”,a (GeV)2 (2,4 ± 0,6)2 (3,6 ± 1,2)2 (2,1 ± 0,1)2 (3,0 - 3,4)2 Cuadro 4.7: Valores del condensado g2 A2”,a a temperatura cero, en el gauge de Landau en quenched QCD. A temperatura cero todas las componentes de Lorentz contribuyen de igual forma, lo cual sugiere un factor de conversioŽn 4 al pasar de g2 A2”,a a g2 A20,a . Sin embargo, de acuerdo con ref. [74], en el gauge de Landau el condensado total escala como D-1, donde D es la dimensiŽon del espacio euclŽideo, lo cual sugiere un factor de conversioŽn 3. En cualquier caso, si tenemos en cuenta tanto las incertidumbres de los datos del retŽiculo como las teoŽricas, el acuerdo es significativo, pues estamos comparando resultados a temperaturas y gauges diferentes. Podemos comparar asimismo nuestro resultado para el condensado gluoŽnico con cŽalculos realizados a temperatura finita basados en el estudio de contribuciones no perturbativas de la presiŽon en gluodinŽamica pura [80, 96]. Estos resultados conducen a g2 A20,a No Pert = (0,93(7) GeV)2 , (4.40) en el gauge de Landau.5 Todos estos anŽalisis muestran un esquema coherente en su conjunto. 4.5. EnergŽia libre de un quark pesado El potencial quark-antiquark a temperatura finita se puede obtener a partir de la funciŽon de correlacioŽn de dos loops de Polyakov separados. Como sabemos, si se toma el lŽimite de separacioŽn grande se obtiene el valor esperado del loop de Polyakov, ec. (4.29). En el lŽimite de separacioŽn pequen~a los efectos tŽermicos son despreciables, y este potencial coincide con el potencial quark-antiquark a temperatura cero. 5Este valor ha sido obtenido a partir de los datos del retŽiculo de la figura 2 de ref. [80], y tambiŽen de la figura 1 de ref. [96], en la regiŽon de temperaturas usada en nuestros ajustes de la seccioŽn 4.4.1. 4.5 EnergŽia libre de un quark pesado 89 Hasta ahora hemos aplicado nuestro modelo fenomenolŽogico de ecs. (4.22)-(4.23) para dar cuenta de las correcciones no perturbativas en el loop de Polyakov. En esta secciŽon aplicaremos este modelo para describir los datos del retŽiculo de la energŽia libre de un quark pesado. 4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energŽia libre El potencial quark-antiquark puede relacionarse con la amplitud de scattering correspondiente al intercambio de un uŽnico gluŽon. En el lŽimite no relativista, para la energŽia libre en el canal singlete se tiene F1(x, T ) = - Nc2 - 2Nc 1 g2 d3k (2)3 eik·xD00(k) . (4.41) Podemos estudiar contribuciones no perturbativas en la energŽia libre aplicando el mo- delo que desarrollamos en la secciŽon 4.3. Si sustituimos (4.22) en (4.41) obtenemos ademaŽs de las contribuciones perturbativas a LO (O(g2)) y NLO (O(g3)), nuevas contribuciones no perturbativas6 F1(r, T ) = - Nc2 - 2Nc 1 g2 4r + 1 g2 Nc2 - 1 A20,a No Pert T e-mDr- Nc2 - 1 g2mD + g2 A20,a No Pert . 2Nc 4 2NcT (4.42) Si consideramos el lŽimite r en (4.42), se obtiene esencialmente el logaritmo del loop de Polyakov F(T ) F1(r , T ) = -2T log L(T ) = - Nc2 - 2Nc 1 g2mD 4 + g2 A20,a No Pert 2NcT + O(g4) . (4.43) Esta expresiŽon coincide con ec. (4.27), teniendo en cuenta ec. (4.31) para b y ec. (4.30) hasta O(g3) para a. En el lŽimite de temperatura cero, para lo cual consideramos mDr 0 en (4.42), se tiene F1(r, T ) T0 - Nc2 - 2Nc 1 g2 4r + r VqŻq(r) , (4.44) donde = Nc 3 + Nf 6 1/2 g3 A20,a 2Nc T =0 . (4.45) En esta expresiŽon, A20,a T =0 denota el condensado a temperatura cero. En este lŽimite se llega obviamente a la expresiŽon del potencial quark-antiquark a temperatura cero [97]. El tŽermino de Coulomb es el resultado perturbativo estŽandar a LO, mientras que el segundo tŽermino es una contribucioŽn lineal no perturbativa bien conocida en la literatura. Ec. (4.44) 6Hacemos uso de las reglas de regularizaciŽon dimensional y consideramos g independiente de k. 90 CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase s(r,T) 0.19 0.18 T=3Tc T=6Tc T=9Tc 0.17 T=12Tc 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0 0.5 1 1.5 2 rT Figura 4.5: Constante de acoplamiento s frente a rT en gluodinŽamica pura (Nc = 3), para diferentes valores de T . Datos obtenidos a partir del ajuste de ec. (4.42) con los datos del retŽiculo de la figura 5 de ref. [98]. con g = /2 corresponde al modelo de cuerda bosoŽnica, y reproduce los datos del retŽiculo para VqŻq(r) en el rango 0,75 GeV-1 r 4 GeV-1 con un error del 1 % [97]. Nuestro modelo predice un valor concreto para la tensiŽon de la cuerda . Como vemos, el modelo predice para la energŽia libre unos comportamientos asintŽoticos totalmente coherentes con la fenomenologŽia conocida. Esto refuerza nuestra suposiciŽon de existencia de contribuciones no perturbativas dadas por condensados gluoŽnicos. 4.5.2. ComparaciŽon con datos del retŽiculo Podemos comparar nuestro resultado, ec. (4.42), con datos del retŽiculo existentes para la energŽia libre. Puesto que conocemos el valor del condensado g2 A20,a No Pert, esto nos va a permitir obtener la dependencia en r y T de la constante de acoplamiento s g2/4. En la figura 4.5 se muestra el valor de s frente a rT para diferentes valores de la temperatura. Las curvas se han obtenido tras ajustar ec. (4.42) con los datos de ref. [98] (figura 5) para gluodinŽamica (Nc = 3). Como valor de g2 A20,a No Pert consideramos el de la tabla 4.2 con N = 8. Se observa un comportamiento suave para s y los valores son relativamente pequen~os, lo cual contrasta con anŽalisis recientes en el retŽiculo a temperatura finita [22, 98]. Estos autores tienen en cuenta los efectos no perturbativos que observan en los datos del retŽiculo de la energŽia libre mediante el uso de dos constantes: s y s; y esta uŽltima se diferencia del valor perturbativo por un factor multiplicativo: s(r, T ) = sPert(r, T ) , > 1 . (4.46) Esto no tiene justificaciŽon teoŽrica, y se trata en realidad de un esquema de anŽalisis dema- 4.5 EnergŽia libre de un quark pesado 91 siado forzado, pues la constante no es tal, sino que tiene una dependencia en temperatura, de tal modo que vale 1 en el lŽimite T .7 Los valores que obtienen para las s's son excesivamente grandes. Por el contrario, al considerar nuestro modelo, el ajuste de los datos del retŽiculo de la energŽia libre resulta maŽs natural. Notar que el comportamiento r de s(r, T ) que se observa en fig. 4.5 es consistente con el hecho de que nuestro mejor ajuste de los datos del loop de Polyakov renormalizado sea con a = constante. 4.5.3. AnalogŽia entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero Al comparar (4.43) con (4.44) se observa que las expresiones son similares desde un punto de vista formal, con la identificacioŽn r 1/mD. Si consideramos que no existe dependencia en r y T para la constante de acoplamiento g y el condensado A20,a , de ec. (4.43) a LO y de ec. (4.44) se deduce la siguiente propiedad F(T ) = VqŻq(r) . r=1/mD (4.48) Notar que (4.48) es vaŽlida sŽolo a LO en teorŽia de perturbaciones. Con objeto de comprobar numŽericamente esta propiedad debemos tener en cuenta los diferentes comportamientos asintŽoticos de s. Usaremos la siguiente notaciŽon: s(r) s(r, T = 0) , s(T ) s(r , T ) . (4.49) La propiedad (4.48) se escribirŽa ahora8 BF(T ) = VqŻq(r) , r=/T (4.51) donde B= s(r) s(T ) 3/4 , = 1 4(Nc/3 + Nf /6) s(r) s(T )3 1/4 . (4.52) 7El ajuste que se considera en ref. [22, 98] se hace en base a la fŽormula Ffit(r, T ) = - 4(T 3r ) exp - 4(T ) rT + b(T ) , (4.47) donde (T ) y (T ) se usan como dos paraŽmetros de ajuste independientes. Esta fŽormula uŽnicamente les permite ajustar el comportamiento de F1(r, T ) a grandes distancias, en contraste con ec. (4.42), que reproduce correctamente tambiŽen el comportamiento a r pequen~o, que viene dado por VqŻq(r). 8Esta propiedad tambiŽen se puede expresar como F(T )/T = rVqŻq(r) , r = /T donde B y estaŽn definidos en ec. (4.52). = B , (4.50) 92 CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase 2 NNrVff==qq00(,,r)NN|r===/48T,,, Ref.[21] Ref.[21] Ref.[96] 1.5 -2 log(L) 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 (Tc/T)2 Figura 4.6: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinaŽmica (Nc = 3), reescalado con , ec. (4.50), frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transiciŽon de fase. Los cuadrados negros y blancos corresponden a datos del retŽiculo para el loop de Polyakov de ref. [21]. Las cruces corresponden a datos en el retŽiculo del potencial quark-antiquark a temperatura cero, rVqŻq(r), de ref. [97], y modificados con el cambio r = /T . La lŽinea continua representa el modelo de cuerda bosoŽnica que reproduce muy bien los datos del retŽiculo para rVqŻq(r) en la regioŽn 0,75 GeV-1 r 4 GeV-1. Con el cambio r = /T , esta regioŽn corresponde a 0,06 (Tc/T )2 1,6. La propiedad (4.51), con los valores de los paraŽmetros B y dados en ec. (4.52), se ha deducido suponiendo que se cumple s(T ) A20,a No Pert T = s(r) A20,a T =0 . (4.53) El miembro izquierdo de la igualdad s(T ) A20,a No Pert ha sido ajustado en la secciŽon 4.4.1. El valor de s(r) A20,a T =0 puede obtenerse a partir del valor conocido para la tensioŽn de la cuerda, = (0,42 GeV)2, y la ecuaciŽon (4.45). NumŽericamente encontramos que ec. (4.53) es correcta con un error del 9 %. En la figura 4.6 se muestran los datos del retŽiculo en gluodinŽamica para -2 log L frente a (Tc/T )2 (ref. [21]), y se comparan con el potencial quark-antiquark a temperatura cero rVqŻq(r) [97] despuŽes de haber considerado el cambio de variable que se especifica en ec. (4.50). Se observa un acuerdo excelente. Esta dualidad sugiere la existencia de una profunda analogŽia entre el potencial quark-antiquark a temperatura cero y el loop de Polyakov. 4.6. Conclusiones Tres son los resultados importantes de este capŽitulo. Por una parte, tras analizar de manera conveniente los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado por encima 4.6 Conclusiones 93 de la transiciŽon de fase de QCD, encontramos la contribucioŽn inequŽivoca de un condensado de dimensiŽon 2 no perturbativo. Estas contribuciones no han sido consideradas hasta ahora en el contexto del loop de Polyakov, pero de hecho son dominantes en la regioŽn cercana a la transiciŽon de fase y permiten describir los datos de [21] en la fase de desconfinamiento hasta 1,03 Tc para gluodinŽamica y de [22] hasta 1,15 Tc para dos sabores. En segundo lugar, hemos sugerido identificar este condensado con el condensado gluoŽni- co de dimensiŽon 2 invariante BRST. El valor numŽerico de g2 A20,a No Pert que obtenemos a partir del loop de Polyakov es totalmente consistente con el valor que se deduce de la presiŽon en gluodinŽamica [80, 96]. AdemaŽs, aun habiendo definido el condensado en un gauge estŽatico, su valor es significativamente proŽximo al valor de g2 A2”,a /4, obtenido a temperatura cero y en el gauge de Landau. En tercer lugar, a la luz de estos resultados hemos encontrado una analogŽia entre el potencial quark-antiquark a temperatura cero y el loop de Polyakov, la cual se manifiesta en la relacioŽn que predice nuestro modelo entre la tensiŽon de la cuerda y la pendiente del loop de Polyakov. 94 CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase CapŽitulo 5 Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita En este capŽitulo estudiaremos algunos modelos de quarks quirales en el contexto de temperatura finita. Haciendo uso de nuestra tŽecnica del heat kernel del capŽitulo 2, obtendremos el acoplamiento mŽinimo entre el loop de Polyakov gluŽonico y los quarks, lo cual solucionarŽa algunas inconsistencias presentes en el tratamiento estŽandar de estos modelos a temperatura finita a nivel de un loop de quarks. En primer lugar se estudiaraŽn algunas propiedades de las transformaciones gauge a temperatura finita, lo cual nos llevaraŽ a considerar la simetrŽia del centro como aquella que es generada por la accioŽn de transformaciones gauge locales que son periŽodicas en la variable temporal salvo un elementro arbitrario del centro del grupo gauge. Para maŽs detalles sobre este punto, ver apŽendice A. Posteriormente introduciremos dos modelos: modelo de Nambu­Jona-Lasinio y modelo quark espectral. Con ellos ilustraremos la problemaŽtica del tratamiento estŽandar a temperatura finita que se viene haciendo en los modelos de quarks quirales, y definiremos un modelo quark quiral con acoplamiento del loop de Polyakov que permitiraŽ compatibilizar los resultados con los conocidos de TeorŽia Quiral de Perturbaciones. Calcularemos el lagrangiano quiral efectivo en estos modelos hasta O(p4) en un desarrollo en momentos externos, y se estudiaraŽ la estructura que presenta este lagrangiano a temperatura finita. Se haraŽ un estudio de algunas correcciones de orden mayor, tales como correcciones maŽs allŽa de un loop de quarks, correcciones gluŽonicas y correcciones locales en el loop de Polyakov. Finalmente se calcularŽan dos observables de interŽes: condensado quiral y valor esperado del loop de Polyakov; para lo cual se haraŽ un tratamiento unquenched, y se estudiaraŽ el mecanismo de rotura de la simetrŽia del centro que conduce a la transiciŽon de fase de QCD. El capŽitulo estŽa basado en las referencias [99, 100]. 95 96 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita 5.1. Transformaciones gauge grandes En el apŽendice A discutimos las transformaciones gauge en el contexto de la TeorŽia CuŽantica de Campos a temperatura finita. Al comienzo de este capŽitulo vamos a hacer un repaso de las principales propiedades de estas transformaciones, y la importancia que tienen para el estudio de los procesos de desconfinamiento de color en QCD. Esta secciŽon podrŽia haberse incluido igualmente en el capŽitulo 3, pero hemos preferido ponerla aquŽi para que el capŽitulo quede autoconsistente, pues como veremos los modelos de quarks quirales nos van a permitir una descripciŽon de la transiciŽon de fase de QCD. 5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita En el formalismo de Tiempo Imaginario el espacio-tiempo es un cilindro topoloŽgico, de tal modo que el tiempo imaginario euclŽideo estŽa compactificado y las integrales funcionales se evaluŽan bajo la condicioŽn de que los campos sean periŽodicos para bosones y antiperiŽodicos para fermiones en el intervalo temporal [0, ], donde = 1/T . En un principio, sŽolo estarŽian permitidas las transformaciones gauge periŽodicas g(x0, x) = g(x0 + , x) , (5.1) pues los campos de los quarks y los bosones son estables frente a este tipo de transformaciones. Un ejemplo de tal transformaciŽon para el grupo gauge SU(Nc), en el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, con A0 una matriz diagonal Nc Ś Nc de traza cero, es g(x0) = ei2x0/ , (5.2) donde es una matriz diagonal de enteros, de traza cero, en el espacio de color, esto es ij = niij , ni Z , Nc j=1 nj = 0. Esta transformaciŽon no puede estar proŽxima a la identidad, y en este sentido se considera una transformaciŽon gauge grande. Bajo ella, el campo A0 transforma A0 A0 + 2 , (5.3) de modo que en este gauge, la invariancia gauge se manifiesta en la periodicidad del campo gluŽonico A0. El problema de teorŽia de perturbaciones radica en que esta invariancia a temperatura finita se rompe explŽicitamente si se hace un desarrollo perturbativo de A0, ya que el desarrollo de una funciŽon periŽodica da lugar a un polinomio, que no es periŽodico. Esta problemaŽtica de la invariancia gauge a temperatura finita conduce a la necesidad de tratar el campo A0 de una manera no perturbativa, y a tales efectos se considera el loop de Polyakov (o lŽinea de Wilson sin traza) como grado de libertad independiente (x). Transforma de manera covariante en x bajo una transformaciŽon gauge periŽodica (x) g-1(x)(x)g(x) , (5.4) y en el gauge de Polyakov, (x) = eiA0(x), es invariante gauge. 5.1 Transformaciones gauge grandes 97 5.1.2. SimetrŽia del centro En gluodinŽamica pura a temperatura finita la condicioŽn (5.1) resulta en realidad demasiado restrictiva, y es posible considerar transformaciones gauge aperiŽodicas g(x0 + , x) = z g(x0, x) , zNc = 1 . (5.5) z es un elemento de Z(Nc), que es el centro del grupo gauge SU(Nc), esto es z = ei2n/Nc , n Z(Nc). Un ejemplo de esa transformaciŽon, en el gauge de Polyakov, es g(x0) = ei2x0/Nc , (5.6) donde z = ei2/Nc. El campo A0 y el loop de Polyakov transforman bajo (5.6) como A0 A0 + 2 Nc , z . (5.7) transforma como la representacioŽn fundamental del grupo Z(Nc). FŽisicamente el promedio tŽermico del loop de Polyakov (con traza) en la representacioŽn fundamental determina la energŽia libre relativa al vacŽio de un uŽnico quark, e-Fq(x) = 1 Nc trc (x) . (5.8) De ec. (5.7) se deduce (por invariancia gauge) que trc (x) = z trc (x) , (5.9) y por tanto trc (x) = 0 en la fase en que la simetrŽia del centro se preserva (fase de confinamiento). De manera maŽs general, se obtiene trc n(x) = 0 para n = mNc , m Z . (5.10) La simetrŽia del centro estŽa espontŽaneamente rota por encima de una cierta temperatura (TD 270 MeV para Nc = 3), lo cual indica una fase de desconfinamiento. En esta fase trc (x) puede tomar valores diferentes de cero. 5.1.3. Rotura de la simetrŽia del centro por fermiones Las funciones de onda de los fermiones deben satisfacer condiciones antiperiŽodicas en la direcciŽon temporal, esto es q(, x) = -q(0, x), de modo que bajo una transformaciŽon del tipo (5.5) q(, x) g(, x)q(, x) = -zg(0, x)q(0, x) , (5.11) en lugar de -g(0, x)q(0, x). Notar que q(n)q(0) z-nq(n)q(0), lo cual implica que en la fase confinante (con simetrŽia del centro) q(n)q(0) = 0 para n = mNc , m Z . (5.12) 98 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita Esto genera una regla de selecciŽon en gluodinŽamica pura. Los fermiones no son estables bajo las transformaciones del tipo (5.5) (uŽnicamente lo son bajo transformaciones periŽodicas), de modo que rompen explŽicitamente la simetrŽia del centro. Esto significa que la regla de selecciŽon (5.12) no se realiza en la praŽctica. No obstante, esta regla serŽa importante en el contexto de modelos de quarks quirales en el lŽimite de Nc grande, tal y como veremos maŽs adelante. 5.2. Modelos de Quarks Quirales En esta secciŽon explicaremos dos modelos de quarks quirales de especial relevancia: el modelo de Nambu­Jona-Lasinio [29] y el modelo quark espectral [101]. 5.2.1. Modelo Quark de Nambu­Jona-Lasinio El lagrangiano euclŽideo del modelo de Nambu­Jona-Lasinio generalizado es LNJL = q(/ +m^ 0)q + 1 2a2s Nf2 -1 ((qaq)2 a=0 + (qai5q)2) + 1 2a2v Nf2 -1 ((qa”q)2 a=0 + (qa”5q)2) , (5.13) donde q = (u, d, s, . . .) representa el campo de los quarks con Nc colores y Nf sabores. Las 's son las matrices de Gell-Mann del grupo U(Nf ) y m^ 0 = diag(mu, md, ms, . . .) es la matriz de masa de los quarks. 1/a2s y 1/a2v son las constantes de acoplamiento. Este lagrangiano es invariante bajo simetrŽia global de color SU(Nc). El funcional generador en presencia de campos externos bosoŽnicos (s, p, v, a) y fermiŽoni- cos (, ) es ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDq exp - d4x(LNJL + q(v/ + a/ 5 + s + i5p)q + q + q) . (5.14) Los sŽimbolos s, p, v” y a” indican campos externos (en espacio de sabor) de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial, respectivamente. En funciŽon de los generadores del grupo de sabor U(Nf ), estos se escriben s = Nf2 -1 sa a 2 , ··· a=0 (5.15) La accioŽn del modelo puede ser bosonizada mediante la introduccioŽn de campos bosoŽnicos auxiliares, lo cual va a transformar la interaccioŽn local de cuatro puntos en un acoplamiento 5.2 Modelos de Quarks Quirales 99 tipo Yukawa [102]. El nuevo funcional generador es ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDqDSDP DV DA exp - d4x q(/ + V/ + A/ 5 + S + i5P)q + a2s 4 tr((S - m^ 0)2 + P 2) - a2v 4 tr(V”2 + A2”) + q + q ,(5.16) donde hemos escrito en notaciŽon corta S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. En esta fŽormula (S, P, V, A) representan campos bosoŽnicos dinŽamicos internos de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial respectivamente. Los campos S(x), P(x), V”(x) y A”(x) son matrices en espacio interno (que se entiende como espacio de sabor), son la identidad en espacio de Dirac y operadores multiplicativos en el espacio x. S(x) es hermŽitico y P(x), V”(x) y A”(x) son antihermŽiticos. En la secciŽon 5.4 extenderemos los campos A”(x) y V”(x) para que sean matrices no triviales en espacio de color, lo que nos permitiraŽ acoplar el loop de Polyakov de color en el modelo. Por conveniencia en nuestro desarrollo hemos incluido la rotura explŽicita de la simetrŽia quiral (proporcional a m^ 0) en el tŽermino bosoŽnico local. Podemos integrar formalmente sobre fermiones, lo cual conduce a ZNJL[s, p, v, a, , ] = DSDP DV DA Det(D)Nc exp( |D-1| ) (5.17) exp - d4x a2s 4 tr((S - m^ 0)2 + P 2) - a2v 4 tr(V”2 + A2”) donde D =/ + V/ + A/ 5 + S + i5P es un operador de Dirac. Este operador se puede escribir en la forma (5.18) D =D/V + A/ 5 + M U 5 , (5.19) donde D”V = ” + V” es la derivada covariante vector, M es la masa constituyente de los quarks, y U es una matriz en espacio de sabor que representa los octetes pseudoescalares delos mesones en la representacioŽn no lineal. Para tres sabores, Nf = 3, se escribe U = ei 2/f , con = 1 2 0 + - 1 6 K- + - 1 2 0 + KŻ 0 1 6 K+ K0 . - 2 6 (5.20) f es la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn en el lŽimite quiral. En lo que sigue consideraremos la accioŽn efectiva a nivel de un loop de quarks y a nivel Žarbol para los mesones. En este caso NJL = q[D] + m , (5.21) 100 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita donde q[D] = -NcTr log(D) , (5.22) m = d4x a2s 4 tr(S 2 + P 2) - a2s 2 tr(m^ 0S) + a2s 4 tr(m^ 20) - a2v 4 tr(V”2 + A2”) (5.23) En adelante nos vamos a referir al tŽermino q[D] como la contribucioŽn de los quarks a un loop. EŽste serŽa el tŽermino que calculemos como aplicaciŽon de nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita. La contribucioŽn de los quarks a la accioŽn efectiva se puede separar en una parte 5-par y otra 5-impar, correspondiente a procesos de paridad normal y anormal, respectivamente. En espacio euclŽideo, la primera corresponde a la parte real de la accioŽn efectiva, y la segunda a la parte imaginaria. Introduciremos el operador D5[S, P, V, A] = 5D[S, -P, V, -A]5 , (5.24) que en espacio euclŽideo se corresponde con el hermŽitico conjugado D. La contribucioŽn de paridad normal es cuadrŽaticamente divergente y puede ser regularizada de un modo invariante gauge quiral mediante el esquema de Pauli-Villars [56] +q [D] = - Nc 2 Tr ci log(D5D + 2i ) , i (5.25) donde los reguladores de Pauli-Villars satisfacen c0 = 1, 0 = 0 y i ci = 0, i ci2i = 0, lo cual permitiraŽ hacer finitas las divergencias logarŽitmicas y las cuadrŽaticas, respectivamente. Haciendo uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio, esta contribucioŽn se escribe +q [D] = Nc 2 0 d ( ) Tr e-D5D , (5.26) donde ( ) = ci e- 2i . (5.27) i Las funciones de Green se pueden obtener a partir de (5.21) derivando respecto a los campos medios mesoŽnicos. De particular interŽes es la funciŽon a un punto. Si en (5.21) consideramos solamente la parte real de la contribucioŽn de los quarks a un loop, esto es (5.25), esta accioŽn presenta un punto estacionario invariante traslacional en (S, P ) = (, 0), (V”, A”) = (0, 0) +NJL [S ] S(x) S(x)= = a2s 2 tr( - m^ 0 ) - Nc 2 Tr (D5D)-1 (D5D) S(x) = 0. S(x)= (5.28) El punto estacionario se identifica con el valor esperado en el vacŽio del campo S en la aproximaciŽon de un loop de quarks. Introduciendo la accioŽn efectiva regularizada (5.26) en (5.28) obtenemos la siguiente ecuaciŽon para a2s( - m^ 0) - 8Nc g() = 0 , (5.29) 5.2 Modelos de Quarks Quirales 101 donde g() = d4p (2)4 d ( ) e-(p2+2) . 0 (5.30) En adelante nos referiremos a (5.29) como ecuaciŽon del gap pues esta ecuaciŽon determina el gap de energŽia 2 entre los estados de quarks con energŽia positiva y negativa. juega el papel de la masa constituyente de los quarks. El condensado de quarks qq viene dado por qq = +NJL/m^ 0. De (5.23) se obtiene inmediatamente qq = - a2s 2 tr( - m^ 0) . (5.31) 5.2.2. Modelo Quark Espectral El Modelo Quark Espectral, desarrollado recientemente por E. Ruiz Arriola y W. Broniowski [101], es aplicable a fŽisica hadrŽonica en el rango de baja energŽia. La novedad reside en el uso de una regularizacioŽn espectral basada en la introducciŽon a nivel formal de la representacioŽn de Lehmann [50] del propagador del quark. Esta regularizacioŽn permite resolver de una manera simple las identidades de Ward-Takahashi quiral y electromagnŽetica mediante el uso de la llamada prescripciŽon gauge [103]. Consideraremos el modelo a nivel de un loop fermiŽonico y en el lŽimite quiral en que la masa de los quarks es cero. En esta secciŽon vamos a seguir la referencia [101]. El punto de partida es el propagador del quark, que en espacio de momentos se define S(p) = d4xe-px 0|T {q(x)q(0)}|0 . (5.32) Consideraremos una representacioŽn espectral para el propagador S(p) = C d () /p - , (5.33) donde () es la funciŽon espectral y C indica un contorno de integracioŽn en el plano complejo elegido de un modo conveniente. Este propagador puede ser parametrizado en la forma estŽandar S(p) = A(p) /p +B(p) = Z (p) /p p2 +M (p) - M 2(p) , (5.34) donde A(p) = C d () p2 - 2 , B(p) = C d () p2 - 2 . La masa y factor de renormalizaciŽon vienen dados por (5.35) M (p) = B(p) A(p) , Z(p) = (p2 - M 2(p))A(p) , (5.36) 102 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita respectivamente. Notar que si () = (-) tendrŽiamos M(p) = 0 y no existirŽia rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral. Por tanto es de esperar que () no sea una funciŽon par en general. La funciŽon espectral debe ser tal que proporcione valores finitos para los observables hadrŽonicos. Esto daraŽ lugar a una serie de condiciones que deben cumplir los momentos y los momentos logarŽitmicos de (), n = dn() , C n = d log(2/”2)n() , C n Z. (5.37) AquŽi ” es una cierta escala. Notar que por normalizacioŽn 0 = 1. Como ejemplo consideremos el condensado de quarks (por el momento trabajaremos a temperatura cero) qq = -Nc d() C d4p (2)4 trDirac /p 1 - . (5.38) Tras tomar la traza en el espacio de Dirac, la integral es cuadrŽaticamente divergente. Un modo de regularizarla es haciendo uso de un cutoff tridimensional con la siguiente sustitucioŽn d4p - 4 dp0 dp p2 , 0 p = |p| . (5.39) Con esta regularizacioŽn obtenemos qq = - Nc 42 d () C 22 + 2 log 2 42 + 2 . (5.40) Puesto que el resultado debe ser finito en el lŽimite , es necesario imponer las condiciones 1 = 0 y 3 = 0, lo cual conduce a qq = -Nc3/(42). El cŽalculo de otros observables va a dar lugar a condiciones adicionales. En general todos los observables van a ser proporcionales a los momentos inversos y a los momentos logarŽitmicos, y para que sean finitos se debe cumplir n = 0, n > 0. El modelo espectral no se ha desarrollado maŽs allŽa de un loop. La prescripciŽon gauge fue usada en el pasado en la obtenciŽon de soluciones de las ecuaciones de Schwinger-Dyson. Haciendo uso de ella se pueden resolver en este modelo las identidades de Ward-Takahashi. Sin embargo en situaciones en las que las lŽineas de propagadores de los quarks estŽan cerradas es maŽs conveniente el formalismo de la accioŽn efectiva. Consideraremos, como en el modelo de Nambu­Jona-Lasinio, acoplamientos escalar, pseudo-escalar, vector y axial. El acoplamiento quark-pioŽn debe satisfacer la relacioŽn de Goldberger-Treiman [18]. Con estas premisas, la accioŽn efectiva de este modelo a nivel de un loop de quarks se puede escribir como SQM = -Nc d4x d()tr log (D/V + A/ 5 + U 5) , C (5.41) donde D”V = ” + V” es la derivada covariante vector. En el modelo NJL, M jugaba el papel de la masa constituyente de los quarks. En el modelo espectral M se convierte en 5.3 ProblemŽatica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita 103 la variable de integracioŽn de la funciŽon espectral. La diferencia esencial con el modelo NJL, y en general con todos los modelos de quarks quirales, es que aquŽi no consideramos un cutoff que separe el rŽegimen de baja energŽia, donde se supone que el modelo funciona, y el rŽegimen de alta energŽia. En el capŽitulo 7 se haraŽ un estudio maŽs extenso del modelo espectral considerando un espacio-tiempo curvo, y se introduciraŽ el esquema de dominancia del mesŽon vectorial, que constituye una realizacioŽn simple del modelo y proporciona una forma explŽicita para la funciŽon espectral. 5.3. ProblemŽatica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita El tratamiento estŽandar de los Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita presenta algunas inconsistencias. Por una parte, en el cŽalculo de observables aparecen involucrados estados excitados con cualquier nuŽmero de quarks, y esto ocurre incluso para temperaturas bajas. Sorprendentemente, durante mucho tiempo no ha habido demasiada preocupaciŽon por parte de los autores en resolver este problema, y normalmente lo han atribuido a fallos del propio modelo, tales como falta de confinamiento. 5.3.1. Tratamiento estŽandar a temperatura finita El tratamiento estŽandar consiste en pasar de las fŽormulas con T = 0 hasta otras foŽrmulas para T = 0, mediante la aplicaciŽon de la regla dk0 2 F (k0, k) iT F (iwn, k) , n=- (5.42) donde F puede representar el propagador de un quark, en espacio de momentos. n son las frecuencias de Matsubara fermiŽonicas, n = 2T (n + 1/2). Si aplicamos esta regla en el condensado quiral, a temperatura finita y a un loop se tiene qq = -iNc (-1)ntrDiracS(x)|x0=in = 4M T trc n=- n d3k (2)3 n2 + 1 k2 + M2 . (5.43) DespuŽes de hacer la integracioŽn en momentos, y aplicar la fŽormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), queda qq T = qq T =0 - 2 NcM 2 2T (-1)n n K1(nM /T ) n=1 T pequen~o qq T =0 - Nc 2 (-1)n n=1 2M T n 3/2 e-nM/T , (5.44) donde se ha hecho uso del comportamiento asintŽotico de la funciŽon de Bessel Kn(z) para el rŽegimen de temperatura pequen~a Kn(z) e-z /2z. 104 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita 5.3.2. GeneraciŽon de estados multi-quarks Ec. (5.44) se puede interpretar en tŽerminos del propagador del quark en espacio de coordenadas S(x) = d4k e-ik·x (2)4 k/ -M = (i / +M ) M2 42i K1( -M 2x2) -M 2x2 . (5.45) El comportamiento de (5.45) a temperatura pequen~a es S(x, i) T pequen~o e-M/T , (5.46) lo cual representa la supresioŽn exponencial a temperatura pequen~a correspondiente al propagador de un uŽnico quark. Si nos fijamos en ec. (5.44), esto significa que el condensado de quarks se puede escribir en tŽerminos de factores de Boltzmann estadŽisticos con masa Mn = nM. Esto constituye un problema, pues significa que el ban~o tŽermico estŽa formado por quarks constituyentes libres, sin ninguŽn confinamiento de color.1 El condensado de quarks a temperatura finita no es invariante gauge (en el sentido de transformaciones gauge grandes). En efecto, del ejemplo del condensado se tiene qq T = (-1)n q(x0)q(0) |x0=in , n=- (5.48) o sea, el condensado a temperatura finita se puede escribir como una suma coherente de condensados de quarks no locales a temperatura cero. Notar que la contribucioŽn de temperatura cero corresponde al tŽermino n = 0 en la sumatoria. Bajo una transformaciŽon gauge de tipo central se tiene qŻq T (-z)n qŻ(x0)q(0) . n=- x0 =in (5.49) Esto significa que (5.48) no es invariante gauge, y el condensado se puede descomponer en una suma de representaciones irreducibles con una trialidad dada n, lo cual genera estados con cualquier nuŽmero de quarks e-nM . 1Este caŽlculo se puede extender a cualquier observable que sea singlete de color en el lŽimite de temperatura cero, y el resultado general que se obtiene es que los caŽlculos en modelos de quarks a temperatura finita en la aproximaciŽon de un loop van a generar todos los estados posibles de quarks, esto es OT = OT =0 + Oqe-M/T + Oqqe-2M/T + · · · . (5.47) Notar que, si bien el tŽermino Oq corresponde al estado de un quark aislado, el siguiente tŽermino Oqq tiene que ser un estado diquark qq, correspondiente a un uŽnico quark que se propaga dando dos vueltas alrededor del cilindro tŽermico. Este tŽermino no puede ser un estado mesŽonico qq, puesto que a un loop este estado viene de la lŽinea de un quark que primero sube y despuŽes baja en tiempo imaginario. En este caso el camino no da ninguna vuelta alrededor del cilindro tŽermico, y por tanto su contribuciŽon estaŽ ya incluida en el tŽermino de temperatura cero OT =0. 5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales 105 Este problema se puede evitar imponiendo a mano que el condensado sea invariante gauge. Esto se harŽia eliminando de la suma en (5.49) los tŽerminos que no tienen trialidad cero, esto es qŻq T = (-1)n qŻ(x0)q(0) . singlete n=- x0=iNcn (5.50) Esta fŽormula genera como primera correcciŽon un tŽermino bariŽonico Nc e-NcM . El factor Nc es generado por el loop de quarks. 5.3.3. Conflicto con TeorŽia Quiral de Perturbaciones Aparte del problema de la generacioŽn de estados multi-quarks que no preservan trialidad, surge otra problemaŽtica cuando comparamos nuestros resultados con los de TeorŽia Quiral de Perturbaciones a temperatura finita. En el lŽimite quiral, esto es para m 2T 4f, las correcciones tŽermica de orden maŽs bajo al condensado de quarks (por ejemplo, para Nf = 2), vienen dadas por qŻq T = TQP qŻq T =0 1 - T2 8f2 - T4 384f4 + ·· · . (5.51) Puesto que f Nc, las correcciones de temperatura finita estŽan suprimidas en Nc en relacioŽn a la contribucioŽn de temperatura cero. Este hecho contradice el resultado de ec. (5.48), pues de ahŽi se obtiene que todas las correcciones tŽermicas son del mismo orden en un contaje en Nc. El resultado de TQP, ec. (5.51), se ha obtenido considerando loops pioŽnicos, los cuales son dominantes para T M. El problema reside en que incluso sin loops pioŽnicos los modelos de quarks quirales predicen una transiciŽon de fase quiral en torno a Tc 170 MeV, lo cual concuerda bien, aunque de manera injustificada, con los resultados en el retŽiculo. 5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Mode- los de Quarks Quirales A temperatura cero es posible preservar la invariancia gauge mediante el acoplamiento de los gluones con el modelo. Dentro del espŽiritu del modelo, estos grados de libertad deberŽian tratarse de un modo perturbativo, pues los quarks constituyentes llevan cierta informaciŽon sobre efectos gluŽonicos no perturbativos. A temperatura finita la situacioŽn es diferente pues, como hemos dicho ya, un tratamiento perturbativo de la componente cero del campo gluŽonico romperŽia explŽicitamente la invariancia gauge. Por tanto, tiene sentido considerar aquŽi el loop de Polyakov gluoŽnico y su acoplamiento con los modelos quirales. K. Fukushima [104] sugiere este acoplamiento en virtud de la analogŽia que existe entre el loop de Polyakov y el potencial quŽimico (ver 106 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita sec. 2.1). El tratamiento que vamos a considerar nosotros parte del uso del heat kernel a temperatura finita (capŽitulo 2). Nuestra aproximaciŽon es similar a la de Fukushima, excepto por el hecho de que consideraremos un loop de Polyakov local (x) sujeto a fluctuaciones cuaŽnticas. Un tratamiento de campo medio no permitirŽia tener en cuenta estas fluctuaciones, y al final del capŽitulo veremos que Žestas pueden ser importantes para que los resultados del modelo se muestren compatibles con estudios recientes en el retŽiculo. 5.4.1. Acoplamiento mŽinimo del loop de Polyakov En los modelos de quarks quirales debemos considerar quarks con grados de libertad de sabor y de color. A partir de ahora consideraremos el operador de Dirac, ec. (5.19), como un operador no trivial en espacio de color. Lo podemos escribir de la siguiente forma: D =D/V + A/f 5 + M U 5 , (5.52) donde D”V = ” + V”f + gV”c”0 es la derivada covariante vector. V”f y Af” son matrices antihermŽiticas en espacio de sabor y la identidad en el espacio de color. V”c es la identidad en espacio de sabor y matriz antihermŽitica en espacio de color. Los acoplamientos gauge de sabor daraŽn lugar a loops de Polyakov con quiralidades right y left.2 Los acoplamientos gauge de color daraŽn lugar al loop de Polyakov con grados de libertad de color, x0 + c(x0, x) = T exp -g dx0 V0c(x0, x) . x0 (5.55) c es una matriz en espacio de color, y la identidad en espacio de sabor. En esta tesis uŽnicamente nos vamos a preocupar del loop de Polyakov de color, que denotaremos como lo venimos haciendo hasta ahora, , de modo que el loop de Polyakov de sabor lo consideraremos igual a la identidad. Si nos fijamos en ec. (5.26), podemos hacer uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita (capŽitulo 2) para obtener el lagrangiano efectivo como un desarrollo en derivadas covariantes. El lagrangiano va a tener la forma L(x) = tr[fn((x))On(x)] , n (5.56) 2El loop de Polyakov quiral de sabor se define x0+ f (x0, x) = T exp - dx0 (V0f (x0, x) + 5Af0 (x0, x)) . x0 (5.53) f es una matriz en espacio de sabor, y la identidad en espacio de color. En tŽerminos de campos right y left se escribe como f = RPR + LPL, donde x0+ R,L(x0, x) = T exp - dx0 (V0f (x0, x) ± Af0 (x0, x)) , x0 (5.54) y PR,L = 1 2 (1 ± 5). Notar que la simetrŽia gauge grande en espacio de sabor a temperatura finita precisa del uso del loop de Polyakov quiral. 5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales 107 donde tr es la traza sobre todos los grados de libertad internos, n etiqueta todos los operadores locales covariantes gauge On (esto es, que contienen derivadas covariantes), y fn((x)) son funciones dependientes de la temperatura y del loop de Polyakov. Estas funciones reemplazan los coeficientes numŽericos presentes en el caso de temperatura cero. En estos cŽalculos, el loop de Polyakov aparece mŽinimamente acoplado a travŽes de las frecuencias de Matsubara fermiŽonicas modificadas3 n = 2T (n + 1/2 + ) , = (2i)-1 log . (5.57) En nuestra notaciŽon = ei2, donde (x) = igV0(x)/(2T ). El efecto de este cambio en las frecuencias de Matsubara da lugar a la siguiente regla para pasar a las foŽrmulas con T =0 F~(x; x) (-(x))nF~(x, x0 + in; x, x0) . (5.58) n=- F (x; x) es el propagador fermiŽonico a temperatura finita que comienza y acaba en el mismo punto. En ec. (5.58) aparece el factor (-(x))n, en lugar del factor (-1)n que se obtiene de la regla estŽandar, ec. (5.42), despuŽes de usar la fŽormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y considerar la transformada de Fourier. La interpretacioŽn de ec. (5.58) se puede visualizar en fig. 5.1. En un loop de quarks a temperatura finita con un nuŽmero arbitrario de campos externos y con una lŽinea de Wilson no trivial, cada vez que los quarks dan una vuelta alrededor de la direccioŽn temporal compatificada, estos adquieren una fase (-1) debido a la estadŽistica de Fermi-Dirac, y un factor no abeliano de Aharonov-Bohm4 . La contribucioŽn total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color. 5.4.2. Promedio sobre el grupo En la secciŽon 5.4.1 se ha considerado el acoplamiento mŽinimo del loop de Polyakov con el modelo quark quiral, que consiste simplemente en hacer la sustitucioŽn 0 0 + gV0c , (5.59) en el operador de Dirac, ec. (5.19). El modelo quark quiral acoplado con el loop de Polyakov se obtiene considerando el acoplamiento mŽinimo de ec. (5.59), y una integracioŽn del campo gluŽonico V0 de un modo que preserve invariancia gauge. Esto va a generar una funciŽon de particioŽn de la forma Z = DU D e-G[]e-Q[U,] , (5.60) 3En nuestro tratamiento, n es el uŽnico sitio donde aparece la dependencia explŽicita en los grados de libertad de color, de modo que se puede pensar en como el conjunto de sus autovalores. 4EŽ sta es una fase de tipo elŽectrico, diferente a la fase magnŽetica estaŽndar. No obstante, el nombre es apropiado puesto que la fase elŽectrica fue discutida por primera vez en el artŽiculo original AB. 108 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita (-) n Figura 5.1: Diagrama tŽipico de un loop de quarks con una lŽinea de Wilson no trivial. Para n vueltas alrededor de la direcciŽon temporal compactificada U(1), surge un factor topoloŽgico n ademaŽs del factor estadŽistico de Fermi-Dirac (-1)n. Las lŽineas onduladas son campos externos. La contribucioŽn total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color. donde DU es la medida de Haar del grupo quiral de sabor SU(Nf )LŚSU(Nf )R, y D la medida de Haar del grupo de color SU(Nc). G es la accioŽn efectiva gluoŽnica y Q corresponde a la accioŽn efectiva de los quarks. Ec. (5.60) es una expresiŽon genŽerica, vaŽlida tanto para el modelo NJL como para el modelo espectral, siempre y cuando se considere la correspondiente accioŽn efectiva de los quarks: ec. (5.21) en el primer caso y ec. (5.41) para el segundo. Si no se tuviera en cuenta la medida de Haar de color, y se considerara V0c = 0 y = 1, se obtendrŽia la forma original del modelo quark quiral, donde existe una relacioŽn uno a uno entre el desarrollo en loops y el desarrollo en Nc grande, tanto a temperatura cero como a temperatura finita. De manera equivalente se podrŽia considerar una aproximaciŽon de punto de silla y sus correcciones. En presencia del loop de Polyakov tal correspondencia no existe, de modo que consideraremos un desarrollo en loops de quarks, esto es, una aproximaciŽon de punto de silla para el campo bosoŽnico U, y mantendremos la integracioŽn en el loop de Polyakov (constante) . En el trabajo de [104] se hace uso de la aproximaciŽon de punto de silla para . La integracioŽn del loop de Polyakov debe realizarse de acuerdo con la dinaŽmica de QCD. Esto implica un promedio sobre el loop de Polyakov local con cierto peso normalizado (; x) D. AquŽi (; x) es la distribuciŽon de probabilidad (independiente de la temperatura) de (x) en el grupo gauge. Para una funciŽon general f (), se tiene5 1 Nc trc f () = D SU(Nc ) () 1 Nc Nc j=1 f (eij ) = - d 2 ^()f (ei) , (5.61) 5f () se entiende como una funcioŽn ordinaria f (z) evaluada en z = . 5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales 109 donde eij , j = 1, . . . , Nc son los valores propios de y ^() := D () 1 SU(Nc ) Nc Nc j=1 2( - j) . (5.62) A temperatura suficientemente pequen~a, la distribuciŽon del loop de Polyakov se en- cuentra muy cercana a la medida de Haar de SU(Nc).6 En este caso la funciŽon ^() es simplemente ^() = 1 - 2(-1)Nc Nc cos (Nc) . (5.63) Introduciendo ec. (5.63) en ec. (5.61) se obtienen fŽacilmente las siguientes foŽrmulas para el promedio sobre la medida de Haar de SU(Nc) Nc , trc(-)n SU(Nc) = -01, , n=0 n = ±Nc . otro caso (5.64) 5.4.3. SolucioŽn de la problemŽatica Si aplicamos este formalismo al condensado de quarks, nuestro modelo conduce a7 qq T = 1 n=- Nc trc(-)n q(x0)q(0) |x0=in . (5.65) Si tenemos en cuenta ec. (5.64), observamos que en nuestro modelo el loop de Polyakov no sŽolo permite eliminar los tŽerminos que rompen trialidad, sino que las contribuciones tŽermicas estŽan suprimidas en Nc en relacioŽn al valor de temperatura cero, tal y como se espera de TQP. Esto resuelve la problemaŽtica que discutimos en la secciŽon 5.3. El condensado de quarks a temperatura finita, a un loop de quarks es qq T = qq T =0 + 2M 2T 2Nc K1(NcM/T ) +··· T pequen~o qq T =0 + 4 MT 2Nc 3/2 e-NcM/T . (5.66) Los puntos indican efectos gluŽonicos o del mar de quarks de orden superior. Notar que debido a la supresioŽn exponencial, las correcciones tŽermicas de oŽrden maŽs bajo a nivel de un loop de quarks comienzan sŽolo a temperaturas cercanas a la transiciŽon de fase de desconfinamiento. Hemos denominado a este efecto el enfriamiento de Polyakov [99, 100], ya que es generado por el promedio de los loops de Polyakov sobre el grupo. Esto significa que en la aproximaciŽon quenched, no se debe de esperar ninguŽn efecto tŽermico importante sobre los observables de los quarks por debajo de la transiciŽon de fase, y el cambio maŽs grande deberŽia de provenir de loops de bosones pseudoescalares a bajas temperaturas. Esto es justo lo que se espera de TQP. Veremos maŽs adelante cŽomo estas propiedades se modifican en presencia del determinante fermiŽonico. 6Esto se justificaraŽ en sec. 5.6.2. 7 La fŽormula (5.65) es la anŽaloga a ec. (5.48), pero considerando la fase no abeliana y el promedio sobre el grupo. 110 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita 5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita La estructura de QCD a bajas energŽias se puede describir muy bien en teorŽia quiral de perturbaciones. El desarrollo quiral corresponde a un desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos. Los campos pseudoescalares U son de orden O(p0), los campos vector V”, axial A” y cualquier derivada ” son de orden O(p). Los campos externos escalar S, pseudoescalar P y la matriz de masa de los quarks m0 son de orden O(p2). Como se muestra en trabajos previos a temperatura cero [105, 106, 107, 108, 109], los modelos de quarks quirales permiten entender de un modo cuantitativo y microscŽopico la estructura del lagrangiano efectivo a bajas energŽias que se deduce de TQP para los mesones pseudoescalares a nivel Žarbol. En concreto, proporcionan valores numŽericos para las contribuciones de orden maŽs bajo en Nc de las constantes de baja energŽia. En esta secciŽon vamos a extender los resultados de temperatura cero a temperatura finita, y consideraremos la influencia del loop de Polyakov. Siguiendo el mŽetodo desarrollado en el capŽitulo 2, y que ya aplicamos en el capŽitulo 3 para el cŽalculo de la accioŽn efectiva de QCD en el rŽegimen de temperatura alta, se puede escribir la estructura del lagrangiano efectivo a baja energŽia para los mesones pseudoescalares a temperatura finita a nivel aŽrbol, mediante un desarrollo de tipo heat kernel para los modelos de quarks quirales a nivel de un loop. En TQP a temperatura finita se considera en general que las constantes de baja energŽia son independientes de la temperatura. EŽsta es una suposiciŽon bastante razonable, ya que la aplicabilidad de TQP se basa en la existencia de un gap de masa entre los bosones de Goldstone y el resto del espectro hadrŽonico. Para mesones no extran~os el gap viene dado por la masa del mesoŽn , MV , de modo que es de esperar que la dependencia en temperatura de las constantes de baja energŽia sea del orden de e-MV /T . En un modelo quark quiral, los mesones pseudoescalares son partŽiculas compuestas de quarks constituyentes con una masa M, y los efectos tŽerminos tambiŽen deberŽian de influir en su estructura microscŽopica. El cŽalculo que realizaremos en esta secciŽon va a permitir analizar esto de una manera cuantitativa. 5.5.1. Estructura del lagrangiano El cŽalculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita en los modelos de quarks quirales se limita, desde un punta de vista tŽecnico, al cŽalculo de trazas en espacio de Dirac y en espacio de sabor. En el apŽendice D se hace en detalle. Mostraremos aquŽi el resultado final. El lagrangiano efectivo a baja energŽia escrito en la notaciŽon de Gasser-Leutwyler [27] 5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita 111 y en espacio euclŽideo se escribe Lq(0) = 2Nf (4)2 trcJ-2(, M, ) , (5.67) Lq(2) = f2 4 trf D”U D”U - (U + U ) , (5.68) Lq(4) = -L1(trf (D”U D”U ))2 - L2trf (D”U DU )trf (D”U DU ) -L3trf (D”U D”U D U DU ) - L3trf (D0U D0U D”U D”U ) +L4trf (D”U D”U )trf (U + U ) +L5trf (D”U D”U (U + U )) + L5trf (D0U D0U (U + U )) +L5trf (D0D0U + D0D0U ) - L6(trf (U + U ))2 - L7(trf (U - U ))2 +Ltrf (U D0D0U - U D0D0U )trf (U - U ) -L8trf (U U + U U ) -L9trf (F”RD”U DU + F”LD”U DU ) -L9trf (EiR(D0U DiU - DiU D0U ) + EiL(D0U DiU - DiU D0U )) -L9trf (D0EiRU DiU + D0EiLU DiU ) +L10trf (U F”L U F ”R) +H1trf ((F”R )2 + (F”L )2) + H1trf ((EiR)2 + (EiL)2) - H2trf () . (5.69) trf es la traza en espacio de sabor. Las derivadas covariantes quirales son D”U = D”LU - U D”R = ”U + l”U - U r”, F”R = [D”R, DR] = ”r - r” + [r”, r], F”L = [D”L, DL] = ”l - l” + [l”, l], (5.70) donde r” = V” + A”, y l” = V” - A”. . . . indica promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). La estructura de este lagrangiano resulta bastante interesante. Por una parte existen tŽerminos que se pueden escribir como los del lagrangiano a temperatura cero, pero con acoplamientos efectivos dependientes de la temperatura. AdemaŽs de estos, existen nuevos tŽerminos que rompen invariancia Lorentz. Curiosamente, en el lagrangiano aparecen menos tŽerminos del segundo tipo de los que en un principio se podrŽia pensar en base a las simetrŽias conocidas. TodavŽia no entendemos del todo este hecho, que parece sugerir la existencia de alguna simetrŽia accidental. Si bien sospechamos que esta simetrŽia existe sŽolo a un loop, serŽia interesante encontrarla explŽicitamente. 5.5.2. LEC para el modelo de Nambu­Jona-Lasinio Si bien Žesta es la estructura general que se ha encontrado para los modelos de quarks quirales, los valores de los coeficientes de baja energŽia dependen del modelo en particular. 112 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita Mostramos aquŽi los valores de las constantes de baja energŽia (LEC) obtenidas para el modelo de Nambu­Jona-Lasinio. Para evitar complicaciones con el loop de Polyakov, hemos considerado el modelo NJL sin integracioŽn de los campos de espŽin 1 (vector y axial).8 Lq(0) = 2Nf (4)2 trcJ-2 , f2 = M2 42 trcJ0 , f2B0 = M 42 trcJ-1 , L1 = M4 24(4)2 trcJ2 , L2 = 2L1 , L3 = -8L1 + 1 2 L9 , L3 = - M2 6(4)2 trcJ 1 , L4 = 0 , L5 = M 2B0 f2 4M 2 - 3L9 , L5 = 1 2 L3 , L5 = 1 2 L3 , L6 = 0 , L7 = 1 8Nf - f2 2B0M + L9 , L = - 1 4Nf L3 , L8 = 1 16B0 1 M - 1 B0 f2 - 1 8 L9 , L9 = M2 3(4)2 trcJ1 , L9 = -L3 , L9 = -L3 , L10 = - 1 2 L9 , (5.71) H1 = - f2 24M 2 + 1 4 L9 , H 1 = - 1 6(4)2 trcJ 0 , H2 = - f2 8B02 + 1 4 L9 , donde las integrales Jl estŽan definidas en ecs. (D.22)-(D.26). Los coeficientes de Gasser- Leutwyler estŽandar se pueden expresar en tŽerminos de f2, B0, L1 y L9, o de manera equi- valente, en tŽerminos de las los tŽerminos que rompen la integrales trcJ-1 simetrŽia Lorentz, , trcJ0 excepto H, t1r,csJo1n y trcJ2 . Notar proporcionales. que todos Si el loop de Polyakov se considera igual a la unidad, las expresiones (5.71) siguen siendo vaŽlidas, salvo por el hecho de que el promedio en el grupo y la traza de color deben sustituirse por un factor Nc. 5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral En este modelo se debe hacer un promedio sobre la masa constituyente de los quarks con una funciŽon espectral () que actuŽa como peso (ver sec. 5.2.2). Notar que M no sŽolo aparece como argumento de las integrales Jl, sino que tambiŽen aparece en forma de factores multiplicativos. Esto daraŽ lugar a un nuŽmero mayor de funciones independientes 8En el capŽitulo 6 se calcularŽa la acciŽon efectiva del modelo NJL generalizado a temperatura cero con integracioŽn en estos campos. 5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita 113 en comparaciŽon con el modelo NJL. Lq(0) = 2Nf (4)2 trcJ-2 , f2 = 1 42 2trcJ0 , f2B0 = 1 42 trcJ-1 , L1 = 1 24(4)2 4trcJ2 , L9 = 1 3(4)2 2trcJ1 , L3 = - 1 6(4)2 2trcJ 1 , L5 = 1 2(4)2B0 ( trcJ0 - 3trcJ1 ) , L7 = 1 2(4)2Nf - 1 2B0 trcJ0 + 42L9 , L8 = 1 4(4)2B0 trcJ0 - f2 16B02 - 1 8 L9 , H1 = - 1 6(4)2 trcJ0 + 1 4 L9 , H 1 = - 1 6(4)2 trcJ 0 , H2 = 1 2(4)2B0 1 B0 trcJ-1 - trcJ0 - f2 8B02 + 1 4 L9 . (5.72) Para simplificar la notaciŽon, con . . . indicamos tanto el promedio sobre el loop de Polyakov como el promedio espectral C d() . . . . El resto de coeficientes satisfacen las mismas relaciones geomŽetricas que se obtuvieron para el modelo NJL. En ambos modelos se obtiene la relacioŽn L7 = - 1 Nf f2 16B02 + L8 . (5.73) Podemos calcular explŽicitamente las integrales haciendo uso del esquema de dominancia vectorial de la funciŽon espectral () (ver sec. 7.4 y ref. [101]). DespuŽes de calcular el promedio en el grupo SU(Nc), se obtiene trcJ-2 trcJ-1 trcJ-1 trcJ0 = - Nc 2 4 - 2MV4 3x4V 48 + 24xV + 6x2V + x3V e-xV /2 , = Nc2 - 2MV2 3x2V 12 + 6xV + x2V e-xV /2 , = 3 Nc - 2e-xS/2 , = -Nc(0 + 0) + 2E - 4 log(4) + 4 log(xV ) - 2(5/2) - x5V 1800 1F2 { 5 2 }, { 72 , 7 2 }, xV 4 2 - x2V 12 2F3 {1, 1}, {- 1 2 , 2, 2}, xV 4 2 , 114 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita trcJ0 2trcJ0 2trcJ1 3trcJ1 4trcJ2 trcJ 0 2trcJ 1 = -Nc1 - 23 MS2 (2 + xS )e-xS/2 , = -Nc2 - MV2 6 (2 + xV )e-xV /2 , = Nc0 - 1 6 12 + 6xV + x2V e-xV /2 , = - 3x2S 2MS2 e-xS /2 , = Nc0 - 1 24 48 + 24xV + 6x2V + x3V e-xV /2 , = - 1 3 12 + 6xV + x2V e-xV /2 , = - x2V 12 (2 + xV )e-xV /2 , (5.74) con la notaciŽon xV := NcMV , xS := NcMS , (5.75) donde MV es la masa del mesoŽn vectorial (masa del ), y MS es la masa del escalar. pFq[a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z] son las funciones hipergeomŽetricas generalizadas [52]. 5.6. Correcciones de orden superior En las secciones 5.4 y 5.5 hemos considerado los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks. Esto corresponde a la aproximaciŽon quenched dentro del modelo. Asimismo se ha hecho uso de que a temperaturas suficientemente pequen~as basta con considerar el promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). En esta secciŽon discutiremos algunas consecuencias importantes que se obtienen al ir maŽs allŽa de estas aproximaciones. 5.6.1. MŽas allŽa de un loop de quarks El ir maŽs allŽa de la aproximaciŽon de un loop de quarks puede conducir a cŽalculos bastante tediosos (ver refs. [110, 111] para cŽalculos explŽicitos del modelo NJL estŽandar sin loop de Polyakov). AquŽi no nos vamos a preocupar de hacer un cŽalculo explŽicito, no obstante se pueden deducir algunas consecuencias importantes basadas en ciertas reglas de contaje en Nc a temperatura finita. Consideremos, por ejemplo, el diagrama a tres loops de la figura 5.2, que contribuye al condensado quiral en el modelo NJL en tŽerminos de los propagadores de los quarks. La contribucioŽn de este diagrama se escribe9 Fig.(2a) = S(w(1)) S(w(1)) S(w(2)) S(w(3)) S(w(1) + w(3) - w(2)) . w (1) ,w (2) ,w (3) 9Por simplicidad, escribimos uŽnicamente las frecuencias de Matsubara. 5.6 Correcciones de orden superior 115 01 001101 01 001101 0011 00011101 01 a 0011 01 0101 01 001101 b 0011 001101 c Figura 5.2: Diagrama tŽipico maŽs allŽa de un loop para el operador del condensado de quarks qq. Las lŽineas de los quarks con momentos independientes pueden dar n vueltas alrededor del tiempo euclŽideo compactificado, dando lugar al factor de Fermi-Polyakov (-)n. La conservaciŽon de trialidad solamente permite que las lŽineas internas de quark-antiquark den una uŽnica vuelta y en sentidos opuestos, lo cual genera una supresioŽn exponencial e-2M para el diagrama a). Una supresioŽn similar ocurre para el diagrama b) si las vueltas del quark-antiquark ocurren en cada una de las burbujas. El diagrama c) se corresponde con una suma de todos los estados intermedios con los mismos nuŽmeros cuaŽnticos, y puede interpretarse como la lŽinea de un mesoŽn. Haciendo uso de la fŽormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y yendo a espacio euclŽideo se tiene Fig.(2a) = n1 +n2 +n3 n1 ,n2 ,n3 d1d3 S(1) S(-1 - 3 + n1 + n3) - S(-3 + n2 + n3) S(3) S(3 - n3) e . n1+n2+n3 -M (|n1|+|n2|+|n3|) (5.76) n1 ,n2 ,n3 La conservaciŽon de trialidad para este diagrama implica, n1 + n2 + n3 = kNc, y el valor mŽinimo del exponente se consigue con n1 = n2 = n3 = 0, que es la contribucioŽn de temperatura cero. La primera correcciŽon tŽermica a temperatura pequen~a viene dada por n1 = 0, n2 = -n3 = 1, de modo que el diagrama a 3 loops de fig.(2a) se encuentra suprimido en un factor e-2M , en comparaciŽon con la supresioŽn de un loop de quarks e-NcM . Una supresioŽn tŽermica similar se obtiene si introducimos la suma estŽandar sobre burbujas, que puede acoplarse a los nuŽmeros cuaŽnticos de los mesones transformando el argumento del exponente en 2M Mqq. Obviamente, esta contribucioŽn resulta maŽs importante para el pioŽn maŽs ligero. En realidad, el diagrama quark-mesŽon de la fig.(2b) es similar al diagrama bosonizado de dos loops que se muestra en fig.(2c). Para este diagrama bosonizado los argumentos previos resultan maŽs simples, ya que el nuŽmero de loops es igual al nuŽmero de propagadores de quarks. El operador de polarizacioŽn del pioŽn, proporcional al propagador del pioŽn, se puede tomar a temperatura cero, ya que la supresioŽn maŽs importante viene de las lŽineas de quarks que no estŽan acopladas a los nuŽmeros cuaŽnticos del pioŽn. 116 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita Para un diagrama bosonizado con L loops de quarks, tenemos que considerar L generalizaciones de las correcciones a nivel de un loop de quarks, ec. (5.58). El anŽalisis es maŽs simple en espacio de coordenadas. En lugar del nuŽmero total de propagadores de quarks, consideramos la suma de Poisson de L propagadores. Esto se puede hacer mediante la fŽormula dx4F (x4 + n + m) = dx4F (x4 + n) . n,m=- 0 n=- - (5.77) Esto significa que es posible eliminar tantas sumas de Poisson como integrales en coor- denadas aparecen en las expresiones. Haciendo uso de L = I - (V - 1) y 4V = E + 2I tenemos10 L i=0 d4ziG2L L i=1 (-)ni S (xi , ti + ini) . n1,...,nL (5.78) En realidad, esta regla no depende de la forma precisa de la interaccioŽn de los quarks. A bajas temperaturas, cada lŽinea de quark con un Žindice de Poisson independiente genera una supresioŽn dada por una masa constituyente de quark. Por tanto, la contribucioŽn a un observable se puede descomponer esquemŽaticamente del siguiente modo OT = O n1...nL n1+...nL e-M (|n1|+···+|nL|) . L n1,...,nL La conservaciŽon de trialidad de la medida z a este nivel conduce a (5.79) n1 + · · · + nL = kNc (5.80) con k = 0, 1, 2, . . . . El tŽermino dominante en el desarrollo de ec. (5.79) es aquel para el que n1 = . . . = nL = 0 con un nuŽmero arbitrario de loops de quarks L, y se corresponde con la contribucioŽn de temperatura cero. AdemaŽs, se ve que para L = 1 uŽnicamente se tienen contribuciones de n1 = kNc, lo cual da lugar a correcciones e-NcM, que permiten reproducir los resultados de las secciones 5.4 y 5.5. A partir de la ec. (5.79) podemos ver cŽomo se organiza el desarrollo tŽermico para temperaturas bajas. Las contribuciones tŽermicas maŽs importantes vienen de minimizar L i=1 |ni|, sujeto al requerimiento de conservaciŽon de tria- lidad, ec. (5.80). A temperatura finita y para Nc 3 se tiene que la primera correcciŽon tŽermica viene dada por L = 2 y n1 = -n2 = 1 con n3 = . . . = nL = 0, lo cual da el factor e-2M y se corresponde con un estado mesoŽnico qq. Esta contribucioŽn estŽa suprimida por un factor 1/Nc en relacioŽn con la contribucioŽn de temperatura cero. Para Nc = 3 el siguien- te tŽermino en el desarrollo corresponderŽia a L 3 y n1 = n2 = n3 = 1, lo cual da lugar a una supresioŽn tŽermica e-NcM . Para Nc 5 se tendrŽia L 4 con n1 = -n2 = n3 = n4 = 1 10L es el nuŽmero de loops de quarks, V el nuŽmero de vŽertices, I el nuŽmero de lŽineas de quarks y E el nuŽmero de patas externas. 5.6 Correcciones de orden superior 117 y n5 = . . . = nL = 0. Si consideramos el caso Nc = 3 se tiene11 ZqŻq 1 Nc e-2M/T , Zqqq e-NcM/T , ZqqqqŻq 1 Nc e-(2+Nc )M/T , ... Z(qŻq)NM (qqq)NB 1 NcNM e-(2NM +NBNc)M/T . (5.81) (5.82) (5.83) (5.84) (5.85) Obviamente, para Nc = 3 la contribucioŽn del loop mesoŽnico es maŽs dominante que la del loop bariŽonico. Los argumentos previos se han hecho sin tener en cuenta el efecto de confinamiento de los quarks, de modo que en realidad deberŽiamos considerar la masa fŽisica del mesoŽn m, y en este caso se tendrŽia OT = OT =0 + m Om 1 Nc e-m/T + B OB e-MB/T + · · · . (5.86) AsŽi es como funciona la dualidad quark-hadroŽn en los modelos de quarks quirales a tempera- tura finita. Como vemos, las contribuciones de los loops pioŽnicos son las maŽs importantes, incluso si se tiene en cuenta que estŽan suprimidas en 1/Nc. La siguiente contribucioŽn al observable total a temperatura finita viene dada por los estados mesoŽnicos sucesivos. En su conjunto, esto es lo que se espera como consecuencia de la inclusioŽn del loop de Polyakov en los modelos de quarks quirales, teniendo en cuenta la proyeccioŽn sobre el sector singlete de color invariante gauge. En definitiva, a temperatura finita se tiene una supresioŽn estŽandar 1 Nc e-2M/T prove- niente de loops mesoŽnicos y una supresioŽn e-NcM/T de loops bariŽonicos. Obviamente, las contribuciones maŽs importantes para Nc grande o T pequen~o son las debidas a loops mesoŽnicos. La discusioŽn anterior estŽa centrada en observables que contienen quarks. Para el valor esperado del loop de Polyakov, por ejemplo, se tiene O e n1...nL 1+n1+···+nL -M (|n1|+···+|nL|) L n1,...,nL (5.87) y 1 + n1 + · · · + nL = kNc . (5.88) La contribucioŽn tŽermica de orden maŽs bajo (no existe contribucioŽn de temperatura cero) es n1 = -1, n2 = . . . = nL = 0, que se corresponde con un uŽnico loop de antiquark que 11En el caso en que no se considerara la existencia del loop de Polyakov, se tendrŽia ZqNq (qŻq)NM 1 NcNM e-(2NM +Nq)M/T , de modo que las contribuciones de orden mŽas bajo corresponderŽian a estados de un quark. 118 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita apantalla la carga del loop de Polyakov test. Este tŽermino escala como e-M/T . Al contrario que para observables con quarks como el condensado quiral, este comportamiento no se ve afectado por loops pioŽnicos. En sec. 5.6.4 obtendremos expresiones explŽicitas para estos observables en el modelo NJL. 5.6.2. Correcciones gluŽonicas Hasta ahora hemos considerado simplemente una integracioŽn sobre la medida del grupo gauge. Desafortunadamente, no conocemos ninguŽn argumento general por el cual tenga que existir una supresioŽn exponencial de los grados de libertad gluoŽnicos a temperaturas bajas, y por tanto dejando la medida de Haar como uŽnico vestigio de los gluones. No obstante, los resultados basados en desarrollos con acoplamientos grandes [112, 113] y en la aproximaciŽon de gluones masivos a un loop [114, 115] proporcionan esta supresioŽn, y de hecho los resultados recientes en el retŽiculo confirman una sorprendente universalidad en todas las representaciones de los grupos, y favorece el mecanismo dominante del promedio simple sobre el grupo [94]. De manera maŽs especŽifica, de los datos del retŽiculo [94] y de la medida del grupo se encuentra que |trc |2 = 1 , (5.89) en la fase de confinamiento, o de manera equivalente trc = 0, para la representacioŽn adjunta. Notar que en la aproximaciŽon de campo medio [104] |trc |2 se anula, debido a la ausencia de fluctuaciones. El potencial gluŽonico a orden maŽs bajo que se deduce del desarrollo con acoplamientos grandes viene dado por [112, 113] G[] = Vglue[] · a3/T = -2(d - 1) e-a/T trc 2 , (5.90) para Nc = 3 con la tensiŽon de la cuerda = (425 MeV)2. A nivel de campo medio Vglue[] da lugar a una transiciŽon de fase de primer orden con el acoplamiento crŽitico 2(d-1)e-a/TD = 0,5153. Se puede fijar la temperatura de transiciŽon a su valor empŽirico TD = 270 MeV mediante la eleccioŽn a-1 = 272 MeV [104]. La masa correspondiente es mG = a = 664 MeV. A temperaturas pequen~as se puede desarrollar la exponencial en potencias de la accioŽn gluŽonica e-G[] = 1 - G[] + 1 2 G[]2 + · · · , (5.91) lo que genera una supresioŽn exponencial del tipo e-mG/T . Esto da lugar a la siguiente fŽormula de masas para el argumento de Boltzmann en la exponencial M = nNcMq + mMqŻq + lmG , (5.92) que muestra claramente que las contribuciones tŽermicas de orden maŽs bajo a temperaturas bajas vienen dadas nuevamente por los loops tŽermicos pioŽnicos, lo cual corresponde a tomar n = l = 0 y m = 1, pues NcMq mG Mqq = m. Notar que numŽericamente, incluso la contribucioŽn de dos loops pioŽnicos resultarŽia maŽs importante que las correcciones gluoŽnicas. 5.6 Correcciones de orden superior 119 En una serie de trabajos recientes [114, 115] se ha obtenido la ecuaciŽon de estado para un gas de gluones masivos con una masa dependiente de temperatura en presencia del loop de Polyakov, lo cual permite reproducir los datos del retŽiculo de manera bastante precisa por encima de la transiciŽon de fase. La densidad de energŽia de vacŽio se escribe Vglue[] = T d3k (2)3 trc ln 1 - e-k , (5.93) donde k = k2 + m2G, con mG la masa del gluŽon. La dependencia en temperatura que se considera en estos trabajos es mG(T ) = T g(T ) 2, que en la transiciŽon de fase (T = TD) toma el valor mG(TD) = 1,2 - 1,3 TD. Si se toma un valor constante para la masa del gluoŽn por debajo de la transiciŽon de fase, a bajas temperaturas se obtiene Vglue[] = -T 1 n |trc n|2 - 1 n=1 d3k (2)3 e-nk , (5.94) donde se ha hecho uso de la identidad trc n = |trc n|2 - 1 . (5.95) Haciendo uso de la representacioŽn asintŽotica de las funciones de Bessel, se obtiene una supresioŽn similar a la que se encuentra en el lŽimite de acoplamientos grandes. 5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov Vamos a considerar aquŽi un tratamiento preliminar de las correcciones locales en el loop de Polyakov. Hasta ahora se ha considerado un campo constante en el espacio. De manera general, el loop de Polyakov depende tanto del tiempo euclŽideo como de las coordenadas espaciales. En el gauge de Polyakov la dependencia en tiempo euclŽideo es simple, pero auŽn queda una dependencia en coordenadas que es desconocida. En tal caso, las reglas anteriores deben ser modificadas, ya que las inserciones del loop de Polyakov llevaraŽn un momento, y el resultado depende de su ordenamiento. Si seguimos considerando, como hasta ahora, que el loop de Polyakov es la uŽnica fuente de color en el problema, nos vamos a encontrar con funciones de correlacioŽn de loops de Polyakov. En la fase de confinamiento es de esperar una descomposiciŽon basada en la existencia de propiedades de agrupamiento para cada par de variables. Por ejemplo, se tiene trc(x1, ) trc-1(x2, ) e-|x1-x2| . (5.96) Por tanto, valores muy diferentes en la coordenada espacial estŽan suprimidos, de modo que tiene sentido considerar una aproximaciŽon local dentro de la longitud de correlacioŽn, y desarrollar las funciones de correlacioŽn en gradientes dentro de esta regioŽn. En una primera aproximaciŽon, esto se corresponde con la sustitucioŽn del volumen cuatridimensional por un dominio de correlacioŽn, mediante la regla V = 1 T d3x - 1 T d3x e-r/T = 8T 2 3 . (5.97) 120 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita En el lagrangiano quiral a bajas energŽias, que se obtiene desarrollando la accioŽn efectiva en derivadas de los campos mesoŽnicos, aparecen tambiŽen gradientes del loop de Polyakov. Este hecho se comenta en ref. [100]. En realidad, puesto que estamos acoplando el loop de Polyakov de manera efectiva como un potencial quŽimico de color dependiente de x, nuestra aproximaciŽon es similar a una generalizacioŽn no abeliana de la aproximaciŽon de densidad local en teorŽia de muchos cuerpos de fŽisica nuclear y materia condensada, dentro del espŽiritu de la teorŽia del funcional de la densidad. 5.6.4. Resultados mŽas allŽa de la aproximacioŽn quenched En esta secciŽon nos proponemos ir maŽs allŽa de la aproximaciŽon quenched en el cŽalculo de algunos observables concretos, y para ello deberemos tener en cuenta la contribucioŽn del determinante fermiŽonico. El modelo quark quiral completo con acoplamiento del loop de Polyakov viene dado por ec. (5.60). La contribucioŽn de los quarks a la funciŽon de particioŽn del modelo NJL se escribe como ZQ[U, ] := e-Q[U,] = Det(D) exp - a2s 4 trf d4x (M - m^0)2 , (5.98) que se obtiene a partir de ecs. (5.22)-(5.23) donde se ha aplicado la ecuaciŽon del gap, ec. (5.28). En la secciŽon 5.5 se calculŽo del determinante fermiŽonico en presencia de un loop de Polyakov (lentamente variable), como un desarrollo en momentos externos de los campos Det(D) = e- d4x Lq(x) = exp - d4x (Lq(0)(x) + Lq(2)(x) + Lq(4)(x) + · · · ) . (5.99) De acuerdo con la discusioŽn de la secciŽon 5.6.3, la aproximaciŽon de loop de Polyakov lentamente variable tiene sentido en una regioŽn donde existen correlaciones fuertes entre loops de Polyakov. Para nuestros propŽositos, bastaraŽ con considerar aquŽi la contribucioŽn de vacŽio Lq(0). En el modelo de NJL esta contribucioŽn se escribe Lq(0)(x) = - NcNf (4)2 ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2) i + Nf 2 (M T )2 (-1)n K2(nM/T n2 ) trcn(x) + trc-n(x) , n=1 = L(q0)(T = 0) + L(q0)((x), T ) , (5.100) que se obtiene a partir de ec. (5.67) y ec. (D.25). El lagrangiano se ha escrito separando dos contribuciones: temperatura cero y temperatura finita. Esta uŽltima contiene el loop de Polyakov. Notar que en este punto auŽn no hemos considerado la integracioŽn en el grupo gauge SU(Nc), de modo que no escribimos los corchetes . . . como hicimos en la secciŽon 5.5. En ec. (5.60) la integracioŽn en DU la hemos realizado a nivel clŽasico, mediante el uso de las 5.6 Correcciones de orden superior 121 ecuaciones clŽasicas de movimiento del campo U, ec. (D.30), (para detalles, ver apŽendice D). La funciŽon de particioŽn se puede escribir Z= D e-G[] exp - d4x a2s 4 trf (M - m^ 0)2 + L(q0)(T = 0) + L(q0)((x), T ) . El valor esperado del loop de Polyakov se escribe L = 1 Nc trc = 1 NcZ D e-G[]e-Q[] trc(x) , (5.101) donde no indicamos dependencia de Q en U , pues nos limitamos a considerar Lq(0) que no tiene dependencia en los campos mesoŽnicos. El cŽalculo de ec. (5.101) puede hacerse analŽiticamente en el lŽimite de temperatura pequen~a. En este rŽegimen pueden despreciarse las correcciones gluŽonicas e-G[] (ver secciŽon 5.6.2), de modo que en el promedio sobre el grupo solamente contribuiraŽ la medida de Haar D. Cuando T es suficientemente pequen~o, se puede considerar el desarrollo del tŽermino L(q0)(, T ) en la exponencial de ec. (5.101). A primer orden en este desarrollo aparecen las siguientes funciones de correlacioŽn entre loops de Polyakov12 d4x D trc(x) trc(y) = 0 , (5.105) d4x D trc(x) trc-1(y) = d4x e-|x-y|/T = 8T 2 3 . (5.106) La primera expresiŽon es cero por conservaciŽon de trialidad. La segunda expresiŽon constituye la regla que mencionamos en ec. (5.97), que permite sustituir el cuadrivolumen infinito d4x, por un volumen efectivo que especifica un dominio de correlacioŽn 8T 2/3. Con todo esto se llega finalmente al siguiente resultado en el modelo NJL L(T ) T pequen~o 4Nf Nc3 2M 3 T 9 e-M/T . (5.107) Notar que la trialidad no se preserva, debido a la presencia de quarks dinaŽmicos, y la escala relevante es la masa constituyente de los quarks. Gracias a esta supresioŽn exponencial, 12Si se considera un loop de Polyakov independiente de x, se tiene la siguiente fŽormula de integracioŽn sobre el grupo SU(Nc) D ij kl = 1 Nc ik jl , (5.102) que conduce trivialmente a D trc trc-1 = 1 . (5.103) Al considerar correcciones locales, se tiene D trc(x) trc-1(y) = e-|x-y|/T . (5.104) 122 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita estŽa justificado usar de manera efectiva el loop de Polyakov como un paraŽmetro de orden para la simetrŽia del centro incluso en el caso unquenched. En realidad, nuestro anŽalisis sugiere que un cŽalculo del loop de Polyakov en QCD completo podrŽia constituir un mŽetodo para extraer una masa constituyente de los quarks invariante gauge. En cualquier caso, serŽia deseable disponer de datos en el retŽiculo del loop de Polyakov para temperaturas bajas, T 50 MeV, con objeto de hacer un anŽalisis preciso. Para el condensado de quarks, hacemos uso de qq T = -f2B0 = - M 42 trcJ-1 , (5.108) que obtuvimos en ec. (5.71). Al tener en cuenta la contribucioŽn del determinante fermiŽonico, se tiene qq T = - M 42 1 Z D e-G[]e-Q[] trcJ-1(M, ) . (5.109) La expresiŽon de J-1 viene dada en ec. (D.24). A partir de aquŽi, el procedimiento para hallar el comportamiento de qq T a baja temperatura es idŽentico al caso del valor esperado del loop de Polyakov. En el rŽegimen de T pequen~o, nuevamente e-G[] se puede despreciar, y podemos desarrollar el tŽermino L(q0)(, T ) que aparece en e-Q[]. Teniendo en cuenta las integrales (5.105)-(5.106), se llega a qq T T pequen~o qq T =0 + 8Nf 2 M3T 3 6 e-2M/T . (5.110) En el modelo quark espectral se obtiene el resultado de ec. (5.110), con la sustitucioŽn 2M MV (la masa del mesoŽn ), y un factor multiplicativo ligeramente diferente. Como vemos, en el cŽalculo unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es un poco menos efectivo que en el cŽalculo quenched. Este mismo anŽalisis se puede hacer para otros observables, por ejemplo las constantes de baja energŽia del lagrangiano efectivo quiral tienen un comportamiento LTi - LTi =0 T pequen~o e-MV /T [100]. Finalmente, serŽia necesario incluir maŽs loops de quarks, o equivalentemente excitaciones mesoŽnicas. Esto darŽia exactamente el resultado de TQP con piones sin masa dominando en la regioŽn de temperaturas pequen~as. Por tanto, vemos que cuando el loop de Polyakov se acopla de manera conveniente a los modelos de quarks quirales, se obtiene una explicaciŽon natural de los resultados encontrados hace tiempo en modelos puramente hadroŽnicos. 5.7. Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD En la secciŽon 5.6 se hizo un estudio analŽitico del comportamiento a baja temperatura del loop de Polyakov y del condensado quiral en QCD unquenched. ResultarŽia interesante estudiar el comportamiento que predice nuestro modelo para estos observables en la regioŽn de la transiciŽon de fase, y para ello deberemos integrar numŽericamente las ecuaciones (5.101) y (5.109). A diferencia de nuestro tratamiento, en ref. [104] se hace un estudio en la aproximaciŽon de campo medio, en el cual la probabilidad de encontrar un loop de 5.7 Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD 123 Polyakov dado es una funciŽon delta. La integral en el grupo permite tener en cuenta una dispersioŽn de esa probabilidad debido a efectos cuaŽnticos. Para Nc = 3 el loop de Polyakov contiene dos variables independientes. En el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, se puede parametrizar como una matriz diagonal del siguiente modo = diag(ei1 , ei2, e-i(1+2)) . (5.111) Con esta parametrizaciŽon, podemos calcular la funciŽon de particiŽon como Z= D e-G[]e-Q[] = - d1 2 d2 2 G(1, 2)Q(1, 2) , (5.112) donde D e-G[] = d1 2 d2 2 G(1, 2) , e-Q[] = Q(1, 2) . (5.113) En Q[] no indicamos dependencia en los campos mesoŽnicos U, pues al igual que en sec. 5.6.4 nos limitaremos a considerar la contribucioŽn de vacŽio L(q0) del lagrangiano quiral, ec. (5.100). Para una funciŽon general f (), se tiene trcf () = 1 Z - d1 2 d2 2 G(1, 2)Q(1, 2)(f (ei1) + f (ei2 ) + f (e-i(1+2))) = 1 Z - d1 2 ^(1)f (ei1) , (5.114) donde ^(1) = 3 - d2 2 G(1, 2)Q(1, 2) . (5.115) Por invariancia gauge, tanto la medida de Haar D, como las correcciones gluoŽnicas e-G[], las contribuciones fermiŽonicas e-Q[], y trcf () son invariantes frente al intercambio de los autovalores del loop de Polyakov. Esto permite expresar trcf () como una integral en un uŽnico paraŽmetro, tal y como se expresa en ec. (5.114), con la funciŽon peso adecuada, ec. (5.115). En nuestro tratamiento consideramos la integracioŽn sobre el grupo SU(3) y una minimi- zacioŽn con respecto a M, lo cual se corresponde con ec. (5.28). Esto uŽltimo permite calcular la dependencia en temperatura de la masa constituyente, y de ahŽi obtener el condensado quiral qq T = - a2s 2 trf (M (T ) - m^ 0) . (5.116) Puesto que la constante de acoplamiento de cuatro quarks as parametriza informaciŽon sobre los gluones, deberŽia de tener una dependencia en . No obstante, as incorpora informaciŽon sobre todos los grados de libertad gluŽonicos, de modo que no deberŽia de verse muy afectado por la contribucioŽn de , donde viene dado uŽnicamente por la componente temporal de los gluones. 124 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita Parametros de orden 1 L T/0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 Estandar Gluodinamica Campo medio Nuestro modelo 50 100 150 200 250 300 350 400 450 T (MeV) Figura 5.3: Dependencia en temperatura del condensado quiral qŻq en unidades relativas, y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc. El resultado estŽandar de qq T se corresponde con el modelo NJL sin acoplamiento con el loop de Polyakov. Se compara tambiŽen por una parte con la aproximaciŽon de campo medio de ref. [104], donde el loop de Polyakov es clŽasico y estŽa acoplado con los quarks, y por otra con nuestro modelo basado en la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se muestra asimismo el comportamiento de L en gluodinaŽmica dentro del esquema de desarrollo con acoplamientos grandes, ec. (5.90). Se ha considerado Nf = 2. En fig. 5.3 se muestra el comportamiento del condensado quiral qq T y el valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc en diferentes tratamientos del modelo NJL. Se compara la predicciŽon estŽandar del modelo NJL, con el cŽalculo en aproximaciŽon de campo medio de ref. [104], que corresponde a minimizar la energŽia de vacŽio como funciŽon de la masa constituyente M y del valor esperado del loop de Polyakov L. Comparamos asimismo con el resultado que obtenemos al considerar una integracioŽn en el loop de Polyakov con correcciones locales. En la figura se muestra ademaŽs el comportamiento de L que se obtiene en gluodinŽamica, con el modelo de ec. (5.90) en su tratamiento de campo medio, lo cual conduce a una transiciŽon de fase de primer orden en TD = 270 MeV. En nuestros cŽalculos estamos considerando el modelo quark quiral con dos sabores Nf = 2, y para la masa desnuda de los quarks m^ 0 = diag(mu, md) consideramos el lŽimite en que hay simetrŽia de isospŽin, mu = md mq. En los tres modelos hemos tomado mq = 5,5 MeV, y a2s = 76,2 · 10-3 GeV2. La integracioŽn en momentos estŽa regulada por un cut-off PV = 828 MeV con regularizacioŽn de Pauli-Villars. Este valor es el que se necesita para reproducir el valor experimental de la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn f = 93,2 MeV, con la masa constituyente M = 300 MeV. Para la tensiŽon de la cuerda consideramos su valor a temperatura cero = (425 MeV)2. Este paraŽmetro aparece cuando se calculan funciones de correlacioŽn de loops de Polyakov (por ejemplo, ec. (5.106)). El efecto neto de la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) consiste en un desplazamiento de la temperatura de transiciŽon quiral a valores mayores, respecto a las tempera- 5.7 Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD 125 L/T [GeV-1] /T [GeV2] 14 L/T 1 12 /T 10 0.8 8 0.6 6 0.4 4 0.2 2 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 T(MeV) Figura 5.4: Dependencia en temperatura de qŻq /T y L/T , obtenida con el modelo NJL basado en la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2. turas que se obtienen en los tratamientos estŽandar y de campo medio. Por tanto, el modelo basado en la integracioŽn sobre el grupo de color proporciona un enfriamiento efectivo, no sŽolo en el rŽegimen de temperaturas pequen~as (ver secciones 5.4.3 y 5.6.4), sino tambiŽen en el rŽegimen de la transiciŽon de fase. Como se ve en fig. 5.3, el acoplamiento del modelo quark quiral con gluodinŽamica modifica la transiciŽon de fase de primer orden de gluodinaŽmica en una transiciŽon de fase de segundo orden. Un estudio de la susceptibilidad de los paraŽmetros de orden quiral qq y de desconfinamiento L, permite ver que con nuestro modelo ambas transiciones de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simultŽaneamente: T = TD = 256(1) MeV; (ver fig. 5.4). En fig. 5.5 se compara el comportamiento del loop de Polyakov obtenido en nuestro modelo, con cŽalculos en el retŽiculo para QCD unquenched (Nf = 2) en la zona de transiciŽon de fase. Estos datos se han calculado en un retŽiculo de taman~o 163 Ś4, con mq/T = 0,4 [22]. Se muestra asimismo el comportamiento del condensado quiral. Hemos comprobado que una dependencia en temperatura de la tensiŽon de la cuerda permite compatibilizar los resultados de nuestro modelo con los obtenidos en el retŽiculo. Esto conduce a un rango de incertidumbre en la tensiŽon de la cuerda, = 0,181 ± 0,085 GeV2, que da cuenta en cierto sentido de la incertidumbre existente en el modelo. En fig. 5.5 la banda de error asociada a esta incertidumbre conduce a una temperatura de transiciŽon de T = TD = 255 ± 50 MeV. Si se ignoraran en el modelo las correcciones gluŽonicas dadas por ec. (5.90), no existirŽia un efecto apreciable por debajo de la transiciŽon de fase, si bien Žesta aumentarŽia en 30 MeV, un valor que se encuentra dentro de nuestra estimacioŽn del error. Con objeto de comprender el mecanismo de rotura de la simetrŽia del centro en nuestro modelo, podemos estudiar cŽomo evoluciona la distribuciŽon ^(), ec. (5.115), a travŽes de la transiciŽon de fase, y observar explŽicitamente los efectos generados por las contribuciones fermiŽonicas e-Q[]. En fig. 5.6 se muestra esta evoluciŽon. Por debajo de la transiciŽon de 126 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita Parametros de orden 1 L T/0 0.8 0.6 0.4 N=4, ref. [22] Nuestro modelo 0.2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 T (MeV) Figura 5.5: Dependencia en temperatura del condensado quiral qŻq y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc, obtenido con el modelo NJL basado en la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2. Las bandas de error corresponden a una incertidumbre en la tensioŽn de la cuerda = 0,181 ± 0,085 GeV2. Se compara con los datos del retŽiculo para QCD con 2 sabores, obtenidos en [22]. fase la funciŽon de distribuciŽon ^() presenta tres mŽinimos en valores de equidistantes, tal y como exige la simetrŽia del centro Z(3). En este caso el determinante fermiŽonico no produce una modificacioŽn importante. Cuando la transiciŽon de fase tiene lugar, aparece una concentraciŽon interesante de Žangulos en la regioŽn cercana al origen = 0, debida a los quarks, lo que genera una fuerte rotura de la simetrŽia del centro. A medida que la temperatura aumenta, la distribuciŽon del loop de Polyakov tiende a ser maŽs picuda en torno a = 0, y este pico domina la integral en . Notar que la distribucioŽn ^G() en gluodinŽamica no presenta rotura explŽicita de la simetrŽia del centro para ninguŽn valor de T , de modo que el uŽnico mecanismo posible en este caso es la rotura espontŽanea. Nuestro modelo permite calcular el valor esperado del loop de Polyakov en otras representaciones. En fig. 5.7 se muestra el comportamiento del valor esperado del loop de Polyakov en representacioŽn adjunta, trc /(Nc2 - 1). Para ello hemos hecho uso de la identidad (5.95) con n = 1. De acuerdo con los datos del retŽiculo obtenidos con el modelo matricial de ref. [94], el valor esperado se anula por debajo de la transiciŽon de fase. Notar que este hecho no se cumple en el tratamiento de campo medio, para el cual se obtiene el valor -1/(Nc2 - 1) (de ec. (5.95)). El considerar la integracioŽn sobre el grupo conduce a unos resultados acordes con lo que se espera de los estudios en el retŽiculo. En fig. 5.7 se muestra tambiŽen el comportamiento del loop de Polyakov en representacioŽn fundamental, y la fluctuacioŽn total del loop de Polyakov, que definimos como 1 Nc trc trc-1 - trc 2 = 1 Nc 1 + trc - trc 2 . (5.117) 5.8 Conclusiones 127 4.5 4 GG+Q 3.5 3 2.5 T = 200 MeV 2 1.5 1 0.5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4.5 4 GG+Q 3.5 3 2.5 T = 255 MeV 2 1.5 1 0.5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4.5 4 GG+Q 3.5 3 2.5 T = 300 MeV 2 1.5 1 0.5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 5.6: Dependencia en temperatura de la distribuciŽon del loop de Polyakov ^(), ec. (5.115). ^G corresponde a la distribuciŽon en gluodinŽamica (sin contribucioŽn de quarks) procedente de la medida de Haar junto con el esquema del desarrollo en acoplamientos gran- des a orden maŽs bajo, ec. (5.90), y ^G+Q incluye contribuciones de quarks de acuerdo con el modelo NJL. Se toma Nf = 2. Se consideran tres temperaturas: T = 200, 255, 300 MeV; por debajo de la transiciŽon de fase, en la transiciŽon y por encima, respectivamente. da cuenta de manera conjunta de las fluctuaciones en la parte real e imaginaria de . Esta fluctuacioŽn tiende a cero a temperaturas grandes, lo cual es compatible con el hecho de que la distribuciŽon ^() se hace muy picuda en torno a = 0 en el rŽegimen de T grande. 5.8. Conclusiones En este capŽitulo hemos estudiado cŽomo la introduccioŽn del loop de Polyakov permite resolver los problemas que presentan los modelos de quarks quirales a temperatura finita en su tratamiento estŽandar. Con objeto de preservar la invariancia gauge explŽicita a temperatura finita es necesario mantener de un modo no perturbativo ciertos grados de libertad gluŽonicos. En la praŽctica, y en gauges particulares tales como el gauge de Polyakov, esto se corresponde con tratar la componente cero del campo del gluŽon como un potencial quŽimico dependiente del color en el propagador del quark. Esto da lugar a una fuente de color que va a generar todos los estados posibles de quarks, los cuales pueden no ser singletes de color (incluso a bajas temperaturas, en la fase de confinamiento de color). Para evitar este problema, es necesario proyectar sobre los estados fŽisicos que son singletes de color, lo cual se consigue de un modo elegante haciendo la integral funcional sobre el campo V0c de un modo que se preserve la invariancia gauge. De este anŽalisis en la aproximaciŽon quenched y a nivel de un loop de quarks, encontramos que existe una supresioŽn de los efectos tŽermicos en los observables hadroŽnicos por debajo de la transiciŽon de fase, que surge de la conservaciŽon de la trialidad en una fase en que la simetrŽia quiral estŽa espontŽaneamente rota. A este efecto lo hemos denominado 128 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita 1 Lfund Ladj 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 T (MeV) Figura 5.7: Dependencia en temperatura del valor esperado del loop de Polyakov en representacioŽn fundamental trc /Nc y en representacioŽn adjunta trc /(Nc2-1), y fluctuacioŽn total del loop de Polyakov . Resultados obtenidos en el modelo NJL con integracioŽn en el grupo de color SU(3). Se considera Nf = 2. enfriamiento de Polyakov de las excitaciones de los quarks. En particular, la transiciŽon de fase quiral no puede ocurrir antes que la transiciŽon de desconfinamiento del color. En esta situacioŽn, el mayor cambio a bajas temperaturas en los observables tales como el condensado de quarks debe de provenir de los loops de pseudoescalares, y quizaŽs a temperaturas intermedias de resonancias mesoŽnicas de orden mayor. Esto es precisamente lo que se espera de TPQ o de las aproximaciones unitarias con inclusiŽon efectiva de estos loops en las resonancias. Nuestros argumentos muestran tambiŽen cŽomo, debido al enfriamiento de Polyakov, los modelos de quarks quirales se muestran de acuerdo con las suposiciones teoŽricas de TQP a temperatura finita. Para ver cŽomo se materializa esto en la praŽctica hemos calculado el lagrangiano quiral a temperatura finita a nivel de un loop de quarks y a nivel aŽrbol para los mesones. El lagrangiano resultante se puede descomponer en una parte con la misma estructura que a temperatura cero, pero con constantes de baja energŽia dependientes de la temperatura, y otra parte con nuevos tŽerminos que rompen la invariancia Lorentz, que surgen como consecuencia de que el ban~o tŽermico estŽa en reposo. En cualquier caso, los efectos tŽermicos en las constantes de baja energŽia a este nivel de aproximaciŽon muestran el enfriamiento de Polyakov. En otras palabras, por debajo de la transiciŽon de fase cualquier dependencia en temperatura sobre las constantes de baja energŽia a nivel aŽrbol puede ser despreciada. EŽsta es precisamente la suposiciŽon inicial de TQP. En el capŽitulo hemos analizado algunas consecuencias que se obtienen al considerar el tratamiento de los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov, maŽs allŽa de un loop de quarks. Como consecuencia de la integracioŽn en el grupo gauge de color SU(Nc), encontramos que para observables que contienen quarks las contribuciones maŽs importantes a temperaturas pequen~as proceden de loops mesoŽnicos, con una supresioŽn 5.8 Conclusiones 129 estŽandar a bajas temperaturas de 1 Nc e-2M/T . Los loops bariŽonicos producen contribuciones maŽs pequen~as e-NcM/T . Un anŽalisis de las correcciones gluŽonicas permite ver que Žestas tienden a contribuir de manera apreciable uŽnicamente por encima de la transiciŽon de fase. Hemos estudiado cŽomo se modifican los resultados al considerar la introduccioŽn del determinante de quarks en el cŽalculo de observables como el condensado quiral y el va- lor esperado del loop de Polyakov, y se ha hecho asimismo un tratamiento preliminar de las correcciones locales en el loop de Polyakov. Este determinante conduce a una rotura explŽicita de la simetrŽia del centro, que es maŽs acentuada a temperaturas grandes. EŽste es el mecanismo por el cual el modelo quark acoplado con loop de Polyakov genera la transiciŽon de fase de desconfinamiento. Un anŽalisis de los resultados muestra que ambas transiciones de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simultŽaneamente. En el tratamiento unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es menos efectivo que en el caso quenched. El cŽalculo del valor esperado del loop de Polyakov en representacioŽn adjunta es un ejemplo de que el tratamiento del modelo quark con integracioŽn en el grupo gauge de color es maŽs adecuado que el tratamiento de campo medio de ref. [104]. 130 CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita CapŽitulo 6 Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias El tensor energŽia-impulso (TEI) juega un papel muy importante en teorŽia cuaŽntica de campos, pues surge como una corriente de Noether del grupo de PoincarŽe. Es conservado en todas las teorŽias locales relativistas, incluso cuando no existen otras cargas conservadas. En QCD, el TEI da cuenta de la interaccioŽn de los quarks y gluones con los gravitones. Desde un punto de vista fenomenolŽogico, las colisiones profundamente inelaŽsticas proporcionan informaciŽon relevante sobre la fracciŽon de momento que llevan los quarks y los gluones dentro de un hadrŽon a una escala dada [116]. Las determinaciones basadas en el intercambio de un gravitoŽn estŽan fuera de lugar debido a que la constante de gravitacioŽn resulta pequen~Žisima en comparaciŽon con los procesos dŽebiles y fuertes. El factor de forma gravitacional del pioŽn se puede usar para determinar la anchura de desintegracioŽn de un bosoŽn de Higgs ligero en dos piones [117]. En el pasado hubo algunos intentos de calcular el TEI en el retŽiculo [118], pero no se han encontrado resultados de interŽes praŽctico para los elementos de matriz entre estados hadrŽonicos con momentos diferentes. En este capŽitulo vamos a estudiar la estructura del TEI en varios modelos de quarks quirales.1 En concreto trataremos el Modelo Quark Constituyente, el Modelo de Nambu­ Jona-Lasinio (NJL) [29] y el Modelo de Georgi-Manohar (GM) [120]. El capŽitulo estŽa basado en la referencia [109]. 6.1. Tensor EnergŽia-Impulso El tensor energŽia-impulso en cualquier teorŽia se puede calcular an~adiendo una mŽetrica externa g”(x) que se acople con los campos de materia de un modo completamente covariante. El TEI se obtiene de calcular la derivada funcional de la accioŽn con respecto a 1Consideraremos gravedad de Einstein. Esto quiere decir que haremos uso de la conexiŽon de Riemann, definida sin torsiŽon y preservando la mŽetrica. Una extensioŽn a gravedad con torsiŽon es posible [119]. 131 132 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias g”(x), en torno a la mŽetrica plana ”,2 1 2 ” (x) = S g” (x) g” =” donde S = d4x-g L(x) . (6.1) (6.2) A nivel cuaŽntico el comportamiento a alta energŽia de ” se puede mejorar si se reali- zan ciertas correcciones transversales convenientemente elegidas. Al hacer esto se pone de manifiesto una anomalŽia de la traza que relaciona ”” con la divergencia de la corriente de dilataciŽon, lo cual sen~ala la rotura anŽomala de la invariancia de escala. Un valor esperado diferente de cero para 0|””|0 estŽa relacionado con la existencia de un condensado gluoŽnico, que genera identidades de Ward de escala [121]. En el desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos que se considera en TeorŽia Quiral de Perturbaciones, los campos pseudoescalares U y la mŽetrica g” son orden O(p0). La estructura maŽs general de ” hasta correcciones de orden cuatro, es [122] ” = ”(0) + ”(2) + ”(4) + · · · (6.3) con ”(0) = -” L(0), ”(2) = f2 2 D”U DU - ” L(2), ”(4) = -” L(4) + 2L4 D”U DU U + U + L5 D”U DU + DU D”U U + U - 2L11 ”2 - ” DU DU - 2L13 ”2 - ” U + U - L12 ”2 + ” - ” - ” DUDU , (6.4) (6.5) donde A = tr A indica la traza en espacio de sabor. El desarrollo quiral del lagrangiano presenta una estructura del tipo [122] L = L(0) + L(2,g) + L(2,R) + L(4,g) + L(4,R) + · · · , (6.6) donde el superŽindice g indica contribuciones mŽetricas (acoplamiento mŽinimo con gravedad), y R indica contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann (o sus contracciones). Las contribuciones mŽetricas se pueden obtener directamente del cŽalculo del lagrangiano quiral efectivo en espatio-tiempo plano. Sin embargo, los tŽerminos con L11-L13 son contribuciones genuinas de curvatura, pues no se pueden obtener del caso plano. Estos coeficientes de baja energŽia surgen a nivel hadrŽonico debido a efectos cuaŽnticos. 2Usaremos el convenio = diag(1, -1, -1, -1). 6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad 133 6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad El acoplamiento de fermiones con gravedad es bien conocido [123], pero no en el contexto de modelos de quarks quirales. En esta secciŽon haremos un estudio de este acoplamiento, de modo que no se introduzcan nuevos campos aparte de los del caso plano y la mŽetrica. Usaremos el formalismo de tŽetradas para espacio-tiempo curvo.3 6.2.1. Formalismo de tŽetradas Dado el tensor mŽetrico g”(x), introducimos una base local de vectores ortogonales (tŽetrada) g”(x) = e”A(x)eB(x)AB . (6.7) Las tŽetradas satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad ” = ABe”AeB = e”AeA , BA = g” eA” eB = eA” e”B. (6.8) Bajo transformaciones generales de coordenadas x” x”(x) y de Lorentz xA ABxB, las tŽetradas se transforman respectivamente como eA” x x” eA , eA” AB(x)eB” . (6.9) Las tŽetradas transforman tensores de coordenadas en tensores de Lorentz (que se transforman de manera covariante bajo transformaciones de Lorentz locales), por ejemplo T AB = eA” eB T ” . (6.10) Los tensores de Lorentz son invariantes bajo transformaciones de coordenadas x” x”. Para un tensor general, por ejemplo TA, los Žindices griegos se transforman de manera covariante bajo transformaciones de coordenadas mientras que los latinos lo hacen bajo transformaciones de Lorentz, de modo que TA x” x x x BA (x)T”B . La derivada covariante se define como (6.11) d”TA = ”TA - ”TA + ”TA + AB”TB , (6.12) donde la conexioŽn de Riemann viene dada por los sŽimbolos de Christoffel ” = 1 2 g {g” + ”g - g”} , 3Para convenios, ver ref. [124] (6.13) 134 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias que son simŽetricos en los Žindices inferiores, ” = ” (no tiene torsioŽn). La derivada covariante d” se define con la conexioŽn adecuada actuando sobre cada Žindice. Se tiene d”eA = ”eA - ”eA + AB”eB = 0 . (6.14) AdemaŽs, la condicioŽn d”g” = 0, implica en particular d”AB = AB” + BA” = 0, (6.15) lo cual impone la restricciŽon de que la conexioŽn de espŽin sea antisimŽetrica AB” = -BA”. EŽsta viene dada por AB” = eA ”eB - ”eB . (6.16) La derivada covariante d” actuŽa de manera diferente dependiendo del espŽin de los campos correspondientes. Para un campo de espŽin-0 U, espŽin-1/2 , espŽin-1 A” y espŽin-3/2 ”, las propiedades de transformaciŽon son las siguientes U(x) U(x), (x) S((x))(x), A”(x) x x” A (x), ”(x) x x” S ((x)) (x). (6.17) (6.18) (6.19) En el caso de transformaciones de Lorentz infinitesimales AB = BA + AB con AB = -BA, se tiene S() = 1 - i 4 AB AB donde AB = i 2 [A, B ]. Para un campo escalar de espŽin-0 se tiene la definicioŽn estŽandar d”U = ”U . (6.20) Para un vector (espŽin-1), se tiene A;” := d”A = ”A - ”A , que satisface ademaŽs la propiedad4 (6.21) [d”, d] A = R” A . (6.24) 4El tensor de curvatura de Riemann R” se define - R” = ” - ” + ” - ” , (6.22) y sus contracciones permiten definir el tensor de Ricci R”, y el de curvatura escalar R R” = R” , R = g” R” . (6.23) Notar el signo opuesto de nuestra definiciŽon para el tensor de Riemann en comparacioŽn con ref. [122]. AquŽi seguimos ref. [124]. 6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad 135 En el caso de fermiones de Dirac (espŽin-1/2) la derivada covariante se define como d” = ”(x) - i”(x) , (6.25) donde ” es la conexioŽn de Cartan de espŽin, ” = 1 4 AB AB” . (6.26) Las matrices de Dirac A se encuentran en una representacioŽn fija independiente de x, y satisfacen las siguientes reglas de anticonmutacioŽn AB + BA = 2AB. (6.27) Las matrices se pueden elegir y satisfacen ”(x) = AeA” (x) (6.28) ”(x) (x) + (x)”(x) = 2g”(x). (6.29) La derivada covariante de una matriz de Dirac (independiente de x) es d”A = ”A - i [”, A] + AB”B = 0. (6.30) Teniedo en cuenta ec. (6.14) y (6.30) se obtiene la siguiente identidad para las matrices de Dirac dependientes de x d”(x) = 0 , (6.31) lo cual quiere decir que para el operador de Dirac libre, el orden de colocacioŽn es irrelevante d/ = ”(x)d” = d””(x). Para un tensor de espŽin-3/2 ;” := d” = ” - ” - i”. (6.32) Si aplicamos las definiciones anteriores a d” se obtienen las siguientes foŽrmulas, que serŽan de utilidad [d”, d] = i 4 R” , d”d” = 1-g (” - i”) -g g” ( - i ) , (6.33) (6.34) donde = eAeBAB es una matriz antisimŽetrica dependiente de x. Los campos gauge pueden ser incluidos mediante la regla estŽandar de sustitucioŽn mŽini- ma, lo cual da lugar a la derivada covariante de un fermiŽon ” = (d” - iV”) . (6.35) 136 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias Con esta notaciŽon, el operador de Dirac completo iD en presencia de campos externos de tipo vector, axial, escalar, pseudoescalar y gravitacionales se escribe5 iD = id/ - M U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) , (6.37) donde la barra indica V/ = ”(x)V”(x). (6.38) M es la masa constituyente de los quarks y hemos considerado la notacioŽn U5 = U5. La derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas, de Lorentz, y quirales, actuŽa sobre los campos pseudoescalares (espŽin-0), espinores de Dirac (espŽin-1/2) y espinores de Rarita-Schwinger (espŽin-3/2) de acuerdo con las fŽormulas siguientes ”U = D”U = ”U - i[v”, U ] - i{a”, U }, ” = D” = ” - i(” + v” + 5a”), ” = ” - i(” + v” + 5a”) - ” , (6.39) y se corresponden con sustituir la derivada parcial por la derivada covariante ” d”, dentro de la derivada covariante quiral D”. La notaciŽon D” significa la operacioŽn [D”, ], preservando la quiralidad del objeto (ver ec. (5.70)). Notar que con esta definicioŽn, ni el objeto D”D(= ”) ni D”DU son covariantes coordenados, ya que la segunda derivada no incluye la conexioŽn de Riemann ”. 6.2.2. Operador de segundo orden Cuando no existen fuentes gravitatorias, la contribucioŽn de paridad normal a la accioŽn efectiva se obtiene a partir del operador de segundo orden D5D = D/ L2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PR + D/ R2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PL , (6.40) donde D5 se define como en ec. (5.24), D5[s, p, v, a, U ] = 5D[s, -p, v, -a, U ]5 . (6.41) D5 corresponde a rotar D a espacio euclŽideo, tomar su hermŽitico conjugado y volver a rotar a espacio de Minkowski. En la expresiŽon (6.40), PR,L = 1 2 (1 ± 5 ), las derivadas covariantes 5 La matriz pseudoescalar de Dirac en el caso curvo se define 5(x) = 4!1-g ” ”(x) (x)(x)(x) = 1 4! ABC D AB C D = 5. (6.36) 6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad 137 quirales son D” = ” - i(v” + 5a”) = D”RPR + D”LPL , D”R = ” - i(v” + a”) , D”L = ” - i(v” - a”) , (6.42) y el tŽermino de masa M = M U 5 + (s + i5p) + m^ 0 . (6.43) Los campos gravitatorios se acoplan mediante covariantizacioŽn del operador de Dirac, esto es con la sustitucioŽn ” d” = ” -”· ·-i” en ec. (6.42). Para fijar la notacioŽn, definimos en ec. (6.39) la actuaciŽon de la derivada covariante quiral sobre un espinor de Dirac D” = ” - i(” + v” + 5a”) . (6.44) Teniendo en cuenta que, puesto que un espinor es un escalar en coordenadas, se tiene D” = ” , (6.45) donde ” = d” - i(v” + 5a”). Para el campo escalar en coordenadas / se puede aplicar el mismo razonamiento, lo cual conduce a D”/ = ”/ . (6.46) Esto significa que podemos considerar D/ L,R = / L,R siempre y cuando actuŽe sobre campos espinoriales del siguiente modo D5D = / 2L + iM/ L - i/ RM + MM PR + / 2R + iM/ L - i/ RM + MM PL . (6.47) Si incluimos los campos gauge, se obtienen dos teorŽias tipo vector, una para campos left V”L y otra para campos right V”R. Si suprimimos momentŽaneamente las etiquetas left y right, se tiene D/ 2 = / 2 = ”” - 1 2 ” F” + 1 4 R , (6.48) donde hemos hecho uso de la identidad [”, ] = [D”, D] = [D”, D ] + i 4 R” . (6.49) En la segunda igualdad de ec. (6.49) se ha hecho uso de ec. (6.33). El laplaciano invariante coordenado y Lorentz para un espinor de Dirac viene dado por ”” = 1-g D” -gg ” D , (6.50) 138 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias donde se ha aplicado ec. (6.34). Con la notaciŽon quiral de campos right y left, el operador de segundo orden se escribe D5D = 1-g D” -gg ” D + V, (6.51) con V = VRPR + VLPL VR = - 1 2 ” F”R + 1 4 R - i””M + MM, VL = - 1 2 ” F”L + 1 4 R - i””M + MM . (6.52) 6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de Gravedad En esta secciŽon aprovecharemos los resultados obtenidos en sec. 6.2 y estudiaremos el acoplamiento con gravedad de dos modelos quirales concretos, que tienen en comuŽn la incorporacioŽn de la rotura dinŽamica de la simetrŽia quiral a nivel de un loop: el modelo de Nambu­Jona-Lasinio (NJL) y el modelo de Georgi-Manohar. En estos modelos, los quarks tienen una masa constituyente M 300 MeV. La principal diferencia entre ellos tiene que ver con la presencia o no de campos escalares dinaŽmicos qq, respectivamente. AdemaŽs, mientras que el modelo NJL genera de manera dinaŽmica la rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral, el modelo GM comienza de por sŽi en una fase de rotura de la simetrŽia quiral. 6.3.1. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio El modelo de Nambu­Jona-Lasinio se introdujo en la secciŽon 5.2.1. La accioŽn del modelo en espacio-tiempo curvo de Minkowski con tensor mŽetrico g”(x) se escribe SNJL = d4 x -g LNJL , (6.53) donde g = det(g”) y el lagrangiano viene dado por LNJL = q(i/+ / -m^ 0)q + 1 2a2s Nf2-1 ((qaq)2 a=0 + (qai5q)2) - 1 2a2v Nf2 -1 ((qa”q)2 a=0 + (qa”5q)2) . (6.54) 6.3 Modelos de Quarks Quirales en presencia de Gravedad 139 La derivada ” - i” es covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y bajo transformaciones de Lorentz, e incluye la conexioŽn de espŽin ”(x) = i 8 [(x), ;”(x)] , (6.55) donde la derivada covariante ;” = d” se define de la manera usual, ec. (6.21). Haciendo uso del procedimiento estŽandar de bosonizaciŽon [102], como se vio en sec. 5.2.1, se introducen campos bosoŽnicos dinŽamicos internos auxiliares (S, P, V, A), de modo que despuŽes de integrar formalmente los quarks se obtiene el funcional generador ZNJL[g; s, p, v, a] = DSDP DV DA eiNJL[g;S,P ,V ,A] , (6.56) con S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. La accioŽn efectiva es NJL[g; S, P , V , A] = q[D] + m[g; S, P, V, A] , (6.57) donde las contribuciones de los quarks a un loop y de los mesones a nivel aŽrbol se escriben respectivamente q[D] = -iNcTr log(iD) , m[g; S, P, V, A] = d4x-g - a2s 4 tr(S2 + P 2) + a2v 4 tr(V”2 + A2”) . (6.58) (6.59) El operador de Dirac viene dado por iD = i/+ / -m^ 0 + V/ + A/ 5 - S - i5P . (6.60) Para que la integral funcional en los campos bosoŽnicos estŽe bien definida en espacio de Minkowski, es necesario usar la prescripciŽon a2s a2s - i, a2v a2v - i. La contribucioŽn 5-par de los quarks a la accioŽn efectiva puede ser regularizada mediante el esquema de Pauli-Villars +q [D] = -i Nc 2 Tr ci log(D5D + 2i + i) . (6.61) Para maŽs detalles, ver sec. 5.2.1. 6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar En presencia de gravedad, el lagrangiano del modelo de Georgi-Manohar [120] se escribe LGM = qŻ i/ + / - MU5 - m^ 0 + 1 2 (1 - gA)U 5i/U 5 q =: qŻiD q , (6.62) donde gA es el acoplamiento axial de los quarks, que consideraremos diferente de uno, tal y como se sugiere en [120]. La accioŽn efectiva de este modelo es GM = -iNcTr log(iD) , (6.63) 140 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias y por comparaciŽon directa con ec. (6.57) se puede ver que se corresponde con un modelo similar al NJL, sin tŽermino de masa m y con un operador de Dirac como ec. (6.60) con una eleccioŽn especŽifica de los campos dinŽamicos de espŽin 1 V” = 1 4 (1 - gA) U ”U - ”U U , A” = 1 4 (1 - gA) U ”U + ”U U . (6.64) (6.65) En ec. (6.63) implementaremos la misma regularizacioŽn de Pauli-Villars que en el modelo NJL. 6.4. CŽalculo de la accioŽn efectiva En un desarrollo quiral de la accioŽn, la mŽetrica dependiente del espacio-tiempo es de orden cero y la derivada ” de orden uno. Esto implica en particular que R”, R”, y R son de orden 2. A nivel de un loop de quarks el desarrollo quiral se corresponde con un desarrollo en derivadas que debe de ser invariante bajo transformaciones gauge, de coordenadas y de Lorentz. Este desarrollo a baja energŽia se puede obtener haciendo uso de la representacioŽn de tiempo propio del logaritmo i ciTr log D5D + 2i = -Tr d e-iD5D( ) , 0 (6.66) donde ( ) = i cie-2i . El operador que estŽa dentro del logaritmo es de tipo KleinGordon en espacio-tiempo curvo, y presenta cierta estructura espinorial, como se ve en ec. (6.51). La forma de este operador es la adecuada para hacer un desarrollo del heat kernel en espacio-tiempo curvo. Para el elemento de matriz diagonal se tiene x|e-i D5 D|x = e-i M2 x|e-i (D5D-M2)|x = i (4i )2 e-i M 2 an(x) (i )n .(6.67) n=0 Para el cŽalculo hasta O(p4) es necesario llegar hasta a4 en el desarrollo del heat kernel. Las contribuciones pueden separarse entre aquellas que son de espacio-tiempo plano, y las correspondientes a curvatura generadas por efectos cuaŽnticos. Por el momento nos centraremos en el modelo NJL. Posteriormente particularizaremos las foŽrmulas para el modelo GM. Se obtiene lo siguiente [108] a0 = 1, a1 = M2 - V + 1 6 R, a2 = 1 180 R” R” - 1 180 R” R” + 1 12 F ” F ” + 1 30 2 R - 1 6 2 V + 1 2 M2 - V + 1 6 R 2 , 6.4 CŽalculo de la accioŽn efectiva 141 a3 = 1 6 M2 - V + 1 6 R 3 - 1 12 ”V ”V + O(p6), a4 = 1 24 V - M 2 4 + O(p6) . La notaciŽon que estamos utilizando es F” = i D”, D , 2V = ””V, donde (6.68) D” = ” - i(V” + 5A”) , ” = d” - i(V” + 5A”) , (6.69) y V viene dado por la misma expresiŽon (6.52), con la adiciŽon de los campos bosoŽnicos internos (S, P, V, A). Las integrales que aparecen en la accioŽn son del tipo I2l := M 2l d ( )(i )le-iM2 . 0 (6.70) Los valores particulares que necesitamos en nuestro desarrollo son M 4I-4 = - 1 2 ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2) , i (6.71) M 2I-2 = ci(2i + M 2) log(2i + M 2) , i (6.72) I0 = - ci log(2i + M 2) , i I2n = (n) ci i M2 2i + M 2 n , Re(n) > 0 . (6.73) (6.74) DespuŽes del cŽalculo de las trazas de Dirac, el orden O(p2) del lagrangiano efectivo en el modelo NJL viene dado por L(q2) = Nc (4)2 M 2I0 ”U ”U + 2M 3I-2 mU + U m + M 6 2 I-2 R , mientras que para el orden O(p4) se tiene L(q4) = Nc (4)2 - 1 6 I0 (F R ” )2 + (F L ” )2 + I0 7 720 R” R” - 1 144 R2 + 1 90 R” R” - i 2 I2 F R ” ” U U + F L ” ” U U + 1 12 I4 (”U U )2 - 1 6 I4 (”U ”U )2 + 1 6 I2 ””U U + 2M 2I-2 mm - M 2I0 (mU + U m)2 - M I2 ”U ”U (mU + U m) + M I0 ”U ”m + ”m”U - M 6 I0 R Um + mU - 1 12 I2R ”U ”U . (6.75) 142 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias En estas fŽormulas indica traza en espacio de sabor. La derivada covariante gauge y covariante Lorentz, y los tensores de fuerza que contienen los campos externos e internos (bosonizados) son ”U = ”U - iV”LU + iU V”R, F r ” = ”V r - V r ” - i[V r”, V r ], (6.76) con r = L, R y la combinaciŽon aditiva de espŽin 0 m = (S + iP - MU) + 1 , 2B0 = 2B0(s + ip) . (6.77) La constante de reescalamiento B0 se elige de modo que L(2) quede en la forma estŽandar de ec. (6.92). Notar que ec. (6.75) no estŽa auŽn lista para poder ser comparada con el resultado de [27, 122]. Para ello antes debemos eliminar todos los grados de libertad diferentes a los piones en la capa de masas. Procederemos en tres pasos: primero integraremos los grados de libertad vector y axial, despuŽes eliminaremos los campos escalares y finalmente haremos uso de las ecuaciones clŽasicas de movimiento para los pseudoescalares. En el modelo de Georgi-Manohar uŽnicamente serŽa necesario considerar el uŽltimo paso. 6.5. Ecuaciones de movimiento 6.5.1. EliminaciŽon de los acoplamientos vector y axial En el modelo NJL, para eliminar los campos vector V” y axial A” en la aproximaciŽon de campo medio es necesario minimizar el lagrangiano con respecto a esos campos. Al orden que estamos considerando el desarrollo quiral, serŽa suficiente con tener en cuenta aquellos tŽerminos del lagrangiano que contienen mesones vectoriales con dos Žindices de Lorentz, esto es, el tŽermino de masa y el orden dos que surge del determinante de los quarks L(A2,)V = Nc (4)2 M 2 I0 ”U ”U + a2v 4 V”V ” + A”A” . Al minimizar, las ecuaciones de movimiento que se obtienen son similares a la eleccioŽn concreta de los campos vector y axial en el modelo de Georgi-Manohar, ecs. (6.64)-(6.65), V R ” = v”R + i 2 (1 - gA)U ”U , V L ” = v”L + i 2 (1 - gA)U ”U , (6.78) con gA = 1 - 2f2/a2v. Aplicando estas ecuaciones de movimiento se obtienen faŽcilmente las siguientes relaciones F R ” = 1 2 (1 + gA)F”R + 1 2 (1 - gA)U F”L U - i 4 (1 - gA2 ) ”U U - U ”U , (6.79) 6.5 Ecuaciones de movimiento 143 F L ” = 1 2 (1 - gA)U F”R U + 1 2 (1 + gA)F”L - i 4 (1 - gA2 ) ”U U - U ”U , ”U = gA”U , 2U = gA2U + igA(1 - gA)U ”U ”U . (6.80) (6.81) (6.82) 6.5.2. EliminaciŽon de escalares En el modelo NJL, la eliminaciŽon de los campos escalares se hace de manera similar a la de los campos vector y axial. Consideramos la rotaciŽon quiral S + iP = U U , (6.83) donde = , y usando que = M + , donde es una fluctuacioŽn alrededor del valor del vacŽio, se tiene m = U U + 1 2B0 . (6.84) El tŽermino de masa se escribe Lm = - a2s 4 M 2 + 2M + 2 . (6.85) Haciendo uso de la ecuaciŽon del gap (5.29), los tŽerminos lineales en que no contienen campos externos se anulan. Como consecuencia, la parte del lagrangiano que contiene al campo escalar es L(x) = - Nc (4)2 4M 2I02 + 1 3 M I0 R + M I0 U U U 2U + 2U U + M2 B0 (2I0 - I-2) U U (U + U ) + M B0 I2 U U ”U ” U . (6.86) Minimizando respecto de , la ecuaciŽon clŽasica de movimiento que se obtiene es U U = - 1 24M R + 1 4M 1 - I2 I0 ”U ”U - 1 4B0 1 - I-2 2I0 (U + U ) . (6.87) SŽolo queda sustituir esta ecuaciŽon dentro del lagrangiano L para obtener la contribucioŽn del lagrangiano efectivo proveniente de la integracioŽn de los campos escalares. 144 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias 6.5.3. Ecuaciones de movimiento clŽasicas para pseudoescalares Las ecuaciones de movimiento relevantes para el campo no linear U se obtienen minimizando L(2). Surgen una serie de relaciones que son vaŽlidas incluso en presencia de curvatura 2U 2U = ”U ”U 2 - 1 4 U - U 2 + 1 12 U - U 2 (6.88) y 2U + 2U = 2 - 1 U + U 2 - 2 + 1 6 U + U 2. U + U ”U ”U (6.89) En el caso del grupo U(3) de sabor, se tiene que Det U = ei0/f , que no es necesariamente igual a la identidad, y los dos uŽltimos tŽerminos U ± U 2 en ecs. (6.88) y (6.89) desapareceraŽn.6 6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue En el desarrollo quiral del lagrangiano efectivo en la forma de Gasser-Leutwyler-Donoghue de ec. (6.6), las contribuciones mŽetricas son L(2,g) = f2 4 ”U ”U + (U + U ) , (6.92) y L(4,g) = L1 ”U ”U 2 + L2 ”U U 2 + L3 ”U ”U 2 + L4 ”U ”U U + U + L5 ”U ”U (U + U ) + L6 U + U 2 + L7 U - U 2 + L8 (U )2 + (U )2 - iL9 F”L ”U U + F”R ”U U + L10 F”L U F ” RU + H1 (F”R )2 + (F”L )2 + H2 . (6.93) 6Existe otra identidad integral que nos va a resultar muy uŽtil d4 x -g ” U ” U = d4 x -g 2U 2U + i F”R ”U U + F”L ”U U - F”L U F ” RU + 1 2 (F”R )2 + (F”L )2 + R” ”U U . (6.90) En el uŽltimo tŽermino aparece el tensor de Ricci R” . Para llevar las fŽormulas a la forma de Gasser-Leutwyler usamos la siguiente identidad, vŽalida en SU(3) (”U U )2 = -2 (”U ”U )2 + ”U U 2 + 1 2 ”U ”U 2. (6.91) 6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue 145 Las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral se pueden escribir en la forma propuesta en ref. [122], y vienen dadas por L(2,R) = -H0R , (6.94) y L(4,R) = -L11R ”U ”U - L12R” ”U U - L13R U + U + H3R2 + H4R” R” + H5R” R” . (6.95) Los tŽerminos de curvatura son un reflejo de la naturaleza compuesta de los campos pseudoescalares, pues en los modelos quirales que estamos considerando estos tŽerminos se corresponden con el acoplamiento de los campos gravitatorios externos a nivel de quarks. Un valor no nulo de H0 indica que existe una renormalizaciŽon fuerte finita de la constante gravitatoria de Newton G, ya que el lagrangiano clŽasico de Einstein es L = -R/(16G). Notar que la matriz pseudoescalar U es un escalar bajo transformaciones de Lorentz y de coordenadas. Por tanto, despuŽes (y sŽolo despuŽes) de haber aplicado las identidades (6.88)-(6.91) se puede sustituir la derivada covariante en Lorentz y coordenadas por la derivada covariante D”, esto es ”U = D”U . 6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar Por simplicidad, comenzaremos mostrando los resultados de los coeficientes de GasserLeutwyler-Donoghue para el modelo de Georgi-Manohar, pues en este caso no existe contribucioŽn proveniente de campos escalares, esto es, de campos de espŽin cero y paridad positiva, y la uŽnica contribucioŽn procede del loop de quarks. Para este modelo, la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn es f2 = Nc 42 gA2 M 2I0 . El factor de normalizacioŽn para el campo es (6.96) B0 = M gA2 I-2 I0 . Con M B0 = M| f2 qŻq | = gA2 I0 I-2 el resultado que encontramos para los coeficientes de GLD es (6.97) (6.98) L1 = Nc 48(4)2 (1 - gA2 )2I0 + 4gA2 (1 - gA2 )I2 + 2gA4 I4 , L2 = 2L1 , L3 = - Nc 24(4)2 3(1 - gA2 )2I0 + 8gA4 I4 + 4gA2 (3 - 4gA2 )I2 , L4 = 0 , 146 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias L5 = Nc 2(4)2 gA2 [I0 - I2] , L6 = 0 , L7 = - Nc 24(4)2Nf gA [6I0 - gAI2] , L8 = - Nc 24(4)2 6( - gA)I0 + gA2 I2 , L9 = Nc 6(4)2 (1 - gA2 )I0 + 2gA2 I2 , L10 = - Nc 6(4)2 (1 - gA2 )I0 + gA2 I2 , L11 = Nc 12(4)2 gA2 I2 , L12 = - Nc 6(4)2 gA2 I2 , L13 = Nc 12(4)2 I0 = 48M 2 f2 gA2 , H0 = - NcNf 6(4)2 M 2I-2 = - Nf 24 f2 , H1 = Nc 12(4)2 -(1 + gA2 )I0 + gA2 I2 , H2 = Nc 12(4)2 62I-2 - 6( + gA)I0 + gA2 I2 , (6.99) H3 = - NcNf 144(4)2 I0 = - Nf 576M 2 f2 gA2 , H4 = NcNf 90(4)2 I0 , H5 = 7NcNf 720(4)2 I0 . Con los valores M = 300 MeV y gA = 0,75, el cutoff debe ajustarse para reproducir el valor empŽirico f = 93,2 MeV. Esto conduce a = 1470 MeV , B0 = 4913 MeV , I-2 = 20,8 , I0 = 2,26 , I2 = 0,922 , I4 = 0,995 . (6.100) El modelo quark quiral constituyente (QC) se corresponde con la eleccioŽn gA = 1 en los coeficientes anteriores. Si se considera el mismo valor para M, para este modelo se tiene = 828 MeV , B0 = 1299 MeV , I-2 = 5,50 , I0 = 1,27 , I2 = 0,781 , I4 = 0,963 . (6.101) En la tabla 6.1 se muestran los valores numŽericos de los coeficientes de GLD. 6.6.2. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio Los coeficientes de GLD en este modelo tendraŽn dos contribuciones diferentes: una proveniente del loop de quarks e integracioŽn posterior de los campos de espŽin 1, y otra proveniente de la integracioŽn de los campos de espŽin 0. Para la primera contribucioŽn se tienen las mismas expresiones de ec. (6.99). La constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn es f2 = Nc 42 gAM 2I0 . (6.102) Notar que en este modelo f2 tiene una potencia en gA, mientras que en el modelo de GM la potencia es gA2 , ec. (6.96). La diferencia se debe a la ausencia del tŽermino de masa Lm en el modelo GM. Nuestra notaciŽon serŽa la siguiente B0 = a2s M 2f2 = M I-2 gA I0 , gA = 1 - 2 f2 a2v . (6.103) 6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue 147 Con las contribuciones de espŽin 0+ son M B0 = gA I0 I-2 , (6.104) LS3 = Nc 4(4)2 gA4 I0 [I0 - I2]2 , LS8 = Nc 16(4)2 (gA - 2)2I0 , LS5 = Nc 4(4)2 gA2 (gA - 2) [I0 - I2] , LS11 = Nc 12(4 )2 gA2 [I0 - I2] , LS13 = Nc 24(4)2 (gA - 2)I0 , H2S = 2LS8 , H3S = NcNf 144(4)2 I0 = Nf 576M 2 f2 gA . (6.105) El resto de coeficientes LSi , HiS son cero. La suma de las dos contribuciones (loop de quaks y escalares) daraŽ los coeficientes de GLD para este modelo. El resultado es el siguiente L3 = - Nc 24(4)2 3(1 - 2gA2 - gA4 )I0 + 8gA4 I4 + 2gA2 2(3 - gA2 ) - 3gA2 I2 I0 L5 = Nc 4(4)2 gA3 [I0 - I2] , L8 = Nc 48(4)2 gA2 [3I0 - 2I2] , L11 = Nc 12(4)2 gA2 I0 = gAf2 48M 2 , L13 = Nc 24(4)2 gAI0 = f2 96M 2 , H2 = Nc 24(4)2 122I-2 + 3gA(gA - 8)I0 + 2gA2 I2 , H3 = 0 . I2 , (6.106) El resto de coeficientes: L1, L2, L4, L6, L7, L9, L10, L12, H0, H1, H4 y H5; coinciden con los del modelo de GM (fŽormulas (6.99)). Notar, no obstante, que las expresiones de f2 no coinciden en los dos modelos [ec. (6.96) y (6.102)]. Este modelo reproduce la relacioŽn L3 = -6L1, siempre y cuando se desprecien los tŽerminos O(NcgA4 ). Existen algunas diferencias con trabajos previos. Los valores L1, L2, L3, L4, L5, L6, L9, L10, H1 y H2 coinciden con ref. [106]. L8 difiere en dos potencias de gA en el tŽermino proporcional a I2. (Nuestros resultados reproducen los suyos para cada contribucioŽn por separado: contribucioŽn del loop de quarks y contribucioŽn de espŽin cero.) El valor de L7 es diferente de cero, si se considera la condicioŽn Det(U) = 1 debido a que estamos considerando la simetrŽia de sabor SU(Nf ). Tanto en ref. [106] como en [107] este tŽermino no se obtiene, a pesar de que en estos trabajos se menciona explŽicitamente que consideran el grupo de sabor SU(Nf ). En el grupo U(Nf ) sŽi se obtiene que L7 = 0. Nuestros valores de L4, L5, L6, L8, L9 y L10 coinciden con los de [107]. En esta referencia aparece un tŽermino errŽoneo extra en L1. L3 se diferencia de ref. [107] en todos los factores excepto uno en I4. H1 y H2 no aparecen en esa referencia. Los coeficientes L11, L12 y L13, asŽi como H0,3-5, son nuevos y constituyen el resultado principal de este capŽitulo. L11-13 fueron obtenidos tambiŽen hace alguŽn tiempo en un 148 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias modelo quiral que incluye bosonizaciŽon [125], y maŽs recientemente en el modelo quark espectral [108] (ver capŽitulo 7). Los valores numŽericos de estos coeficientes, ec. (6.106), aparecen en la tabla 6.1 para dos casos diferentes: el modelo NJL SU(3) generalizado, y el caso en que no se considera la integracioŽn de los campos de espŽin 1, esto es gA = 1. Para el primer caso se considera como valor razonable gA = 0,606. Con M = 300 MeV, se tiene = 1344 MeV , B0 = 4015 MeV , I-2 = 17,0 , I0 = 2,10 , I2 = 0,907 , I4 = 0,993 . (6.107) Para el modelo NJL con gA = 1, los valores numŽericos de , B0, y I2n son idŽenticos a los del modelo quark constituyente QC, ec. (6.101). Las LEC's en el modelo NJL con gA = 1 y en el QC se diferencian debido a la contribucioŽn de los escalares LS3,5,8,11,13 y H2S,3, que no estŽan presentes en el caso QC. 6.6.3. Resultados En la tabla 6.1 aparecen los resultados que hemos obtenido para los modelos de quarks quirales que se han tratado en este capŽitulo: Quark Constituyente, Nambu­Jona-Lasinio con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Se ha incluido tambiŽen el resultado del cŽalculo en el modelo Quark Espectral del capŽitulo 7. La primera columna se corresponde con el cŽalculo de TQP a dos loops [126]. Se incluye tambiŽen el resultado obtenido en el modelo basado en Nc grande con saturacioŽn por una uŽnica resonancia [127]. Los resultados para las constantes de baja energŽia coinciden a grandes rasgos. Como regla, todos los modelos y ajustes dan el mismo signo para todos los coeficientes, con la excepciŽon de H0 y H2 en el modelo Quark Espectral. Para los coeficientes de GasserLeutwyler estŽandar L1-10 el mejor acuerdo global con el cŽalculo de TQP a dos loops [126] es el proporcionado por el modelo NJL con mesones vectoriales, para el que la chi cuadrada reducida es 2/DOF = 2,2, (DOF = 10), si bien los modelos QC y GM proporcionan resultados de calidad similar: 2,5 y 3,6 respectivamente. Para los coeficientes nuevos no existen en la literatura valores ampliamente aceptados. El acuerdo maŽs cercano con las estimaciones de Nc grande y saturacioŽn de resonancias de [122] para L11-13 es el de NJL sin mesones vectoriales, para el que 2/DOF = 0,29, pero esto no es totalmente concluyente. Asimismo, es importante mencionar el notable acuerdo entre las predicciones del modelo Quark Espectral para estos tres coeficientes y aquellas provenientes del modelo quiral de bosonizaciŽon de ref. [125], para el que se obtiene L11 = 1,58 · 10-3 , L12 = -3,2 · 10-3 , L13 = 0,3 · 10-3 . (6.108) 6.7. Conclusiones En este capŽitulo hemos calculado las constantes de baja energŽia del tensor energŽiaimpulso en varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, Nambu­Jona-Lasinio 6.7 Conclusiones 149 Cuadro 6.1: Constantes adimensionales de baja energŽia y H0 comparadas con otros modelos y con el valor que dan algunas referencias. Los valores mostrados para L1-13, H1-5 deben ser multiplicados por 10-3. El valor de H0 debe multiplicarse por 103 MeV2. TQP1 NJL NJL QC GM SQM2 Large Nc3 Dual2 (gA = 1) (MDM) Large Nc L1 0.53 ± 0.25 0.77 L2 0.71 ± 0.27 1.54 L3 -2.72 ± 1.12 -4.02 0.76 0.76 0.78 1.52 1.52 1.56 -2.73 -3.62 -4.25 0.79 1.58 -3.17 0.9 1.8 -4.3 0.79 1.58 -3.17 L4 0 0 0 0 0 0 0 0 L5 0.91 ± 0.15 1.26 2.32 1.08 0.44 2.0 ± 0.1 2.1 3.17 L6 0 0 0 0 0 0 0 0 L7 -0.32 ± 0.15 -0.06 -0.26 -0.26 -0.03 -0.07 ± 0.01 -0.3 L8 0.62 ± 0.20 0.65 L9 5.93 ± 0.43 6.31 L10 -4.40 ± 0.704 -5.25 L11 1.85 ± 0.905 1.22 L12 -2.75 -1.06 L13 1.7 ± 0.805 1.01 H0 -14.6 H1 -4.01 0.89 4.95 -2.47 2.01 -2.47 1.01 -4.67 -2.78 0.46 4.95 -2.47 1.24 -2.47 0.47 -4.67 -2.78 0.04 6.41 -4.77 0.82 -1.64 0.22 -17.7 -4.76 0.08 ± 0.04 6.33 -3.17 1.58 -3,17 0.33 ± 0.01 1.09 0.8 7.1 -5.4 1.65 -2.75 1.15 1.18 6.33 -4.75 H2 1.46 1.45 0.59 0.49 -1.0 ± 0.2 H3 0 0 -0.50 -0.89 H4 1.33 0.80 0.80 1.43 H5 1.16 0.70 0.70 1.25 (1) CŽalculo a dos loops de ref. [126]. (2) Ref. [108], capŽitulo 7. (3) Ref. [127]. (4) Ref. [128]. (5) Ref. [122]. con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Algunas de estas constantes se obtienen directamente de los coeficientes estŽandar de Gasser-Leutwyler, mientras que otras, L11-13 y H0,3-5, son nuevas y proceden de operadores que no estŽan presentes en el lagrangiano quiral en espacio plano. TŽecnicamente, el mejor modo de proceder es considerar QCD en un espacio-tiempo curvo, ya que nos permite trabajar con el lagrangiano a bajas energŽias, en lugar de su variaciŽon (el tensor energŽia-impulso). Esto hace maŽs fŽacil tanto el cŽalculo como la imposiciŽon de las restricciones debidas a las simetrŽias. El lagrangiano quiral en espacio-tiempo curvo contiene dos tipos de contribuciones. Por una parte, aquellas que surgen de un acoplamiento mŽinimo del lagrangiano en espacio plano con la mŽetrica, L(g), y por otra aquellas contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann L(R). En el espŽiritu de no 150 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias introducir nuevos campos diferentes a la mŽetrica, hemos considerado uŽnicamente la gravedad de Einstein. En el caso de que se considerara torsiŽon o violaciŽon de la metricidad, en principio podrŽian aparecer nuevos tŽerminos. Al igual que ocurre con los acoplamientos gauge (por ejemplo, los momentos magnŽeticos), los tŽerminos gravitatorios L(R) no pueden fijarse a partir de la covariancia general del lagrangiano quiral, y para obtenerlos es necesario acoplar directamente gravedad con los quarks y los gluones de QCD antes de integrar los campos y obtener el lagrangiano de bajas energŽias. Hemos calculado en estos modelos de quarks quirales las constantes de baja energŽia con un cierto grado de Žexito, y hemos aplicado la misma aproximaciŽon para los tŽerminos con curvatura L(R). El acuerdo entre todos los modelos es razonable. Una comparaciŽon con los valores de TQP a dos loops [126] sugiere que NJL con mesones vectoriales es el que mejor funciona para los coeficientes estŽandar. Para los nuevos coeficientes L11-13, el mejor acuerdo proviene de NJL sin mesones vectoriales, si bien el resultado no es concluyente. CapŽitulo 7 Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral La estructura de QCD a bajas energŽias en presencia de fuentes electrodŽebiles y gravitacionales se describe muy bien mediante TeorŽia Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27, 122]. En el sector mesoŽnico, la rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral es dominante a bajas energŽias y el cŽalculo sistemŽatico de las correspondientes constantes de baja energŽia (LEC's) ha sido llevado a cabo recientemente hasta una precisiŽon de dos loops [126, 128] o mediante el uso de las ecuaciones de Roy [129]. Para los procesos fuertes y electrodŽebiles que involucran mesones pseudoescalares, la mayor parte de las LEC's estŽan saturadas en tŽerminos de resonancias de intercambio [127], que pueden ser justificadas en el lŽimite de Nc grande en una cierta aproximaciŽon de bajas energŽias [130]. En el caso de procesos gravitacionales se pueden aplicar las mismas ideas [122]. Hoy en dŽia, TQP se usa como un test cualitativo y cuantitativo para cualquier modelo de la estructura de los hadrones a bajas energŽias. En este capŽitulo nos proponemos analizar, en el contexto de TQP con espacio-tiempo curvo, el modelo quark espectral propuesto recientemente en ref. [101]. En primer lugar se mostraraŽ cŽomo calcular la accioŽn efectiva de este modelo a un loop de quarks, y algunas de sus propiedades. Posteriormente se haraŽ un estudio de la parte anŽomala de la accioŽn efectiva, con la obtenciŽon del tŽermino estŽandar de Wess-Zumino-Witten. Se veraŽ que la anomalŽia que se obtiene con este modelo coincide con la anomalŽia de QCD. Se aplicaraŽ el formalismo desarrollado en el capŽitulo 6 para el cŽalculo de la contribucioŽn no anŽomala de la accioŽn efectiva, y se obtendrŽan las expresiones correspondientes para los coeficientes de baja energŽia (LEC). Con el fin de considerar una realizacioŽn explŽicita del modelo espectral, se considerarŽa Žeste dentro de un esquema de dominancia del mesoŽn vectorial, lo cual permitiraŽ encontrar valores concretos para las LEC's y comparar con resultados de otros modelos presentados en el capŽitulo 6. Finalmente se compararaŽn las predicciones del modelo espectral para estas constantes con las obtenidas en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia (SRA) en el lŽimite de Nc grande [122, 130], lo cual conduciraŽ a unas relaciones de dualidad entre los canales vector y escalar. Este capŽitulo estŽa basado en la referencia [108]. 151 152 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral 7.1. AccioŽn Efectiva del Modelo Quark Espectral En la secciŽon 5.2.2 introdujimos el modelo quark espectral. La aproximaciŽon es similar en espŽiritu al modelo de Efimov e Ivanov [131], propuesto hace algunos an~os, y se basa en la introduccioŽn formal de la representacioŽn de Lehmann generalizada para el propagador del quark. La accioŽn efectiva que obedece las identidades de Ward-Takahashi mediante la tŽecnica de Delbourgo y West [103] corresponde en nuestro caso a una prescripcioŽn de sustitucioŽn mŽinima. Esto conduce a un determinante fermiŽonico de la forma1 SQM[U, s, p, v, a, g] = -iNc d()Tr log (iD) , C donde el operador de Dirac viene dado por (7.2) iD = id/ - U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) = iD - U 5 . (7.3) Estamos trabajando en espacio-tiempo curvo de Minkowski. La derivada d” es derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y transformaciones de Lorentz, e incluye la conexioŽn de espŽin. El tensor mŽetrico g” es la fuente externa que representa el acoplamiento con un campo gravitatorio. La matriz U5 = U5 es la matriz de sabor que representa el octete de mesones pseudoescalares en la representacioŽn no lineal. Este operador de Dirac transforma de manera covariante bajo transformaciones quirales locales.2 En lo sucesivo consideraremos el modelo con Nf = 3. Si se considera la matriz U en el sector U(3) de sabor, la anomalŽia U(1)A se puede tener en cuenta an~adiendo el tŽermino habitual [26] LA = - f2 4 m21 - i 2 log det UŻ - log det UŻ 2 , (7.4) donde U = UŻ ei8/(3f), con det UŻ = 1. Para = 0 este tŽermino es invariante CP y SU(Nf )LŚSU(Nf )R. La accioŽn efectiva del modelo tiene un aspecto similar a la del modelo NJL bosonizado (ver secciŽon 6.3). La principal diferencia tiene que ver con la interpretacioŽn del mŽetodo de regularizacioŽn. Por una parte, en los modelos NJL uŽnicamente se puede regularizar sobre loops de quarks (lŽineas de quark cerradas). El hecho de que en el modelo quark espectral la "regularizacioŽn" de Lehmann se produzca sobre lŽineas de quark abiertas tiene importantes consecuencias en cuanto a la consistencia de los cŽalculos a energŽias altas tanto en una interpretacioŽn puramente hadrŽonica como partŽonica. 1 Para un operador bilocal A(x, x) (matrices en espacio de Dirac y de sabor) se tiene TrA = d4 x -g tr A(x, x) , (7.1) donde tr indica traza de Dirac y traza en espacio de sabor. 2Para un estudio sobre el acoplamiento con gravedad de los modelos de quarks quirales, ver secciones 6.2 y 6.3. 7.2 AnomalŽias Quirales 153 Dado que el contorno de integracioŽn para la variable espectral es en general complejo, resulta complicado pasar a espacio euclŽideo y separar la accioŽn en una parte real y otra imaginaria. En lugar de espacio euclŽideo, podemos considerar el espacio de Minkowski e introducir, como hicimos en sec. 6.2.2, el operador auxiliar - iD5 = 5 id/ - U 5 - m^ 0 + v/ - 5a/ - s + i5p 5 . (7.5) De este modo, la accioŽn efectiva con paridad normal se escribe +SQM = - i 2 Nc d()Tr log (D5D) . C (7.6) 7.2. AnomalŽias Quirales Una de las ventajas maŽs importantes de la regularizacioŽn espectral es que conduce a observables hadrŽonicos finitos e independientes de la escala, lo cual es un requerimiento bŽasico de todo procedimiento de regularizacioŽn. No obstante, esto no significa o implica necesariamente que la accioŽn efectiva total en presencia de campos externos sea finita, ya que incluso en el caso de que los campos pioŽnicos sean cero, U = 1, existen procesos no hadrŽonicos. En realidad, ocurre que la renormalizaciŽon de la funciŽon de onda del fotoŽn es proporcional a 0 [101], de modo que depende de la escala ” y por tanto diverge en ciertos esquemas de regularizacioŽn (por ejemplo, en regularizacioŽn dimensional). Esta dependencia en escala surge tambiŽen en otros tŽerminos no hadrŽonicos de la accioŽn efectiva. En [101] se encuentra que las desintegraciones 0 2 y 3 se muestran de acuerdo con los valores correctos que se esperan de la anomalŽia quiral de QCD. Con ayuda de la accioŽn efectiva, ec. (7.2), vamos a ver en esta secciŽon que esto es cierto tambiŽen para todos los procesos anŽomalos. En primer lugar calcularemos la anomalŽia quiral, y mostraremos que en presencia de campos externos la anomalŽia no depende del campo pioŽnico U, y por tanto coincide con la anomalŽia en QCD debido a las condiciones espectrales 1 = 2 = 3 = 4 = 0. DespuŽes veremos cŽomo surge en este contexto el tŽermino estŽandar de Wess-Zumino-Witten [132, 133]. 7.2.1. CŽalculo de la anomalŽia quiral Bajo transformaciones quirales locales (vector y axial) el operador de Dirac se transforma D e+iV (x)-iA(x)5 D e-iV , (x)-iA(x)5 (7.7) con V (x) = aV (x)a , a A(x) = aA(x)a . a (7.8) 154 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral Infinitesimalmente, la transformaciŽon es D = i[V , D] - i{A5, D} . (7.9) Si consideramos una transformaciŽon quiral en la accioŽn efectiva, ec. (7.2), sin ninguna regularizacioŽn adicional, se tiene S = -iNcTr d() DD-1 . C (7.10) Teniendo en cuenta la propiedad cŽiclica de la traza, se obtiene sŽolo una contribucioŽn procedente de la variaciŽon axial AS AA = d4x tr d() 2iA5 = 0 d4x tr 2iA5 , C (7.11) un resultado que es ambiguo incluso en presencia de regularizacioŽn espectral, debido a la traza dimensional infinita [38]. Para evitar la ambigušedad es necesario introducir una regularizacioŽn extra. Como es bien sabido, no existe una regularizacioŽn que preserve la simetrŽia quiral, de modo que la anomalŽia es generada. El cŽalculo se puede hacer con mŽetodos estŽandares. Una regularizacioŽn conveniente es la regularizacioŽn [134], que permite calcular directamente la anomalŽia a partir del propio operador de Dirac (no su cuadrado), y no precisa de ninguna redefiniciŽon de la matriz 5. Esto conduce a AS AA = Tr d() 2iA5 [iD]0 C = d4x tr d() 2iA(x)5 x|D0|x , C (7.12) donde la potencia cero del operador de Dirac se entiende como una continuaciŽon analŽitica que puede escribirse en tŽerminos de coeficientes de Seeley-DeWitt para operadores de Dirac [134]: x|D0|x = 1 (4)2 1 2 D4 + 1 3 (D22” + ”D2” + 2”D2) + 1 6 2”2 + (” )2 + ”2 ” , (7.13) donde ” = 1 2 {”, D}. La combinaciŽon {”, D} es un operador multiplicativo, de modo que equivale a una funciŽon. El resultado para acoplamientos generales en cuatro dimensiones ha sido obtenido de [134]. Una inspeccioŽn directa muestra que, puesto que la dependencia en viene dada por iD = iD - U5, el resultado se puede escribir como la suma de un tŽermino independiente de maŽs un polinomio en AA = d() (AA[s, p, v, a] + AA[s, p, v, a, , U ]) = 0AA[s, p, v, a] , (7.14) C 7.2 AnomalŽias Quirales 155 donde el tŽermino polinoŽmico dependiente de se anula, por las condiciones espectrales (los momentos positivos son cero). Esto muestra que la anomalŽia del modelo quark espectral coincide con la anomalŽia de QCD despuŽes de introducir una regularizacioŽn adicional conveniente, independientemente de los detalles de la funciŽon espectral. Esto es un punto importante, ya que si la accioŽn efectiva [U, s, p, v, a] en ec. (7.2) fuera finita e invariante quiral, aparentemente no habrŽia razoŽn para la existencia de anomalŽias. 7.2.2. TŽermino de Wess-Zumino-Witten Mostraremos aquŽi dŽonde y cŽomo surgen estas divergencias. Por simplicidad, consideremos el lŽimite quiral m^ 0 = 0, los campos externos los haremos cero y trabajaremos en espacio-tiempo plano, de modo que iD = i/. Conseguiremos una representacioŽn conveniente si introducimos el campo Ut5 = eit , 25/f (7.15) que permite interpolar entre el vacŽio Ut5=0 = 1, y la matriz completa Ut5=1 = U 5. Podemos escribir la siguiente identidad trivial para la accioŽn efectiva con sustracciŽon del vacŽio: SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a] = -iNc 0 1 dt d dt d()Tr log C iD - Ut5 = iNc 1 dt 0 d()Tr C dUt5 dt iD 1 - Ut5 . Puesto que estamos interesados en procesos con paridad anormal, es suficiente con identificar los tŽerminos que contienen el tensor de Levi-Civit`a ”, que por invariancia Lorentz precisan de al menos cuatro derivadas. Teniendo en cuenta el hecho de que las derivadas actuŽan sobre su derecha, se tiene 1 -SQ(4M) = -iNc dt d() 0 C d4x d4k 1 (2)4 [k2 - 2]5 Ś Tr - 5Ut dUt dt Uti/Ut 4 , (7.16) donde el superŽindice (4) indica O(p4). Tras el cŽalculo de las trazas e integrales, finalmente se obtiene -SQ(4M) = 0 Nc 482 1 dt 0 d4x ” Ut dUt dt Ut”UtUt UtUt Ut Ut Ut , que coincide con el tŽermino de Wess-Zumino-Witten (WZW) [132, 133], si usamos que 0 = 1. Los campos externos pueden ser incluidos mediante el uso de ec. (7.16), lo cual genera el tŽermino de WZW en la forma de Bardeen. En realidad, la diferencia SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a] es finita y preserva invariancia gauge, pero rompe la simetrŽia quiral lo cual genera la anomalŽia de ec. (7.14). 156 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral 7.3. Desarrollo quiral de la accioŽn efectiva A partir de la accioŽn de ec. (7.2) podemos calcular el desarrollo en derivadas en el contexto de espacio-tiempo curvo (para los detalles, ver la secciŽon 6.4). Teniendo en cuenta la fŽormula del desarrollo del heat kernel, ec. (6.67), los coeficientes que se obtienen son los mismos que se obtuvieron en el modelo NJL, ec. (6.68), con la salvedad de considerar la sustitucioŽn M , y el hecho de que en el modelo espectral no se introducen campos internos auxiliares para bosonizar (los sŽimbolos no tienen barra: V, ”, F”). DespuŽes de usar las condiciones espectrales n = 0, n > 0, la contribucioŽn de paridad normal para la accioŽn efectiva se escribe - i 2 Tr log D5D = - 1 2 Nc (42) d4x-g d() C Ś tr -14 2 log 2a0 + 2 log 2a1 - log(2/”2)a2 + 1 2 a3 + 1 4 a4 + ·· · = d4x-g L(0) + L(2) + L(4) + · · · . (7.17) DespuŽes del cŽalculo de las trazas de Dirac, para el orden O(p2) del lagrangiano efectivo se tiene L(2) = Nc (4)2 () C - 2 log 2 ”U ”U + 23 log 2 mU + U m + 2 log 2 1 12 R , (7.18) y para el orden O(p4) L(4) = Nc (4)2 () C + 1 6 log 2 (F”R )2 + (F”L )2 - log 2 7 720 R” R” - 1 144 R2 + 1 90 R” R” - i 3 F”R ”U U + F”L ”U U + 1 12 (”U U )2 - 1 6 (”U ”U )2 + 1 6 ”U ”U - 1 6 F”L U F”R U + log 22 2 mm + (mU + U m)2 - 1 2 ”U ”U (mU + Um) - log 2 ”U ”m + ”m”U - log 2 1 6 R Um + mU + 1 12 R ”U ”U . (7.19) En estas fŽormulas m s + ip = /2B0. Notar que los momentos que aparecen hasta este orden son 0 = 1, 1 = 0 y 2 = 0, asŽi como los momentos logarŽitmicos 0, 1 y 2. Tras aplicar las ecuaciones de movimiento clŽasicas del campo U, ecs. (6.88)-(6.89), la identidad 7.3 Desarrollo quiral de la accioŽn efectiva 157 integral de ec. (6.90) y la identidad vaŽlida en SU(3), ec. (6.91), se llega a la forma estŽandar del lagrangiano dada por ecs. (6.92)-(6.93) para las contribuciones mŽetricas y ecs. (6.94)(6.95) para las contribuciones con curvatura. Los valores que se obtienen para la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn y el condensado de quarks en el lŽimite quiral son f2 = - 4Nc (4)2 2 , f2B0 = - qŻq = 4Nc (4)2 3 , (7.20) (7.21) y los coeficientes LEC's se escriben L3 = -2L2 = -4L1 = - Nc (4)2 0 , 6 L4 = L6 = 0 , L5 = - Nc (4)2 1 2B0 , L7 = Nc (4)2 1 2Nf 1 2B0 + 0 12 , L8 = Nc (4)2 2 4B02 - 1 4B0 - 0 24 , L9 = -2L10 = Nc (4)2 0 3 , L12 = -2L11 = - Nc (4)2 0 6 , L13 = - Nc (4)2 1 12B0 = 1 6 L5 , (7.22) H0 = - f2 4 Nf 6 , H1 = Nc (4)2 0 6 , H2 = Nc (4)2 2 B02 + 1 2B0 + 0 12 , H3 = Nc (4)2 Nf 0 144 , H4 = - Nc (4)2 Nf 0 90 , H5 = - Nc (4)2 Nf 70 720 . El valor para L7 se corresponde con el modelo SU(3) de sabor. Para el modelo U(3), se obtiene del cŽalculo que L7 = 0, pero entonces el tŽermino de ec. (7.4) deberŽia ser an~adido, de modo que el valor de L7 se modificarŽia. Como vemos, los coeficientes L1, L2, L3, L4, L6, L9, L10 son nuŽmeros puros, y coinciden con los que se esperan en el lŽimite en que la regularizacioŽn se elimina [105]. Esto tiene que ver con el carŽacter adimensional de las LEC's, y que involucran por tanto el momento cero 0 = 1. El hecho de que H1 sea proporcional a 0 se corresponde con una funciŽon de onda del campo gauge dependiente de la escala, o divergente. Quiere esto decir que la parte finita de H1 depende del esquema de regularizacioŽn. A partir de los valores de f2 = 93,2 MeV y L5 = 2,1 · 10-3 [127], se obtiene L7 = - L5 2Nf + Nc 3842Nf -0,09 · 10-3, L8 = L5 2 - Nc 3842 - f2 16B02 0,13 · 10-3, H2 = -L5 + Nc 1922 - f2 4B02 -1,02 · 10-3. (7.23) 158 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral En cuanto a las contribuciones con curvatura, el valor no nulo de H0 conduce a una correcciŽon fuerte para la constante gravitatoria de Newton G. Esta correcciŽon es proporcional al cociente entre la escala hadrŽonica y la escala de Planck 2Nf f2G/3, lo cual es numŽericamente despreciable. 7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial Hasta ahora todas nuestras consideraciones han sido hechas para una funciŽon espectral general sujeta a una serie de propiedades que deben cumplir sus momentos y momentos logarŽitmicos. Es deseable construir una forma explŽicita para esta funciŽon pues esto conducirŽa a importantes consecuencias fenomenolŽogicas del modelo. Con este fin, en ref. [101] se adopta la siguiente expresiŽon para el factor de forma del pioŽn FV (t) = MV2 MV2 + t , (7.24) donde MV indica la masa del mesoŽn . Esta forma corresponde al esquema de dominancia del mesŽon vectorial, que reproduce muy bien los datos experimentalres recientes [135]. La expresiŽon del factor de forma del pioŽn que se deriva del modelo espectral depende de los momentos pares y negativos de (). Por comparaciŽon con (7.24) se llega a la siguiente identificacioŽn [101] 2-2n = 22n+33/2f2 NcMV2n n(n + 3/2) (n + 1) , n = 1, 2, 3, . . . (7.25) La condicioŽn 0 = 1 conduce a f2 = NcMV2 242 , (7.26) que es una relacioŽn que se obtiene a menudo en los modelos de quarks quirales cuando se considera este esquema de dominancia. Esto proporciona una estimacioŽn razonable de la masa del mesoŽn , MV = 826 MeV para f = 93 MeV, y MV = 764 MeV para f = 86 MeV en el lŽimite quiral. Notar que si en (7.25) hiciŽeramos una prolongaciŽon anŽalitica en el Žindice n, obtendrŽiamos para los momentos positivos 2n = 0, n = 2, 3, . . . debido a que la funciŽon (n) presenta singularidades en enteros no positivos. Los momentos logarŽitmicos de () se pueden eva- luar fŽacilmente mediante prolongaciŽon analŽitica de los momentos n en el plano complejo de n [101], n = que conduce a C d log(2)n() = 2 d dz d z() C z=n = 2 d dz z , z=n 2n = - MV2 4 n (n)( 5 2 - (5/2) n) , n = 1, 2, 3, . . . (7.27) (7.28) 7.4 Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial 159 Los momentos contienen toda la informaciŽon necesaria para cŽalculos praŽcticos, sin embargo resulta interesante escribir una fŽormula explŽicita para la funciŽon espectral. El problema matemaŽtico consiste en invertir la fŽormula 2n = C d 2nV (), con los momentos dados por (7.25). La soluciŽon del problema conduce a [101] V () = 11 1 2i (1 - 42/MV2 )dV , (7.29) con dV = 5/2. Esta funciŽon presenta un polo simple en el origen, y cortes de rama que empiezan en = ±MV /2. La funciŽon espectral vector, V , corresponde a la parte par de la funciŽon : V () = (() + (-)) /2. Para la parte impar, que denominaremos funciŽon espectral escalar, S() = (() - (-)) /2, debe suponerse una cierta forma funcional que sea adecuada, que satisfaga las condiciones espectrales impares 2n+1 = 0, n 0, y reproduzca el valor del momento logarŽitmico 3 = -42 qŻq /Nc, (ec. (7.21)). En ref. [101] se sugiere una forma anŽaloga a ec. (7.29), S () = 1 16(dS - 1)(dS - 2)3 2i MS4(1 - 42/MS2)dS . (7.30) Los datos del retŽiculo para la masa constituyente de los quarks favorece el valor dS = 5/2 [101]. En el modelo de dominancia vectorial (MDM), el propagador del quark de ec. (5.33) se escribe S(p) = C d V ()/p p2 + - S 2 () = /p Z (p2 ) - M (p2) , (7.31) donde el contorno de integracioŽn C consta de dos partes. La primera comienza en + - i0 siguiendo el eje real positivo, rodea el polo +MV /2 haciendo una media circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, y vuelve a ++i0 siguiendo el mismo eje real positivo. La segunda parte del contorno comienza en - + i0 y sigue el eje real negativo hasta el polo -MV /2, lo rodea en sentido de las agujas del reloj, y vuelve a - - i0 siguiendo el mismo eje real negativo. Estas dos secciones estŽan conectadas en el infinito con semicŽirculos. Este contorno de integracioŽn es el que se usa para V . Para S se considera el mismo contorno C, salvo que los polos estŽan en ±MS/2. En este modelo se obtienen los siguientes valores para los momentos logarŽitmicos 1MD = 82 qŻq NcMS2 = - 5MQMS2 6MV2 , 2MD = - 42f2 Nc = - MV2 6 , 3MD = - 42 qŻq Nc = 5MQMS4 12MV2 , (7.32) 160 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral donde MQ es la masa constituyente de los quarks, que viene dada por [101] MQ M (0) = - 48MV2 2 qŻq 5NcMS4 . Haciendo uso de estos valores se tiene L5 = Nc 962 MV2 MS2 , L7 = Nc 322Nf 1 12 - MV2 6MS2 , L8 = Nc 162 - MV10 150MQ2 MS8 + MV2 12MS2 - 1 24 . (7.33) (7.34) (7.35) (7.36) En la tabla 6.1 del capŽitulo 6 se muestran lo resultados correspondientes al modelo quark espectral en su realizacioŽn MDM para las constantes L5,7,8, asŽi como las predicciones para L1,2,3,4,6,9,10, que son comunes al esquema de [105]. AdemaŽs aparecen los coeficientes L11-13, correspondientes a las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral. Estos valores numŽericos se han obtenido considerando MV = 770 MeV, MS = 970(21) MeV y MQ = 303(24) MeV. 3 Para el modelo espectral en su versioŽn SU(2) de sabor, en ausencia de correcciones de loops mesoŽnicos, se tiene4 Żl1 = -Żl2 = - 1 2 Żl5 = - 1 4 Żl6 = -Nc , Żl3 = 4Nc 3 + 16NcMV10 75MQ2 MS8 , Żl4 = 2NcMV2 3MS2 . Los radios cuadrŽaticos medios vector y escalar del pioŽn vienen dados por [25] (7.37) (7.38) (7.39) r2 V = 1 162f2 Żl6 = 6 MV2 , r2 S = 3 82f2 Żl4 = 6 MS2 . (7.40) Las componentes escalar (espŽin-0) y tensorial (espŽin-2) de los factores de forma gravitacionales (0 y 2 respectivamente) [122], producen el mismo radio cuadrŽatico medio r2 G,0 = r2 G,2 = Nc 482f2 , (7.41) 3Para una discusioŽn sobre estos resultados y su comparacioŽn con otros modelos, ver seccioŽn 6.6.3. Estos valores de MS y MQ se han obtenido en ref. [101] a partir de un ajuste con el modelo espectral de los datos para la masa constituyente de los quarks obtenidos en el retŽiculo [136]. 4Hacemos uso de las relaciones dadas en ref. [27] para pasar de la forma del lagrangiano quiral en SU(3) a la forma en SU(2). Estas relaciones son Żl1 = 1922(2L1 + L3), Żl2 = 1922L2, Żl3 = 2562(2L4 + L5 - 4L6 - 2L8), Żl4 = 642(2L4 + L5), Żl5 = -1922L10, Żl6 = 1922L9, Żl11 = 1922L11 , Żl13 = 2562l13. La constante l12 no estaŽ renormalizada por el loop piŽonico. 7.5 LŽimite de Nc grande y Dualidad 161 independientemente de la realizacioŽn particular del modelo espectral. Si saturamos los factores de forma con mesones escalares y tensoriales f0 y f2, para sus masas se tiene Mf0 = Mf2 = 4f 3/Nc = 1105 - 1168 MeV , (7.42) dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV, respectivamente. El valor experimental para el mesoŽn tensorial maŽs ligero es Mfe2xp = 1270 MeV. Tal y como se discute en [122], el factor de forma 0 (correspondiente a la traza del tensor energŽia-impulso) se acopla con mesones escalares, mientras que 2 (correspondiente a la parte de ” sin traza) se acopla con mesones tensoriales (espŽin-2). Hay que decir que el mesoŽn escalar de masa Mf0, que domina el tensor energŽia-impulso, no necesariamente coincide con el mesoŽn escalar de masa MS, que domina el factor de forma escalar. En realidad se tiene Mf0 = 2MV , mientras que MS es una magnitud libre. Esto surge de manera natural en la aproximaciŽon espectral, donde el factor de forma escalar FS en el lŽimite quiral involucra los momentos impares, mientras que 0 involucra los pares. En particular, los radios cuadrŽaticos medios son proporcionales a 1 y 0, respectivamente. 7.5. LŽimite de Nc grande y Dualidad En virtud del hecho de que nuestro resultado se ha obtenido en la aproximaciŽon de un loop de quarks,5 no podemos esperar que el modelo dŽe mejores resultados para las LEC's que la contribucioŽn de orden maŽs bajo en un contaje en Nc, el cual estŽa formado por un nuŽmero infinito de intercambios de resonancias [130]. Por otra parte, el cŽalculo de estas contribuciones en Nc grande requiere el uso de suposiciones adicionales, tales como la convergencia de una serie infinita de estados y, por otra parte, una estimacioŽn de las contribuciones de las resonancias maŽs altas. En la praŽctica, se puede trabajar en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia (SRA), lo cual conduce a una reduccioŽn de los paraŽmetros [122, 130]: 2LS1RA = LS2RA = 1 4 LS9RA = - 1 3 LS10RA = f2 8MV2 , LS5RA = 8 3 LS8RA = f2 4MS2 , LS3RA = -3LS2RA + 1 2 LS5RA , 2LS13RA = 3LS11RA + LS12RA = f2 4Mf20 , LS12RA = - f2 2Mf22 , (7.43) (7.44) (7.45) (7.46) (7.47) donde f, MV y MS indican las contribuciones de orden maŽs bajo en Nc para estas magnitudes. En la obtenciŽon de estas fŽormulas para L1 - L10, se han ajustado las contribuciones 5El modelo espectral no se ha desarrollado mŽas allŽa de un loop. 162 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral de los mesones pseudoescalares y axiales con objeto de reproducir las reglas de suma qui- rales para las funciones de correlacioŽn de dos puntos VV-AA y SS-PP, ademaŽs de exigir un comportamiento convergente a altas energŽias para los factores de forma hadroŽnicos.6 Obviamente, el imponer maŽs ligaduras a cortas distancias implica el uso de maŽs resonancias. Los valores de L11,12,13 se han obtenido del intercambio de una uŽnica resonancia escalar y tensorial [122]. Por una parte, es necesario considerar un mesoŽn tensorial con objeto de proporcionar un valor no nulo para L12, y por otra parte, los mesones tensoriales contribuyen tambiŽen a otras LEC's [137], lo cual no estŽa tenido en cuenta en ecs. (7.43)-(7.47). Por tanto, con objeto de simplificar la discusioŽn, en lo que sigue nos restringiremos a los acoplamientos no gravitacionales L1 -L10. Notar que, si bien el poder predictivo es grande, se consigue en tŽerminos de dos razones adimensionales f/MV y f/MS. Obviamente, en el lŽimite quiral se espera que tanto MV como MS escalen como f. Por tanto, con objeto de preservar las reglas de contaje en Nc grande, se deberŽia tener que MV = cV f/ Nc , MS = cSf/ Nc , (7.48) donde cV y cS son coeficientes independientes de Nc. El hecho sorprendente es que en el modelo quark espectral, las constantes de baja energŽia dependen de las razonas adimensionales 1/B0 y 2/B02. En vista de esto, resulta tentador calcular los momentos logarŽitmicos espectrales a partir de las reglas de Nc grande, de un modo que sea modelo-independiente. En primer lugar vemos que las razones L1 : L2 : L9 en el modelo quark espectral coinciden con las de SRA. Los valores de L5 y L8 pueden ser usados para determinar 1 y 2 respectivamente, de modo que se tiene 1SRA = 82 qŻq NcMS2 , 2SRA = - 42f2 Nc = - MV2 6 , (7.49) (7.50) lo cual estŽa de acuerdo con ecs. (7.34) y (7.26). Esto no es sorprendente, pues la fŽisica de SRA y del modelo quark espectral en su versioŽn MDM es similar. La uŽnica diferencia es que de ecs. (7.49)-(7.50) no se puede deducir el valor de la masa constituyente de los quarks MQ = M(0), que viene dada por el cociente MQ = -1/-2 (ecs. (5.35)-(5.36)). Para determinar MQ serŽia necesario calcular los tŽerminos de O(p6) en el lagrangiano quiral y comparar con SRA en el lŽimite Nc grande. Por otra parte, no es posible hacer compatibles L8 o L10. El desacuerdo con los corres- pondientes valores en Nc grande se debe a que el modelo espectral viola la regla de suma SS-PP y la segunda regla de Weinberg VV-AA. Esta violaciŽon tambiŽen ocurre en otros modelos de quarks [138, 139] (no ocurre en los modelos no locales; ver [140, 141]). En efecto, en el modelo no existe intercambio de mesoŽn axial en L10 (1/4 de la contribucioŽn total) ni de mesoŽn pseudoescalar en L8 (1/4 de la contribucioŽn total). Por otra parte, para el valor de f que se obtiene de ec. (7.26), las constantes L1, L2, L4, L5, L6, L9 6En particular, MP /MS = MA/MV = 2, donde MP es la masa del piŽon excitado. 7.5 LŽimite de Nc grande y Dualidad 163 reproducen las identidades en Nc grande que aparecen en [127]. Este acuerdo se puede ver en la tabla 6.1 si se considera un factor de correcciŽon 242f2/NcMV2 = 1,15. Se podrŽia forzar que L3 coincidiera con la estimacioŽn de Nc grande tomando MV = MS. Esto concuerda con la observaciŽon en la aproximaciŽon unitaria quiral de ref. [142], de que en el lŽimite de Nc grande, los mesones escalar y vector son degenerados.7 Por tanto, el intentar compatibilizar el lŽimite de Nc grande en la SRA con el modelo quark espectral produce una degeneraciŽon de los mesones escalar y vector. Esta degeneraciŽon fue sugerida en [143] en el contexto de reglas de suma superconvergentes y han sido interpretadas maŽs recientemente en base a simetrŽias que se restablecen [144]. Parece claro que cualquier modificacioŽn en el modelo quark espectral afectaraŽ uŽnicamen- te a L8 y L10. Si se considera MS = MV = 2f 6/Nc para Nc grande en la aproximaciŽon SRA, se obtienen las siguientes relaciones de dualidad 2L1 = L2 = - 1 2 L3 = 1 2 L5 = 2 3 L8 = 1 4 L9 = - 1 3 L10 = Nc 1922 . Esto conduce a las relaciones de dualidad para las masas (7.51) MA = MP = 2MV = 2MS = 4 3 Nc f . (7.52) La nueva relacioŽn MA = MP concuerda con el valor experimental dentro del error del 30 % que se espera de considerar el lŽimite Nc grande. Haciendo uso de ec. (7.40) se obtiene r2 1/2 S = r2 1/2 V = Nc 2f . (7.53) Estas relaciones estŽan sujetas a correcciones en m y en Žordenes maŽs altos en Nc. NumŽeri- camente se tiene r2 1/2 S = r2 1/2 V = 0,58 - 0,62 fm , (7.54) dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV. El valor del radio escalar es proŽximo al que se obtiene de TQP hasta dos loops [145], 0,78 fm. En el caso SU(2), el modelo de dualidad con Nc grande conduce a - Żl1 = Żl2 = 3 2 Żl3 = 3 2 Żl4 = 1 3 Żl5 = 1 4 Żl6 = Nc . (7.55) Los valores recientes obtenidos a partir del anŽalisis de la colisioŽn a nivel de dos loops [145] y de factores de forma vector y escalar [146] a dos loops son Żl1 = -0,4 ± 0,6 , Żl4 = 4,4 ± 0,2 , Żl2 = 6,0 ± 1,3 , Żl3 = 2,9 ± 2,4, Żl5 = 13,0 ± 1,0 , Żl6 = 16,0 ± 1,0 . (7.56) 7Para Nc = 3, 10, 20, 40, en ref. [142] se obtiene MS/MV = 0,58, 0,84, 0,96, 0,98, respectivamente, con MS y MV las partes reales de los polos en la segunda hoja de Riemann. 164 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral Los coeficientes Żl son maŽs susceptibles de poder compararse con TQP ya que los loops quirales generan un cambio constante c = log(”2/m2), que es el mismo para todos ellos. Por tanto, tiene sentido comparar diferencias donde los logaritmos se cancelan. Żl2 - Żl1 = 2Nc (Exp. 6,4 ± 1,4) , Żl3 - Żl1 = 5Nc 3 (Exp. 3,3 ± 2,5) , Żl4 - Żl1 = 5Nc 3 (Exp. 4,8 ± 0,6) , Żl5 - Żl1 = 4Nc (Exp. 13,4 ± 1,2) , Żl6 - Żl1 = 5Nc (Exp. 16,4 ± 1,2) . (7.57) El acuerdo es excelente dentro de las incertidumbres, y esto sugiere una precisioŽn del orden de 1/Nc2 en lugar de la que cabrŽia esperar a priori 1/Nc. El cambio constante de los loops pioŽnicos se produce con una escala ” = 513±200 MeV, lo cual es comparable con la masa del mesoŽn . Considerando las ecs. (7.43)-(7.45) corres- pondientes a SRA, con los valores fŽisicos f = 93,2 MeV, MS = 1000 MeV y MV = 770 MeV, tal y como se hace en [130], se tiene Żl2 - Żl1 = 8,3 , Żl3 - Żl1 = 6,2 , Żl4 - Żl1 = 6,2 , Żl5 - Żl1 = 15,2 , Żl6 - Żl1 = 18,7 . (7.58) Se podrŽian obtener unos valores maŽs razonables considerando MS = 600 MeV, pero entonces la relacioŽn SRA, MP = 2MS, predicirŽia un valor demasiado pequen~o para la masa del estado pioŽnico excitado. Esta discusioŽn favorece fenomenolŽogicamente las relaciones de dualidad ec. (7.51) frente a las relaciones de SRA, ecs. (7.43)-(7.45), con paraŽmetros fŽisicos. 7.6. Conclusiones En este capŽitulo se ha estudiado el desarrollo quiral en el modelo quark espectral propuesto recientemente, en presencia de fuerzas externas electrodŽebiles y gravitatorias. El modelo estŽa basado en una representacioŽn de Lehmann para el propagador del quark con una funciŽon espectral no convencional, que es en general una funciŽon compleja con cortes de rama. Se ha escrito la accioŽn efectiva que reproduce las identidades de Ward-Takahashi, y gracias a una serie infinita de condiciones espectrales hemos obtenido la contribucioŽn anŽomala quiral a la accioŽn. Esta contribucioŽn aparece convenientemente normalizada sin necesidad de eliminar la regularizacioŽn. AdemaŽs, la contribucioŽn no anŽomala se puede escribir en tŽerminos de 13 constantes de baja energŽia. Los valores numŽericos muestran un acuerdo razonable con los esperados fenomenolŽogicamente, si bien existen algunas discrepancias para L8 y L10. EŽstas se podrŽian explicar de manera natural como fallos del modelo a la hora de reproducir las condiciones quirales a cortas distancias, y sugiere que Žeste necesita ser mejorado. Por otra parte, si se intenta comparar las LEC's no-gravitacionales restantes con las predicciones de Nc grande en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia, tiene lugar 7.6 Conclusiones 165 una nueva reduccioŽn de paraŽmetros. En particular, el mejor acuerdo se encuentra para el caso de mesones escalar y vector degenerados. Se han estimado las LEC's gravitatorias L11, L12 y L13 en el contexto de los modelos de quarks quirales. Estas constantes dependen de las propiedades de curvatura de la mŽetrica en espacio-tiempo curvo. Este cŽalculo permite la determinacioŽn de algunos elementos de matriz del tensor energŽia-impulso. Nuestro anŽalisis sugiere que el acoplamiento del mesoŽn escalar con el condensado de quarks m0qq, y el mesoŽn escalar acoplado con la traza del tensor energŽia-impulso ””, no coinciden necesariamente. Estos dos operadores se comportan de manera diferente bajo simetrŽia quiral, ya que m0qq se anula en el lŽimite quiral mientras que ”” no lo hace. Esto se materializa en el modelo quark espectral en el hecho de que estos dos mesones escalares dependen de momentos espectrales impares y pares, respectivamente. Por otra parte, se obtiene Mf0 = Mf2 = 2MV = 2MS = 4 3/Ncf, que constituye un resultado muy razonable si tenemos en cuenta la aproximaciŽon de un loop de quarks en que estamos trabajando. Se han discutido otras relaciones de dualidad quark-mesŽon, lo cual ha permitido una determinacioŽn bastante precisa de las LEC's ya conocidas, y se muestran de acuerdo con los valores conocidos a dos loops dentro de los errores experimentales. 166 CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral CapŽitulo 8 Conclusiones 8.1. Resumen y Conclusiones En esta tesis se ha hecho un estudio detallado de algunos efectos de temperatura y de curvatura en QCD y en algunos modelos de quarks quirales. Las conclusiones y logros maŽs significativos de este trabajo han sido los siguientes: Se ha construido un desarrollo del heat kernel invariante gauge orden por orden a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario, para espacio-tiempo plano. Se ha considerado un tratamiento general vaŽlido en cualquier gauge, y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estŽaticos. Para preservar la invariancia gauge a temperatura finita se ha hecho uso del loop de Polyakov, y se ha llegado hasta orden 6 en un contaje en dimensiones de masa. Se ha aplicado el desarrollo del heat kernel para el cŽalculo de la accioŽn efectiva de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la regioŽn de temperaturas grandes. Se ha considerado un loop de Polyakov no estŽatico. Se ha estudiado la invariancia gauge del resultado, y en concreto la rotura explŽicita de la simetrŽia del centro por efecto de los fermiones. Se ha obtenido la accioŽn de la teorŽia efectiva dimensionalmente reducida de QCD, vaŽlida en el rŽegimen de temperaturas grandes. Esto ha permitido obtener nuevos tŽerminos de orden 6 no calculados en la literatura, tanto en el sector fermiŽonico como en el gluŽonico. Se ha propuesto un modelo fenomenolŽogico que permite describir con gran Žexito los datos del retŽiculo tanto para el loop de Polyakov renormalizado como para la energŽia libre de un quark pesado, en el rŽegimen de temperaturas inmediatamente por encima de la transiciŽon de fase. Este modelo da cuenta de contribuciones no perturbativas provenientes de condensados gluŽonicos, y se ha obtenido una predicciŽon para el valor del condensado gluŽonico de dimensiŽon 2 en el rŽegimen de temperaturas considerado, 167 168 CapŽitulo 8: Conclusiones Tc T 6Tc. El resultado se muestra de acuerdo con otras predicciones existentes tanto a temperatura cero como a temperatura finita. Se ha estudiado la analogŽia existente entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero. Esto ha permitido encontrar una relacioŽn entre el condensado gluŽonico de dimensiŽon 2 y la tensiŽon de la cuerda. Se ha introducido el loop de Polyakov de color en los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks, siguiendo un esquema de acoplamiento mŽinimo, y hemos visto que esto permite resolver algunas inconsistencias que presentaban estos modelos en su tratamiento estŽandar a temperatura finita. En concreto, la integracioŽn sobre el grupo gauge da lugar a una conservaciŽon de trialidad, y el contaje en Nc se muestra de acuerdo con las predicciones de TeorŽia Quiral de Perturbaciones. Se ha calculado el lagrangiano efectivo quiral a temperatura finita de los modelos Nambu­Jona-Lasinio y Quark Espectral a nivel de un loop de quarks y a nivel aŽrbol para los mesones, en la aproximaciŽon quenched, y se ha obtenido una predicciŽon para las constantes de baja energŽia de TeorŽia Quiral de Perturbaciones. Se han analizado algunas correcciones de orden mayor para los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov. En concreto correcciones gluoŽnicas, locales, y las provenientes de ir maŽs allŽa de un loop de quarks. Se ha encontrado que los efectos tŽermicos estŽan exponencialmente suprimidos a temperaturas pequen~as, y vienen dominados por loops mesoŽnicos. AdemaŽs, se ha analizado la influencia del determinante fermiŽonico sobre algunos observables como el condensado de quarks y el valor esperado del loop de Polyakov, y se han estudiado sus implicaciones sobre las transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color. Se ha estudiado el acoplamiento de los modelos de quarks quirales con gravedad, y se ha analizado la correspondiente estructura del tensor energŽia-impulso a bajas energŽias para cuatro modelos concretos: Quark Constituyente, Georgi-Manohar, Nambu­Jona-Lasinio y Quark Espectral. Se ha obtenido una predicciŽon para los coeficientes de baja energŽia correspondientes a los tŽerminos no mŽetricos con contribuciones de curvatura. Se ha obtenido la contribucioŽn anŽomala quiral a la accioŽn efectiva en el modelo quark espectral. DespuŽes de introducir una regularizacioŽn conveniente, el resultado no depende de los detalles de la funciŽon espectral, de modo que coincide con la anomalŽia de QCD. Se han comparado los resultados del modelo quark espectral para las constantes quirales de baja energŽia, con las predicciones de Nc grande en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia. El mejor acuerdo se encuentra para el caso de mesones escalar y vector degenerados, dando lugar a unas relaciones de dualidad quark-mesŽon, que han permitido una determinacioŽn precisa de las constantes de baja energŽia conocidas. 8.2 Anexo de artŽiculos publicados 169 8.2. Anexo de artŽiculos publicados Esta tesis estŽa basada en las siguientes publicaciones. 1. Revistas internacionales: E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The Polyakov loop and the heat kernel expansion at finite temperature, Phys. Lett. B563, 173-178 (2003), [arXiv:hep-th/0212237]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola, and L. L. Salcedo, Thermal heat kernel expansion and the one-loop effective action of QCD at finite temperature, Phys. Rev. D69, 116003 (2004), [arXiv:hep-ph/0312133]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola, L. L. Salcedo and W. Broniowski, Low energy chiral Lagrangian from the spectral quark model, Phys. Rev. D70, 034031 (2004), [arXiv:hep-ph/0403139]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Energy momentum tensor of chiral quark models at low energies, Phys. Rev. D72, 014001 (2005), [arXiv:hep-ph/0504271]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension two condensates and the Polyakov loop above the deconfinement phase transition, JHEP 0601, 073 (2006), [arXiv:hep-ph/0505215]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Power corrections in the quarkantiquark potential at finite temperature, Phys. Rev. D75, 105019 (2007), [arXiv:hep-ph/0702055]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature, Phys. Rev. D74, 065005 (2006), [arXiv:hep-ph/0412308]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral Lagrangian at finite temperature from the Polyakov-chiral quark model, Phys. Rev. D74, 114014 (2006), [arXiv:hep-ph/0607338]. 2. Actas de congresos: E. MegŽias, One-loop effective action of QCD at high temperature using the heat kernel method. Actas de 9th Hadron Physics and 8th Relativistic Aspects of Nuclear Physics (HADRON-RANP 2004). AIP Conf. Proc. 739, 443-445 (2005), [arXiv:hep-ph/0407052]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at finite temperature in chiral quark models. Actas de la conferencia Mini-Workshop on Quark Dynamics: Bled 2004. Bled Workshops in Physics, Vol. 5, No. 1, PaŽg. 1-6 (2004), [arXiv:hep-ph/0410053]. 170 CapŽitulo 8: Conclusiones E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral lagrangians at finite temperature and the Polyakov loop. Actas de 6th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 756, 436-438 (2005), [arXiv:hep-ph/0411293]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Non-perturbative contribution to the Polyakov loop above the deconfinement phase transition. Actas de 18th International Conference on Ultra-Relativistic Nucleus-Nucleus Collisions: Quark Matter 2005 (QM 2005). Romanian Reports in Physics, Vol. 58, No. 1, PaŽg. 81-85 (2006), [arXiv:hep-ph/0510114]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at low and high temperatures. Actas de 29th Johns Hopkins Workshop in Theoretical Physics. JHEP Proceedings of Science, PoS(JHW2005)025, (2006), [arXiv:hep-ph/0511353]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The quantum and local Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature. Actas de 7th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 892, 444-447 (2007), [arXiv:hep-ph/0610095]. E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension-2 condensates and Polyakov chiral quark models. Actas de 4rd International Conference on Quarks and Nuclear Physics. The European Physical Journal A31, 553-556 (2007), [arXiv:hep-ph/0610163]. ApŽendice A Transformaciones Gauge En este apŽendice explicaremos quŽe se entiende por transformaciŽon gauge y discutiremos ciertas propiedades que cumple una transformaciŽon gauge a temperatura finita. Estudiaremos la rotura de la simetrŽia del centro del grupo gauge al considerar una teorŽia con fermiones. Vamos a seguir en parte la referencia [147]. A.1. Definiciones Consideremos un operador f (M, D”) construido con M y D” en sentido algebraico. Una configuraciŽon gauge transformada (MU , AU” ) es una de la forma M U (x) = U -1(x)M (x)U (x) , AU” (x) = U -1(x)”U (x) + U -1(x)A”(x)U (x) , (A.1) donde la transformaciŽon gauge U(x) es una funciŽon que toma valores sobre matrices en el espacio interno. Esta transformaciŽon corresponde a una transformaciŽon de semejanza de D” de la forma D”U = ” + AU” (x) = U -1(x)D”U (x), donde U (x) se considera que es un operador multiplicativo en el espacio de Hilbert H de las funciones de onda. Debido a que f (M, D”) estŽa construido con M, D” y c-nuŽmeros, se sigue que f (M, D”) tambiŽen se transforma bajo una transformaciŽon de semejanza f (M U , D”U ) = U -1f (M, D”)U . (A.2) U(x) pertenece a cierto grupo gauge G y el campo gauge A”(x) es un elemento del aŽlgebra de Lie de G. La clase de matrices M(x) debe ser cerrada bajo transformaciones gauge. U(x) debe ser una funciŽon continua del espacio-tiempo y a temperatura finita ha de ser periŽodica (salvo una posible fase global) como funciŽon de x0. Notar que una transformaciŽon gauge deja invariante el espectro de f (M, D”), por tratarse de una transformaciŽon de semejanza. 171 172 CapŽitulo A: Transformaciones Gauge A.2. Gauges estacionarios En cŽalculos explŽicitos suele ser usual fijar el gauge a travŽes de la condicioŽn 0A0 = 0, que no implica pŽerdida de generalidad ya que este gauge siempre existe.1 Esto quiere decir que para cada configuraciŽon existe una transformaciŽon gauge que la lleva a la configuracioŽn estacionaria. Una vez fijado este gauge, queda auŽn cierta libertad. Cuando se trabaja en el gauge estacionario, para comprobar la invariancia gauge es necesario encontrar el resto de transformaciones compatibles con este gauge y ver que todas ellas producen el mismo resultado. A continuaciŽon vamos a determinar cuaŽl es la transformaciŽon gauge maŽs general de este tipo. Sean A” y B” dos configuraciones estacionarias y sea U una transformaciŽon gauge que transforma A” en B”. Esto quiere decir B0(x) = U -1(x)0U (x) + U -1(x)A0(x)U (x) . (A.3) Notar que el primer tŽermino cambia la magnitud de A0 y el segundo simplemente lo rota en el espacio interno. Podemos simplificar esta ecuaciŽon si hacemos uso de la variable auxiliar V (x) = exp(x0A0(x))U(x), con lo que queda B0(x) = V -1(x)0V (x) . (A.4) La soluciŽon maŽs general de (A.4) va a estar formada por una transformaciŽon gauge arbi- traria independiente del tiempo y por una transformaciŽon cuya dependencia temporal sea lineal2 V (x) = U0(x)ex0B0(x) . (A.5) Un modo conveniente de escribir la transformaciŽon es haciendo uso del cambio de variable B0(x) = U0-1(x)(A0(x) + (x))U0(x) , (A.6) con lo cual finalmente queda U (x) = e-x0A0 e (x) x0(A0(x)+(x))U0(x) . (A.7) Ahora debemos imponer la condicioŽn de que U(x) es funciŽon periŽodica de x0, salvo una posible fase global U (x0 + , x) = eiU (x0, x) . (A.8) AquŽi es una fase global escalar multiplicada por la matriz identidad. Esto conduce a la restricciŽon e(A0(x)+(x)) = eieA0(x) , (A.9) lo cual va a producir una discretizaciŽon en la parte temporal de la transformaciŽon gauge. De (A.9) se deduce que A0(x) y (x) deben conmutar con exp(A0(x)). Si el espectro de 1Este gauge es conocido en la literatura como 'gauge de Polyakov', aunque nosotros nos referiremos a Žel tambiŽen como gauge estacionario. 2Una dependencia no lineal darŽia lugar a una contribuciŽon temporal en B0. A.3 ParticularizacioŽn al grupo gauge SU(Nc) 173 la matriz unitaria exp(A0(x)) es no degenerado, Žesta puede ser diagonalizada en una base que es esencialmente uŽnica e independiente de x. En este caso A0(x) y (x) deben ser diagonales en la misma base y por tanto van a conmutar entre sŽi. Esto da lugar a que la condicioŽn sobre sea e(x) = ei , [A0(x), (x)] = 0 . (A.10) La primera condicioŽn conduce a que los valores propios de (x) sean de la forma j = i( + 2nj)/, nj Z. Notar que por continuidad estos enteros deben ser independientes de x. Finalmente la transformaciŽon gauge queda U (x) = ex0(x)U0(x) , (A.11) expresiŽon vaŽlida cuando el espectro de exp(A0(x)) es no degenerado. A.3. ParticularizaciŽon al grupo gauge SU(Nc) A.3.1. SimetrŽia del centro del grupo gauge Consideremos especŽificamente el grupo gauge SU(Nc). En la ecuaciŽon (A.8), tomando en cada miembro el determinante y teniendo en cuenta que Det(U) = 1, obtenemos que los valores permitidos de son cuando Det[exp(i)] = 1, esto es = 2n/Nc, n Z. Puesto que solamente estŽan permitidos valores discretos para , esto implica que la matriz debe ser independiente de x, por continuidad. Como ejemplo, en SU(2) los valores propios de son de la forma j = inj/, nj Z. Para SU(Nc), con Nc > 2, es siempre posible elegir una representacioŽn fundamental en la cual todos los generadores diagonales excepto uno tengan al menos un valor propio cero [por ejemplo, las matrices de Gell-Mann 3 y 8 para SU(3)]. La transformaciŽon U se escribirŽa U (x) = exp(x0aa)U0(x) , (A.12) donde a/2i son los generadores diagonales del grupo. Los tŽerminos a correspondientes a cada uno de los generadores con un valor propio cero deben ser de la forma a = i2na/. El otro generador Nc2-1 viene dado por Nc2-1 = diag(1, 1, · · · , 1 - Nc) , (A.13) donde es un factor de normalizacioŽn. En este caso Nc2-1 = i2n/(Nc) dan lugar a transformaciones gauge permitidas. Esto quiere decir que ademaŽs de la simetrŽia gauge SU(Nc), exite una simetrŽia extra global Z(Nc), que es el centro del grupo gauge. Esta simetrŽia es generada por la accioŽn de transformaciones gauge locales que son periŽodicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario de Z(Nc), U (x0 + , x) = z U (x0, x) , z = ei2n/Nc , (A.14) moŽdulo transformaciones gauge locales estrictamente periŽodicas. 174 CapŽitulo A: Transformaciones Gauge A.3.2. Rotura explŽicita de la simetrŽia del centro La situacioŽn cambia si hay fermiones en la teorŽia. Puesto que los fermiones transforman como U, no hay factores U-1 que cancelen la fase global. Por tanto, con objeto de que las condiciones de contorno temporales para fermiones queden inalteradas bajo transformaciones gauge, sŽolo estŽan permitidas transformaciones que satisfagan (A.8) con = 0. Esto quiere decir que los fermiones rompen la simetrŽia del centro del grupo gauge que estŽa presente en todas las teorŽias gauge puras. En consecuencia, la forma maŽs general de a para una teorŽia SU(Nc) con fermiones es a = i2na/. La rotura de la simetrŽia del centro del grupo gauge se manifiesta en que algunos de los mŽinimos absolutos degenerados del potencial efectivo de la teorŽia gauge pura dejan de serlo cuando la teorŽia incluye fermiones. No obstante, es posible probar que estos mŽinimos seguirŽan siendo puntos estacionarios del potencial efectivo completo con fermiones. En el gauge de Polyakov A0 es independiente del tiempo y diagonal. Una matriz diagonal arbitraria de su(Nc) se puede escribir siempre como una combinaciŽon lineal de matrices que tengan al menos un cero en la diagonal y la matriz Nc2-1 dada en (A.13). UŽ nicamente esta uŽltima matriz pondrŽa de manifiesto el mŽinimo que estamos buscando, por lo comentado anteriormente. El potencial efectivo de QCD que calculamos en el capŽitulo 3 se puede escribir como L0,q(x) = - (2)2 34 Nf trB4 1 2 + , (x) = ei2 , - 1 2 < < 1 2 , (A.15) para el sector fermiŽonico y L0,g (x) = 22 34 trB4 () , (x) = ei2 , 0 < < 1 (A.16) para el sector gluŽonico. tr es traza en la representacioŽn fundamental del grupo gauge y tr es en la representacioŽn adjunta. Los valores propios del loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental son A = exp(i2A), A exp(i2(A - A )), A, A = 1, . . . , Nc. = Si 1, . . . , Nc, y hacemos uso en de la la representacioŽn representacioŽn adjunta en serie AA = de los polinomios de Bernoulli [52] B2(x) = (-1)-12(2)! (2)2 cos(2nx) n2 , n=1 0 x 1 , n = 1, 2, . . . (A.17) y nos limitamos a considerar el potencial efectivo para Nc2-1 obtenemos L0,q (x) = 4Nf 24 (-1)n n4 {(Nc - 1) cos(2n) + cos((Nc - 1)2n)} , n=1 L0,g (x) = - 2 2 4 1 n4 2(Nc - 1) cos(2nNc) + (Nc - 1)2 . n=1 (A.18) (A.19) A.3 ParticularizacioŽn al grupo gauge SU(Nc) 175 Los mŽinimos de L0,g se encuentran en = m/Nc, con m entero. Si diferenciamos el lagrangiano L0,q respecto a se puede comprobar que estos mŽinimos se corresponden exactamente con puntos estacionarios (mŽinimos o maŽximos) de la parte fermiŽonica. En consecuencia, el potencial efectivo total siempre va a tener puntos estacionarios en = m/Nc. 176 CapŽitulo A: Transformaciones Gauge ApŽendice B Integrales en tiempo propio con regularizaciŽon dimensional Para obtener el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop del capŽitulo 3 hemos necesitado calcular las trazas en espacio interno y las integrales en . En este apŽendice calcularemos la expresiŽon genŽerica de la siguiente integral regulada dimensionalmente I±,n() = 0 d (4”2 ) ±n (ei2) , , , R , n = 0, 1, 2, . . . (B.1) Las funciones n las definimos en su momento como ±n (; /2) = (4 )1/2 n/2Qne Q2 , p±0 Q = ip±0 - 1 log() , (B.2) donde en la versioŽn bosoŽnica sumamos sobre las frecuencias de Matsubara p+0 = 2n/, y en la versioŽn fermiŽonica sobre p-0 = 2(n + 1 2 )/ . CentrŽemonos por el momento en la versioŽn bosoŽnica de la funciŽon n. Vamos a tener I+,n() = (4”2) 4 2i n (k - )n kZ d ++(n-1)/2 e-( 2 )2 (k- )2 , 0 Z. (B.3) Debido a la sumatoria en k Z, la funciŽon es periŽodica en con perŽiodo 1. El caso Z serŽa discutido maŽs tarde. La integral sobre se calcula y se obtiene I+,n() = in(4”2) 2 2(+) ( + + (n + ( 1 2 ) 1)/2) kZ (k |k - - )n |n |k - 1 |2(+)+1 . (B.4) 177 178 CapŽitulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacioŽn dimensional Definamos = k0 + , donde 0 < < 1 y k0 Z. La suma sobre k la podemos dividir en una suma para k k0 y otra para k > k0 I+,n() = in(4”2) 2(+) ( + + (n + 1)/2) 2 ( 1 2 ) Ś kk0 (k0 + (-1)n - k)2(+)+1 + k>k0 (k - k0 1 - )2(+)+1 . (B.5) Si hacemos uso de la funciŽon de Riemann generalizada [52] (z, q) = n=0 (n 1 + q)z [Re z > 1, q = 0, -1, -2, . . .] , (B.6) llegamos a la siguiente expresiŽon I+,n() = (4) ” 2 2 ( + + (n + 1)/2) 2 2 ( 1 2 ) Ś (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) , (B.7) donde = (mod 1), 0 < < 1. Las versiones bosoŽnica y fermiŽonica de las funciones n estŽan relacionadas por -, esto es +n () = -n (-). Por tanto I-,n se puede obtener a partir de las integrales I+,n con el cambio + 1 2 , I-,n() = (4) ” 2 2 ( + + (n + 1)/2) 2 2 ( 1 2 ) Ś (-i)n (1 + 2 + 2, 1 2 + ) + in (1 + 2 + 2, 1 2 - ) , (B.8) donde = ( + 1 2 ) (mod 1) - 1 2 , - 1 2 < < 1 2 . Notar que I±,2n ( ) = (-1)n ( + ( + + n + + 1 2 ) 1 2 ) I±,0( ) , I±,2n+1 ( ) = (-1)n ( + ( + + n + + 1) 1) I±,1( ) . (B.9) Estas funciones son periŽodicas en y bajo paridad se comportan I±,n() = (-1)nI±,n(-) . (B.10) En el problema de la reduccioŽn dimensional de la teorŽia de Yang-Mills uŽnicamente se suma sobre fluctuaciones cuaŽnticas no estŽaticas (n = 0). Con objeto de preservar las propiedades de periodicidad y paridad de las funciones I+,n, definimos las integrales bosoŽnicas 179 sin el modo estŽatico eliminando la frecuencia k = k0 cuando > 1 2 . Haciendo esto en (B.5) se obtiene cuando < 1 2 y la frecuencia k = k0 +1 I+,n() = (4) ” 2 2 2 2 ( + + (n + 1)/2) ( 1 2 ) Ś (-i)n(1 + 2 + 2, 1 + ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) , (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 2 - ) , (B.11) 0 1 2 < < 1 2 1 , . Estas funciones son finitas, incluso para valores enteros de . Consideremos ahora Z. En este caso el modo estŽatico p+0 = 0 de las integrales I+,n() con n = 0 no contribuye. Este modo va a contribuir solamente en I+,0 dando origen a divergencias infrarrojas o ultravioletas. En regularizacioŽn dimensional la integral I+,0()|p0=0 con Z se define como cero ya que no tiene una escala natural. Esto conduce a la siguiente prescripciŽon I+,n() = I+,n = (4) ” 2 2 ( + + (n + 1)/2) 2 2 ( 1 2 ) Ś 2(-1)n/2(1 + 2 + 2) , 0, (n par) (n impar) Z . (B.12) 180 CapŽitulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacioŽn dimensional ApŽendice C Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2) En este apŽendice presentaremos el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop a temperatura alta calculado en el capŽitulo 3, para SU(2) en el sector de quarks y en el sector gluŽonico, incluyendo todos los tŽerminos hasta dimensiŽon de masa 6. Los resultados vienen dados en el esquema MS, y hemos considerado explŽicitamente un cutoff infrarrojo. Las convenciones son las que aparecen en la secciŽon 3.7. LŽarbol(x) = 1 4g2(”) F”2 , (C.1) L0,g(x) = 2T 4 3 - 1 + 42(1 - )2 5 , (C.2) L2,g (x) = - 11 962 1 11 + 2 log ” 4T - () - (1 - ) F”2 - 11 962 T m + 1 11 + 2 log ” 4T + E - 1 2 () - 1 2 (1 - ) F”2 + 1 24 2 Ei2 - 1 482 T m Ei2 , (C.3) L3,g (x) = 61 21602 1 4T 2 8 T m 3 + 2(3) - () - (1 - ) (F” Ś F) · F” - 1 482 1 4T 2 [() + (1 - )] F2” + 1 96 2 1 4T 2 16 T m 3 + 4(3) - () - (1 - ) F2” 181 182 CapŽitulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2) + 1 4802 1 4T 2 [() + (1 - )] F”2” - 1 9602 1 4T 2 16 T m 3 + 4(3) - () - (1 - ) F”2” - 3 802 1 4T 2 [() + (1 - )] F02” + 3 1602 1 4T 2 -8 T m 3 + 4(3) - () - (1 - ) F02” - 1 102 12 4T T m 3 E02i + 1 2402 1 4T 2 [() + (1 - )] Ei2i - 1 4802 1 4T 2 -8 T m 3 + 4(3) - () - (1 - ) Ei2i + 1 2402 1 4T 2 [() + (1 - )] ijk(Ei Ś Ej) · Bk (C.4) + 1 2402 1 4T 2 8 T m 3 - 4(3) - () - (1 - ) ijk(Ei Ś Ej) · Bk , L0,q (x) = 2 3 2 T 4Nf 2 15 - 1 4 (1 - 42)2 , (C.5) L2,q(x) = Nf 962 2 log ” 4T - ( 1 2 + ) - ( 1 2 - ) F”2 - Nf 482 Ei2 , (C.6) L3,q (x) = Nf 9602 1 4T 2 ( 1 2 + ) + ( 1 2 - ) (C.7) Ś 16 3 (F” Ś F) · F” + 5 2 F2” - F”2” - 2ijk(Ei Ś Ej ) · Bk + 3F02” - 2Ei2i . a Ś b es el producto vectorial de a y b, esto es (a Ś b)i = ijkajbk . (C.8) Como vemos, las contribuciones de los quarks no distinguen entre componentes paralelas y perpendiculares. Esto se debe a que en SU(2) una funciŽon par en en la representacioŽn fundamental es necesariamente un c-nuŽmero. Puesto que todas las funciones n() involucradas en los tŽerminos de dimensiŽon 6 son pares [n()+n(-1) = c·12Ś2], la dependencia en de las ecs. (3.30) y (3.32) sale fuera de la traza, de modo que A0 no serŽa una direccioŽn 183 privilegiada en espacio de color. Este propiedad no se cumple en la representacioŽn adjunta (sector gluŽonico), ni tampoco en otros grupos SU(Nc) (por ejemplo, ec. (3.117)). Las divergencias infrarrojas estŽan sujetas a que sea entero, de modo que no existen en el sector fermiŽonico, y se cancelan en las contribuciones gluoŽnicas que uŽnicamente involucran componentes paralelas. 184 CapŽitulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2) ApŽendice D Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de Polyakov En este apŽendice se explicaraŽ en detalle el cŽalculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita presentado en la secciŽon 5.5. El cŽalculo se divide en tres partes. En primer lugar se construirŽa el operador de Klein-Gordon a partir del operador de Dirac y su adjunto para la parte real de la accioŽn efectiva. Haciendo uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio, deberemos calcular el heat kernel para este operador. Para ello haremos uso de la tŽecnica desarrollada en el capŽitulo 2. Calcularemos las trazas en los grados de libertad internos (en nuestro caso, sabor). Finalmente, haremos uso de las ecuaciones de movimiento con objeto de tener en cuenta el hecho de que los campos pioŽnicos estŽan en la capa de masas. D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo El operador de Dirac que aparece en el determinante fermiŽonico se comporta de manera covariante bajo transformaciones quirales. Esto implica que, en principio, habrŽia que considerar tanto el acoplamiento vector como el axial. Conseguiremos una gran simplificacioŽn en nuestro tratamiento si hacemos uso de los convenios de ref. [148, 149], donde se muestra que es suficiente con llevar a cabo el cŽalculo en el caso de un acoplamiento vector, y posteriormente reconstruir el resultado quiral total de un modo conveniente. Consideremos el siguiente operador de Dirac con un acoplamiento tipo vector D =D/ +h, h = m + z , (D.1) donde h incluye el campo del pioŽn m, que es orden O(p0), y el tŽermino de masa z que rompe 185 CapŽitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de 186 Polyakov explŽicitamente la simetrŽia quiral, y que tomamos O(p2). Nuestra notacioŽn es la siguiente hLR = MU + 1 2B0 , hRL = MU + 1 2B0 . La parte real de la accioŽn efectiva es, formalmente (D.2) +q [v, h] = - 1 2 Tr log(DD) =: dx0 0 d3x Lq(x) , donde el operador de Klein-Gordon relevante viene dado por (D.3) DD = -D”2 - 1 2 ” F” - ”D”h + m2 + h2 , h2 = h2 - m2 = {m, z} + z2 . (D.4) El problema radica en hacer un desarrollo en derivadas covariantes para la accioŽn efectiva. Podemos identificar el operador de masa M (x) = - 1 2 ” F” - ”D”h + h2. Haciendo uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio, el lagrangiano efectivo en espacio euclŽideo se puede escribir como Lq = 1 2 d ( ) Tr e-DD = 1 0 2 0 d ( ) e- M 2 (4 )2 ntr bTn . n (D.5) En esta representacioŽn haremos uso de la regularizacioŽn de Pauli-Villars [107] ( ) = cie- 2i . (D.6) i Hasta O(p4) obtenemos las siguientes contribuciones para los coeficientes de Seeley-DeWitt tŽermicos, despuŽes de haber tomado la traza de Dirac bT0 = 40() , bT1/2 = 0 , bT1 = -40()h2 = -40() {m, z} + z2 , bT3/2 = 0 , bT2 = 20() (h”)2 + h4 - 1 3 F”2 - 2 3 2Ei2 = 20() (m”)2 + {m”, z”} + {m, z}{m, z} - 1 3 F”2 - 2 3 2()Ei2 + O(p6) , bT5/2 = - 2 3 1{Ei, (h2)i} = - 2 3 1{Ei , Di{m, z}} = O(p5) , bT3 = - 2 3 0() m”{m”, {m, z}} + {m, z}m”m” + {F” , m”m } - m”F” m + 1 2 (m” )2 + 1 3 2(m0”)2 + O(p5) , D.2 Trazas de sabor e identidades uŽtiles 187 bT7/2 = O(p5) , bT4 = 1 6 0()(m” m”m m + m”m m m” - m”mm”m ) + O(p5) . (D.7) D.2. Trazas de sabor e identidades uŽtiles Para Nf = 3 sabores se tiene la siguiente identidad de SU(3) tr(ABAB) = -2tr(A2B2) + 1 2 tr(A2 )tr(B2) + (tr(AB))2 , (D.8) donde A y B son matrices hermŽiticas 3 Ś 3 de traza cero. De aquŽi se tiene trf (m”m m”m) = -2trf ((m”)2(m)2) + 1 2 trf ((m”)2)trf ((m )2) + (trf (m”m ))2 , (D.9) trf (m0m”m0m”) = -2trf ((m0)2(m”)2) + 1 2 trf ((m0)2)trf ((m”)2) + (trf (m0m”))2 . (D.10) Otras identidades uŽtiles son trf ((m”)2) = trf ((m””)2) - 2trf (F”m”m ) + trf (mF” mF” ) - M 2trf (F”2 ) , (D.11) trf ((m0”)2) = trf (m00m””) - 2trf (Ei[m0, mi]) - 2trf (E0immi) , (D.12) donde hemos hecho uso de la propiedad X” = X” + [F”, X]. Podemos aplicar las ecuaciones de movimiento, ec. (D.30), para obtener trf (m”z”) = 1 2B0M 2 trf (m”m”mx) - 1 4B0M trf (mxmx) + M 4B0 trf (x2) + 8M 1 Nf B0 trf ([m, x])trf ([m, x]) , (D.13) trf (m””m ) = 1 M2 trf (m”m”mm ) - 1 2 trf (mxmx) + M 2 2 trf (x2 ) + 1 4Nf trf ([m, x])trf ([m, x]) , (D.14) trf (m00m””) = 1 M2 trf (m0m0m”m”) - M trf (m00x) - 1 M trf (m0m0mx) + 1 2M Nf trf (m00m)trf ([m, x]) . (D.15) donde se han introducido los campos normalizados x = 2B0z. La notacioŽn es la siguiente: xLR = , xRL = . (D.16) CapŽitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de 188 Polyakov Haciendo uso de (D.9)-(D.15) podemos calcular la traza en espacio de sabor de los coeficientes de Seeley-DeWitt. Esto conduce a trf bT0 trf bT1 trf bT2 trf bT3 trf bT4 = 4Nf 0() , = -0() 4 B0 trf (mx) + 1 B02 trf (x2) , = 20()trf (m”m”) + 2 B0M 2 0()trf (m”m”mx) + 1 B0 1 B0 - 1 M 0()trf (mxmx) + M B0 M B0 + 1 0()trf (x2) - 2 3 0()trf (F”2) - 2 3 2()trf (Ei2) + 1 2M Nf B0 0()trf ([m, x])trf ([m, x]) , = - 4 3 0 ()trf (F” m”m ) - 1 3 0 ()trf (mF” mF” ) + 1 3 M 20 ()trf (F” ) - 1 6 M 2 0()trf (x2 ) + 1 6 0()trf (mxmx) - 2 B0 0()trf (m”m”mx) - 1 3M 2()trf (m0m0mx) - M 3 2()trf (m00x) - 2 3 2()trf (Ei[m0, mi]) - 2 3 2()trf (E0immi) - 1 3M 2 0()trf (m”m”m m) + 1 3M 2 2()trf (m0m0m”m”) - 1 12Nf 0()trf ([m, x])trf ([m, x]) + 1 6M Nf 2 ()trf (m00m)trf ([m, x])) , = - 1 12 0()trf (m”m” )trf (m m ) - 1 6 0()trf (m”m )trf (m” m ) + 2 3 0()trf (m” m” m m ) . (D.17) D.3. Integrales en tiempo propio Las integrales en tiempo propio bŽasicas que definimos son Jl(, M, ) := J l(, M, ) := 0 d ( ) le-M20() , 0 d ( ) le-M22() , (D.18) (D.19) donde = ei2 es una matriz SU(Nc) en espacio de color. Haciendo uso de la foŽrmula de Poisson para la sumatoria, podemos escribir 0 y 2 del siguiente modo 0() = e- n2 2 4 (-)n , nZ (D.20) D.4 Ecuaciones clŽasicas de movimiento 189 2() = 2 2 n2e- n2 2 4 (-)n . nZ (D.21) La contribucioŽn de temperatura cero viene dada por el tŽermino n = 0, y para Žel es necesario aplicar una regularizacioŽn (aquŽi usamos Pauli-Villars). En los tŽerminos n = 0 la regularizacioŽn puede ser eliminada, pues el ban~o tŽermico actuŽa de por sŽi como un regulador ultravioleta. Esta aproximaciŽon estŽa justificada a temperaturas suficientemente pequen~as T PV. TŽipicamente PV 1 GeV de modo que incluso para T M 300 MeV la aproximaciŽon es vaŽlida. El cŽalculo de las integrales conduce a Jl(, M, ) = 1NcŚNc(l) ci(2i + M 2)-l (D.22) i +2 2M l nlKl(nM )((-)n + (-)-n) , Re(l) > 0 , n=1 J0(, M, ) = -1NcŚNc ci log(2i + M 2) i +2 K0(nM )((-)n + (-)-n) , (D.23) n=1 J-1(, M, ) = 1NcŚNc ci(2i + M 2) log(2i + M 2) i + 4M K1(nM n ) ((-)n + (-)-n) , n=1 J-2(, M, ) = -1Nc ŚNc 1 2 ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2) i +8 M 2 K2(nM n2 ) ((-)n + (-)-n) , n=1 J l(, M, ) = l+1 (2M )l-1 n=1 nl+1Kl-1(nM )((-)n + (-)-n) , l R. (D.24) (D.25) (D.26) D.4. Ecuaciones clŽasicas de movimiento A orden O(p2) el lagrangiano quiral se escribe Lq(2) = 0 d ( ) e- M 2 (4)2 trc0() trf (m”m”) - 4 trf (mz ) = 1 (4)2 trcJ0(, M, )trf (m”m”) - 4trcJ-1(, M, )trf (mz) CapŽitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de 190 Polyakov = M2 (4)2 trcJ0 (, M , ) trf (D”U D”U ) - 2 M trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, ) trf (zRLU + zLRU ) = M2 (4)2 trcJ0 (, M , )trf D”U D”U - (U + U ) , (D.27) donde la normalizacioŽn del campo viene dada por el factor = 2B0 zLR , = 2B0 zRL , B0 = 1 M trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, ) . (D.28) y f2 4 = M2 (4)2 trcJ0(, M, ) . (D.29) Si minimizamos la accioŽn a este orden, se obtienen las ecuaciones de movimiento de Euler- Lagrange m””m + m”m” - M 2 [m, x] + M 2Nf trf ([m, x]) = 0 . (D.30) El uŽltimo tŽermino en ec. (D.30) viene de imponer la condicioŽn Det(U) = 1, pues estamos considerando un grupo de sabor SU(Nf ). D.5. Lagrangiano Efectivo El lagrangiano efectivo se puede escribir como Lq = Lq(0) + Lq(2) + Lq(4) + · · · . (D.31) Haciendo uso de la expresiŽon del lagrangiano en ec. (D.5), los coeficientes de Seeley-DeWitt de ec. (D.17) y despuŽes de calcular la integral en tiempo propio con regularizacioŽn de PauliVillars, se obtiene Lq(0) = 2Nf (4)2 trcJ-2(, M, ) , (D.32) Lq(2) = f2 4 trf D”U D”U - (U + U ) , Lq(4) = -L1trf (u”u”)trf (uu) - L2trf (u”u)trf (u”u) - L3trf (u”u”uu) -L3trf (u0u0u”u”) + 2L4trf (u”u”)trf (xu) + 2L5trf (u”u”ux) +2L5trf (u0u0ux) + 2L5trf (u00x) - 2(L6 + L7)trf (ux)trf (ux) -2(L6 - L7)trf (ux)trf (xu) + 2Ltrf (u00u)trf ([u, x]) - 2L8trf (uxux) -2L9trf (F” u”u) - 2L9trf (Ei[u0, ui]) - 2L9trf (E0iuui) +L10trf (uF”uF”) + 2H1trf (F”2) + 2H1trf (Ei2) - H2trf (x2) , (D.33) donde se ha usado la notaciŽon m = Mu. Los coeficientes que aparecen en ec. (D.33) se han escrito de manera que se correspondan con la convencioŽn de Gasser-Leutwyler. BibliografŽia [1] T. Matsubara, Prog. Theor. 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